Проективная линейная группа - Projective linear group

Связь между проективной специальной линейной группой PSL и проективной общей линейной группой PGL; каждая строка и столбец - это короткая точная последовательность.

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный г2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Показатель Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

В математика, особенно в теоретико-групповой зона алгебра, то проективная линейная группа (также известный как проективная общая линейная группа или PGL) является индуцированным действие из общая линейная группа из векторное пространство V на связанных проективное пространство П(V). В явном виде проективная линейная группа - это факторгруппа

PGL (V) = GL (V) / Z (V)

где GL (V) это общая линейная группа из V и Z (V) - подгруппа всех ненулевых скалярные преобразования из V; они выделены, потому что они действуют тривиально на проективном пространстве и образуют ядро действия, а обозначение "Z" отражает, что скалярные преобразования образуют центр полной линейной группы.

В проективная специальная линейная группа, PSL, определяется аналогично, как индуцированное действие специальная линейная группа на ассоциированном проективном пространстве. Ясно:

PSL (V) = SL (V) / SZ (V)

где SL (V) - специальная линейная группа над V и СЗ (V) - подгруппа скалярных преобразований с единицей детерминант. Здесь SZ - центр SL и естественно отождествляется с группой пth корни единства в F (где п это измерение из V и F это база поле ).

PGL и PSL являются одними из фундаментальных групп обучения, частью так называемого классические группы, а элемент PGL называется проективное линейное преобразование, проективное преобразование или омография. Если V это п-мерное векторное пространство над полем F, а именно V = F^п, альтернативные обозначения PGL (п, F) и PSL (п, F) также используются.

Обратите внимание, что PGL (п, F) и PSL (п, F) находятся изоморфный тогда и только тогда, когда каждый элемент F имеет пкорень th в F. В качестве примера обратите внимание, что PGL (2, C) = PSL (2, C), но это PGL (2, р)> PSL (2, р);^[1] это соответствует ориентируемой реальной проективной прямой, а проективная специальная линейная группа является только сохраняющими ориентацию преобразованиями.

PGL и PSL также могут быть определены над кольцо, важным примером является модульная группа, PSL (2, Z).

имя

Название происходит от проективная геометрия, где проективная группа, действующая на однородные координаты (Икс₀:Икс₁: ... :Икс_п) - основная группа геометрии.^{[примечание 1]} Иначе говоря, естественный действие GL (V) на V спускается к действию PGL (V) на проективном пространстве п(V).

Таким образом, проективные линейные группы обобщают случай PGL (2, C) из Преобразования Мебиуса (иногда называют Группа Мебиуса ), который действует на проективная линия.

Обратите внимание, что в отличие от общей линейной группы, которая обычно аксиоматически определяется как «обратимые функции, сохраняющие линейную (векторное пространство) структуру», проективная линейная группа определяется конструктивно, как фактор общей линейной группы ассоциированного векторного пространства, а не аксиоматически как «обратимые функции, сохраняющие проективную линейную структуру». Это отражено в обозначениях: PGL (п, F) - группа, ассоциированная с GL (п, F), и является проективной линейной группой группы (п−1) -мерное проективное пространство, а не п-мерное проективное пространство.

Коллинеации

Родственная группа - это группа коллинеации, который определяется аксиоматически. Коллинеация - это обратимая (или, в более общем смысле, взаимно-однозначная) карта, которая отправляет коллинеарные точки к коллинеарным точкам. Можно определить проективное пространство аксиоматически с точки зрения структура заболеваемости (набор баллов П, линии L, и отношение инцидентности я (определяющие, какие точки лежат на каких прямых), удовлетворяющие определенным аксиомам - автоморфизм проективного пространства, определенный таким образом, являющийся автоморфизмом ж множества точек и автоморфизм г набора линий, сохраняющих отношение инцидентности,^{[заметка 2]} что в точности является коллинеацией пространства самому себе. Проективные линейные преобразования - это коллинеации (плоскости в векторном пространстве соответствуют линиям в ассоциированном проективном пространстве, а линейные преобразования отображают плоскости в плоскости, поэтому проективные линейные преобразования преобразуют линии отображения в линии), но в целом не все коллинеации являются проективными линейными преобразованиями - PGL - вообще собственная подгруппа группы коллинеаций.

В частности, для п = 2 (проективная прямая), все точки коллинеарны, поэтому группа коллинеаций - это в точности симметричная группа точек проективной прямой, и кроме F₂ и F₃ (где PGL - полная симметрическая группа), PGL - собственная подгруппа полной симметрической группы в этих точках.

Для п ≥ 3 группа коллинеаций - это проективная полулинейная группа, PΓL - это PGL, скрученный полевые автоморфизмы; формально PΓL ≅ PGL ⋊ Gal (K/k), где k это основное поле для K; это основная теорема проективной геометрии. Таким образом, для K простое поле (F_п или Q) имеем PGL = PΓL, но для K поле с нетривиальными автоморфизмами Галуа (такими как ${ displaystyle mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$ для п ≥ 2 или C) проективная линейная группа является собственной подгруппой группы коллинеаций, которую можно рассматривать как «преобразования, сохраняющие проективную полу-линейная структура ". Соответственно фактор-группа PΓL / PGL = Gal (K/k) соответствует «выбору линейной структуры», где идентичность (базовая точка) является существующей линейной структурой.

Можно также определить группы коллинеаций для аксиоматически определенных проективных пространств, где нет естественного понятия проективного линейный преобразовать. Однако за исключением недезарговские планы, все проективные пространства являются проективизацией линейного пространства над делительное кольцо хотя, как отмечалось выше, есть несколько вариантов линейной структуры, а именно: торсор над Галом (K/k) (для п ≥ 3).

Элементы

Элементы проективной линейной группы можно понимать как «наклоняющие плоскость» по одной из осей, а затем проецируемые на исходную плоскость, а также имеют размерность п.

Вращение о z осей вращает проективную плоскость, в то время как проекция вращения вокруг линий, параллельных Икс или у оси дают проективные повороты плоскости.

Более знакомый геометрический способ понять проективные преобразования - через проективные вращения (элементы ПСО (п+1)), что соответствует стереографическая проекция вращения единичной гиперсферы и имеет размерность ${ displaystyle textstyle {1 + 2 + cdots + n = { binom {n + 1} {2}}}.}$ Визуально это соответствует тому, что вы стоите в начале координат (или помещаете камеру в начало координат) и поворачиваете угол обзора, а затем проецируете на плоскую плоскость. Вращения по осям, перпендикулярным гиперплоскости, сохраняют гиперплоскость и приводят к вращению гиперплоскости (элемент SO (п), имеющая размерность ${ displaystyle textstyle {1 + 2 + cdots + (n-1) = { binom {n} {2}}}.}$), в то время как вращения по осям, параллельным гиперплоскости, являются собственными проективными отображениями и учитывают оставшиеся п Габаритные размеры.

Свойства

• PGL отправляет коллинеарные точки в коллинеарные точки (сохраняет проективные линии), но это не полный группа коллинеации, вместо этого либо PΓL (для п > 2) или полный симметричная группа для п = 2 (проективная прямая).
• Каждые (двурегулярный ) алгебраический автоморфизм проективного пространства проективно линейен. В бирациональные автоморфизмы образуют большую группу, Кремона группа.
• PGL точно действует на проективном пространстве: неединичные элементы действуют нетривиально.

  Конкретно, ядро ​​действия GL на проективном пространстве - это в точности скалярные отображения, которые выделены в PGL.

• PGL действует 2-транзитивно на проективном пространстве.

  Это связано с тем, что две различные точки в проективном пространстве соответствуют двум векторам, которые не лежат в одном линейном пространстве и, следовательно, являются линейно независимый, а GL действует транзитивно на k-элементные множества линейно независимых векторов.

• PGL (2, K) действует на проективной прямой точно 3-транзитивно.

  3 произвольные точки условно отображаются в [0, 1], [1, 1], [1, 0]; в альтернативных обозначениях 0, 1, ∞. В обозначениях дробно-линейного преобразования функция ${ displaystyle { frac {x-a} {x-c}} cdot { frac {b-c} {b-a}}}$ карты а ↦ 0, б ↦ 1, c ↦ ∞, и является единственным таким отображением, которое делает это. Это перекрестное соотношение (Икс, б; а, c) - увидеть перекрестное соотношение: трансформационный подход для подробностей.

• Для п ≥ 3, PGL (п, K) не действует 3-транзитивно, потому что он должен отправлять 3 коллинеарных точки в 3 другие коллинеарные точки, а не произвольный набор. Для п = 2 пространство является проективной прямой, поэтому все точки лежат на одной прямой, и это не ограничение.
• PGL (2, K) не действует 4-транзитивно на проективной прямой (кроме PGL (2, 3), поскольку п¹(3) имеет 3 + 1 = 4 точки, поэтому 3-транзитивность влечет 4-транзитивность); сохраняется инвариант перекрестное соотношение, и это определяет, куда отправляются все остальные точки: указание, где отображаются 3 точки, определяет карту. Таким образом, в частности, это не полная группа коллинеаций проективной прямой (за исключением F₂ и F₃).
• PSL (2, q) и PGL (2, q) (для q > 2 и q нечетное для PSL) - два из четырех семейств Группы Цассенхауза.
• PGL (п, K) является алгебраическая группа измерения п²−1 и открытая подгруппа проективного пространства п^п2−1. Как определено, функтор PSL (п,K) не определяет алгебраическую группу или даже пучок fppf, а его пучок в топология fppf на самом деле PGL (п,K).
• PSL и PGL являются бесцентровый - это потому, что диагональные матрицы являются не только центром, но и гиперцентр (фактор группы по ее центру не обязательно бесцентровый).^{[заметка 3]}

Дробно-линейные преобразования

Что касается Преобразования Мебиуса, группа PGL (2, K) можно интерпретировать как дробно-линейные преобразования с коэффициентами в K. Точки на проективной прямой над K соответствуют парам из K², причем две пары эквивалентны, когда они пропорциональны. Когда вторая координата отлична от нуля, точка может быть представлена ​​как [z, 1]. Потом, когда объявление– до н.э ≠ 0 действие PGL (2, K) линейным преобразованием:

${ displaystyle [z, 1] { begin {pmatrix} a & c b & d end {pmatrix}} = [az + b, cz + d] = left [{ frac {az + b} {cz + d}}, 1 right].}$

Таким образом, последовательные преобразования могут быть записаны как правое умножение на такие матрицы, и матричное умножение может использоваться для группового продукта в PGL (2, K).

Конечные поля

Проективные специальные линейные группы PSL (п, F_q) для конечное поле F_q часто записываются как PSL (п, q) или L_п(q). Они есть конечные простые группы всякий раз, когда п не меньше 2, за двумя исключениями:^[2] L₂(2), которая изоморфна S₃, то симметричная группа на 3 буквы, и это разрешимый; и L₂(3), которая изоморфна А₄, то переменная группа на 4 буквы, и тоже разрешима. Эти исключительные изоморфизмы можно понять как возникающие из действие на проективной линии.

Специальные линейные группы SL (п, q) таким образом квазипростой: идеальные центральные расширения простой группы (если п = 2 и q = 2 или 3).

История

Группы PSL (2, п) были построены Эварист Галуа в 1830-х годах и были вторым семейством конечных простые группы, после чередующиеся группы.^[3] Галуа построил их как дробно-линейные преобразования и заметил, что они просты, за исключением тех случаев, когда п было 2 или 3; это содержится в его последнем письме к шевалье.^[4] В том же письме и прилагаемых рукописях Галуа также построил общая линейная группа над простым полем, GL (ν, п) при изучении группы Галуа общего уравнения степени п^ν.

Группы PSL (п, q) (Общее п, общее конечное поле) были затем построены в классическом тексте 1870 г. Камилла Джордан, Traité des replaces et des équations algébriques.

порядок

Порядок ПГЛ (п, q) является

(q^п − 1)(q^п − q)(q^п − q²) ⋅⋅⋅ (q^п − q^п−1)/(q − 1) = q^п2–1 - O (q^п2–3),

что соответствует порядок GL (п, q), деленное на q − 1 для проективизации; увидеть q-аналог для обсуждения таких формул. Обратите внимание, что степень п² − 1, что согласуется с размерностью как алгебраической группой. "O" для нотация большой O, что означает «термины низшего порядка». Это также равно порядку SL (п, q); там деление на q − 1 связано с определителем.

Получатель чего-то PSL (п, q) выше, разделенное на |SZ (п, q)|, количество скалярных матриц с определителем 1 или эквивалентным делением на |F^×/(F^×)^п|, количество классов элемента, не имеющих пкорень th, или, что то же самое, деление на количество пth корни единства в F_q.^{[примечание 4]}

Исключительные изоморфизмы

Помимо изоморфизмов

L₂(2) ≅ S₃, L₂(3) ≅ А₄, и PGL (2, 3) ≅ S₄,

Есть другие исключительные изоморфизмы между проективными специальными линейными группами и знакопеременными группами (все эти группы простые, поскольку альтернированная группа из 5 или более букв проста):

${ Displaystyle L_ {2} (4) cong A_ {5}}$

${ Displaystyle L_ {2} (5) cong A_ {5}}$ (увидеть Вот для доказательства)

${ Displaystyle L_ {2} (9) cong A_ {6}}$

${ displaystyle L_ {4} (2) cong A_ {8}.}$^[5]

Изоморфизм L₂(9) ≅ А₆ позволяет увидеть экзотический внешний автоморфизм из А₆ с точки зрения полевой автоморфизм и матричные операции. Изоморфизм L₄(2) ≅ А₈ представляет интерес в структура группы Матье M₂₄.

Связанные расширения SL (п, q) → PSL (п, q) находятся накрывающие группы знакопеременных групп (универсальные идеальные центральные надставки ) для А₄, А₅, уникальностью универсального совершенного центрального расширения; для L₂(9) ≅ А₆, ассоциированное расширение является идеальным центральным расширением, но не универсальным: существует 3-кратное группа покрытия.

Группы более F₅ имеют ряд исключительных изоморфизмов:

PSL (2, 5) ≅ А₅ ≅ я, переменная группа из пяти элементов, или, что то же самое, группа икосаэдров;

PGL (2, 5) ≅ S₅, то симметричная группа на пяти элементах;

SL (2, 5) ≅ 2 ⋅ А₅ ≅ 2я то двойная крышка переменной группы А₅, или эквивалентно бинарная группа икосаэдра.

Их также можно использовать для построения экзотическая карта S₅ → S₆, как описано ниже. Однако обратите внимание, что GL (2, 5) не является двойным покрытием S₅, а представляет собой 4-кратную обложку.

Дальнейший изоморфизм:

L₂(7) ≅ L₃(2) является простой группой порядка 168, второй по величине неабелевой простой группой, и не является альтернированной группой; увидеть PSL (2,7).

Вышеупомянутые исключительные изоморфизмы, включающие проективные специальные линейные группы, почти все являются исключительными изоморфизмами между семействами конечных простых групп; единственный другой исключительный изоморфизм - это PSU (4, 2) ≃ PSp (4, 3), между a проективная специальная унитарная группа и проективная симплектическая группа.^[3]

Действие на проективной линии

Некоторые из приведенных выше карт можно увидеть непосредственно с точки зрения действия PSL и PGL на связанной проективной линии: PGL (п, q) действует на проективном пространстве п^п−1(q), который имеет (q^п−1)/(q−1) точек, что дает отображение проективной линейной группы в симметрическую группу на (q^п−1)/(q−1) баллов. Для п = 2, это проективная прямая п¹(q) который имеет (q²−1)/(q−1) = q+1 балл, значит есть карта PGL (2, q) → S_q+1.

Чтобы понять эти карты, полезно вспомнить следующие факты:

• Порядок PGL (2, q) является

${ Displaystyle (д ^ {2} -1) (д ^ {2} -q) / (д-1) = д ^ {3} -q = (д-1) д (д + 1);}$

порядок PSL (2, q) либо равно этому (если характеристика равна 2), либо вдвое меньше (если характеристика не равна 2).

• Действие проективной линейной группы на проективной прямой точно 3-транзитивно (верный и 3-переходный ), так что карта взаимно однозначна и имеет образ 3-транзитивной подгруппы.

Таким образом, изображение представляет собой 3-транзитивную подгруппу известного порядка, что позволяет его идентифицировать. Это дает следующие карты:

• PSL (2, 2) = PGL (2, 2) → S₃, порядка 6, что является изоморфизмом.
  • Обратное отображение (проективное представление S₃ ) может быть реализована ангармоническая группа, и в более общем случае дает вложение S₃ → PGL (2, q) для всех полей.
• PSL (2, 3) S₄, порядков 12 и 24, последний из которых является изоморфизмом, причем PSL (2, 3) является знакопеременной группой.
  • Ангармоническая группа дает частичное отображение в противоположном направлении, отображение S₃ → PGL (2, 3) как стабилизатор точки −1.
• PSL (2, 4) = PGL (2, 4) → S₅порядка 60, что дает знакопеременную группу А₅.
• PSL (2, 5) S₆, порядков 60 и 120, что дает вложение S₅ (соответственно, А₅) как переходный подгруппа S₆ (соответственно, А₆). Это пример экзотическая карта S₅ → S₆, и может использоваться для построения исключительный внешний автоморфизм S₆.^[6] Отметим, что изоморфизм PGL (2, 5) ≅ S₅ непрозрачно из этой презентации: не существует особенно естественного набора из 5 элементов, на который действует PGL (2, 5).

Действие на п точки

Пока PSL (п, q) естественным образом действует на (q^п−1)/(q−1) = 1+q+...+q^п−1 баллов, нетривиальные действия с меньшим количеством баллов встречаются реже. Действительно, для PSL (2, п) действует нетривиально на п указывает тогда и только тогда, когда п = 2, 3, 5, 7 или 11; для 2 и 3 группа не простая, а для 5, 7 и 11 группа простая - кроме того, она не действует нетривиально на меньше чем п точки.^{[примечание 5]} Впервые это заметил Эварист Галуа в его последнем письме к Шевалье, 1832 г.^[7]

Это можно проанализировать следующим образом; обратите внимание, что для 2 и 3 действие не является точным (это нетривиальное факторное, и группа PSL не простая), в то время как для 5, 7 и 11 действие точное (поскольку группа проста и действие нетривиально) и дает вложение в S_п. Во всех случаях, кроме последнего, PSL (2, 11), он соответствует исключительному изоморфизму, когда самая правая группа имеет очевидное действие на п точки:

• ${ Displaystyle L_ {2} (2) cong S_ {3} twoheadrightarrow S_ {2}}$ через указательную карту;
• ${ Displaystyle L_ {2} (3) cong A_ {4} twoheadrightarrow A_ {3} cong C_ {3}}$ через фактор по 4-группе Клейна;
• ${ displaystyle L_ {2} (5) cong A_ {5}.}$ Чтобы построить такой изоморфизм, нужно рассмотреть группу L₂(5) как группа Галуа покрытия Галуа а₅: Икс(5) → Икс(1) = п¹, где Икс(N) это модульная кривая уровня N. Эта обложка разветвлена ​​на 12 пунктов. Модулярная кривая X (5) имеет род 0 и изоморфна сфере над полем комплексных чисел, и тогда действие L₂(5) по этим 12 точкам становится группа симметрии икосаэдра. Затем необходимо рассмотреть действие группы симметрии икосаэдра на пять связанных тетраэдров.
• L₂(7) ≅ L₃(2) который действует на 1 + 2 + 4 = 7 точек Самолет Фано (проективная плоскость над F₂); это также можно рассматривать как действие по порядку 2 биплан, какой дополнительный Самолет Фано.
• L₂(11) более тонкий и подробно описан ниже; действует по порядку 3 биплана.^[8]

В дальнейшем, L₂(7) и L₂(11) есть два неэквивалентный действия на п точки; геометрически это реализуется действием на биплан, имеющий п очки и п блоки - действие на точки и действие на блоки являются действиями на п точки, но не сопряженные (имеют разные стабилизаторы точки); вместо этого они связаны внешним автоморфизмом группы.^[9]

Совсем недавно эти последние три исключительных действия были интерпретированы как пример Классификация ADE:^[10] эти действия соответствуют продуктам (как наборы, а не как группы) групп как А₄ × Z/5Z, S₄ × Z/7Z, и А₅ × Z/11Z, где группы А₄, S₄ и А₅ группы изометрий Платоновы тела, и соответствуют E₆, E₇, и E₈ под Переписка Маккея. Эти три исключительных случая также реализуются как геометрии многогранников (эквивалентно разбиению римановых поверхностей) соответственно: соединение пяти тетраэдров внутри икосаэдра (сфера, род 0) биплан порядка 2 (дополнительный Самолет Фано ) внутри квартики Клейна (род 3) и биплана порядка 3 (Биплан Пэли ) внутри поверхность бакибола (род 70).^[11][12]

Действие L₂(11) алгебраически можно рассматривать как следствие исключительного включения ${ Displaystyle L_ {2} (5) hookrightarrow L_ {2} (11)}$ - существует два класса сопряженности подгрупп группы L₂(11), изоморфные L₂(5), каждый с 11 элементами: действие L₂(11) сопряжением на них является действие на 11 точек, и, кроме того, два класса сопряженности связаны внешним автоморфизмом L₂(11). (То же верно и для подгрупп L₂(7) изоморфен S₄, и это также имеет геометрию биплана.)

Геометрически это действие можно понять через геометрия биплана, который определяется следующим образом. Геометрия биплана - это симметричный дизайн (набор точек и равное количество «линий» или, скорее, блоков), так что любой набор из двух точек содержится в двух прямых, а любые две прямые пересекаются в двух точках; это похоже на конечную проективную плоскость, за исключением того, что вместо двух точек, определяющих одну линию (и двух прямых, определяющих одну точку), они определяют две прямые (соответственно, точки). В этом случае ( Биплан Пэли, полученный из Пэли диграф порядка 11) точки представляют собой аффинную линию (конечное поле) F₁₁, где первая строка определяется как пять ненулевых квадратичные вычеты (точки, которые являются квадратами: 1, 3, 4, 5, 9), а другие линии являются аффинными переводами этого (добавьте константу ко всем точкам). L₂(11) тогда изоморфна подгруппе S₁₁ которые сохраняют эту геометрию (переводят линии в линии), давая набор из 11 точек, в которых он действует - фактически две: точки или линии, которые соответствуют внешнему автоморфизму - в то время как L₂(5) является стабилизатором данной линии или двойственно данной точки.

Что еще более удивительно, пространство смежности L₂(11)/Z/11Z, который имеет порядок 660/11 = 60 (и на котором действует группа икосаэдра), естественно, имеет структуру баскетбол, который используется при построении поверхность бакибола.

Матье группы

Группу PSL (3, 4) можно использовать для построения Группа Матье M₂₄, один из спорадические простые группы; в этом контексте PSL (3, 4) называется M₂₁, хотя это не совсем группа Матье. Один начинается с проективной плоскости над полем из четырех элементов, которое является Система Штейнера типа S (2, 5, 21) - это означает, что он имеет 21 точку, каждая линия («блок», в терминологии Штайнера) имеет 5 точек, а любые 2 точки определяют линию - и на которой PSL (3, 4) действует. Эту систему Штейнера называют W₂₁ ("W" для Витт ), а затем расширяет его до более крупной системы Штейнера W₂₄, расширяя группу симметрий по пути: до проективной общей линейной группы PGL (3, 4), затем до проективная полулинейная группа PΓL (3, 4), и, наконец, к группе Матье M₂₄.

M₂₄ также содержит копии PSL (2, 11), который является максимальным в M₂₂, и PSL (2, 23), максимальная в M₂₄, и может быть использован для построения M₂₄.^[13]

Поверхности Гурвица

Некоторые группы PSL возникают как группы автоморфизмов поверхностей Гурвица, т. Е. Как факторы (2,3,7) треугольная группа, которая является симметрией семиугольная черепица порядка 3.

Группы PSL возникают как Группы Гурвица (группы автоморфизмов Поверхности Гурвица - алгебраические кривые максимально возможной группы симметрий). Поверхность Гурвица низшего рода, Кляйн квартика (род 3) имеет группу автоморфизмов, изоморфную PSL (2, 7) (эквивалентно GL (3, 2)), а поверхность Гурвица второго низшего рода Поверхность Macbeath (род 7), имеет группу автоморфизмов, изоморфную PSL (2, 8).

Фактически, многие, но не все простые группы возникают как группы Гурвица (включая группа монстров, хотя и не все чередующиеся группы или спорадические группы), хотя PSL примечателен тем, что включает самые маленькие такие группы.

Модульная группа

Группы PSL (2, Z/пZ) возникают при изучении модульная группа, PSL (2, Z), как частные за счет сокращения всех элементов по модулю п; ядра называются главные конгруэнтные подгруппы.

Заслуживающая внимания подгруппа проективных Общее линейная группа PGL (2, Z) (и проективной специальной линейной группы PSL (2, Z[я])) - симметрии множества {0, 1, ∞} ⊂ п¹(C)^{[примечание 6]} это также происходит в шесть перекрестных соотношений. Подгруппа может быть выражена как дробно-линейные преобразования, или представленные (неоднозначно) матрицами, как:

${ displaystyle x}$	${ Displaystyle 1 / (1-х)}$	${ Displaystyle (х-1) / х}$
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 1 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & -1 1 & 0 end {pmatrix}}}$
${ displaystyle 1 / x}$	${ displaystyle 1-x}$	${ Displaystyle х / (х-1)}$
${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {pmatrix} -1 & 1 0 & 1 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 1 & -1 end {pmatrix}}}$
${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & i i & 0 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {pmatrix} -i & i 0 & i end {pmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {pmatrix} i & 0 i & -i end {pmatrix}}}$

Обратите внимание, что верхняя строка - это идентичность и два 3-цикла, сохраняющие ориентацию, образуя подгруппу в PSL (2, Z), а нижняя строка - это три 2-цикла, которые находятся в PGL (2, Z) и PSL (2, Z[я]), но не в PSL (2, Z), поэтому реализуются либо в виде матриц с определителем −1 и целыми коэффициентами, либо в виде матриц с определителем 1 и Целое гауссово коэффициенты.

Это отображается в симметрии {0, 1, ∞} ⊂ п¹(п) под редуцирующей мод п. В частности, для п = 2, эта подгруппа изоморфно отображается в PGL (2, Z/2Z) = PSL (2, Z/2Z) ≅ S₃,^{[примечание 7]} и тем самым обеспечивает разделение ${ displaystyle operatorname {PGL} (2, mathbf {Z} / 2) hookrightarrow operatorname {PGL} (2, mathbf {Z})}$ для факторной карты ${ displaystyle operatorname {PGL} (2, mathbf {Z}) twoheadrightarrow operatorname {PGL} (2, mathbf {Z} / 2).}$

Подгруппы стабилизатора {0, 1, ∞} дополнительно стабилизируют точки {−1, 1/2, 2} и {φ₋, φ₊,}.

Еще одним свойством этой подгруппы является то, что фактор-отображение S₃ → S₂ реализуется групповым действием. То есть подгруппа C₃ < S₃ состоящий из 3-циклов, и тождество () (0 1 ∞) (0 ∞ 1) стабилизирует Золотое сечение и обратное золотое сечение ${ displaystyle varphi _ { pm} = { frac {1 pm { sqrt {5}}} {2}},}$ в то время как 2 цикла меняют их местами, таким образом реализуя карту.

Неподвижные точки отдельных 2-циклов равны соответственно -1, 1/2, 2, и этот набор также сохраняется и переставляется, что соответствует действию S₃ на 2-циклах (его силовских 2-подгруппах) сопряжением и реализацией изоморфизма ${ displaystyle S_ {3} { overset { sim} { to}} operatorname {Inn} (S_ {3}) cong S_ {3}.}$

Топология

По действительным и комплексным числам топологию PGL и PSL можно определить из пучки волокон которые их определяют:

${ displaystyle { begin {matrix} mathrm {Z} & cong & K * & to & mathrm {GL} & to & mathrm {PGL} mathrm {SZ} & cong & mu _ {n} & to & mathrm {SL} & to & mathrm {PSL} end {matrix}}}$

через длинная точная последовательность расслоения.

И для вещественных, и для комплексов SL является покрывающее пространство PSL, с количеством листов равным количеству пth корнями в K; таким образом, в частности, все их высшие гомотопические группы дать согласие. Для реалов SL - это 2-кратная обложка PSL для п даже, и представляет собой односложное покрытие для п нечетное, т. е. изоморфизм:

{± 1} → SL (2п, р) → PSL (2п, р)

${ displaystyle operatorname {SL} (2n + 1, mathbf {R}) { overset { sim} { to}} operatorname {PSL} (2n + 1, mathbf {R})}$

Для комплексов SL является п-складная крышка PSL.

Для PGL, для вещественных чисел, волокно р* ≅ {± 1}, поэтому с точностью до гомотопии GL → PGL является двумерным накрывающим пространством, и все высшие гомотопические группы согласованы.

Для ПГЛ над комплексами волокно имеет вид C* ≅ S¹, поэтому с точностью до гомотопии GL → PGL - расслоение окружностей. Высшие гомотопические группы окружности обращаются в нуль, поэтому гомотопические группы GL (п, C) и PGL (п, C) согласен на п ≥ 3. На самом деле π₂ всегда обращается в нуль для групп Ли, поэтому гомотопические группы согласуются для п ≥ 2. Для п = 1, то π₁(GL (п, C)) = π₁(S¹) = Z а значит, PGL (п, C) односвязно.

Покрывающие группы

Над действительными и комплексными числами проективными специальными линейными группами являются минимальный (бесцентровый ) Группы Ли для специальной линейной алгебры Ли ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (п) двоеточие}$ каждая связная группа Ли, алгебра Ли которой ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (п)}$ это обложка PSL (п, F). И наоборот, его универсальная группа покрытий это максимальный (односвязный ) элемент, а промежуточные реализации образуют решетка накрывающих групп.

Например, SL (2, р) имеет центр {± 1} и фундаментальную группу Z, и поэтому имеет универсальное покрытие SL (2, р) и покрывает бесцентровую PSL (2, р).

Теория представлений

А проективное представление из г можно вернуть в линейное представление из центральное расширение C из Г.

А групповой гомоморфизм г → PGL (V) из группы г проективной линейной группе называется проективное представление группы Г, по аналогии с линейное представление (гомоморфизм G → GL (V)). Они были изучены Иссай Шур, кто показал это проективный представления г можно классифицировать по линейный представления центральные пристройки из г. Это привело к Множитель Шура, который используется для ответа на этот вопрос.

Низкие габариты

Проективная линейная группа в основном изучается для п ≥ 2, хотя его можно определить для малых размеров.

Для п = 0 (или на самом деле п <0) проективное пространство K⁰ пусто, так как в 0-мерном пространстве нет одномерных подпространств. Таким образом, PGL (0, K) - тривиальная группа, состоящая из единственного пустого отображения из пустой набор себе. Кроме того, действие скаляров на 0-мерном пространстве тривиально, поэтому отображение К * → GL (0, K) является тривиальным, а не включением, как в более высоких измерениях.

Для п = 1 проективное пространство K¹ является единственной точкой, так как существует единственное одномерное подпространство. Таким образом, PGL (1, K) - тривиальная группа, состоящая из единственного отображения из одноэлементный набор себе. Кроме того, общая линейная группа одномерного пространства - это в точности скаляры, поэтому отображение ${ displaystyle K ^ {*} { overset { sim} { to}} operatorname {GL} (1, K)}$ - изоморфизм, соответствующий PGL (1, K): = GL (1, K)/К * ≅ {1} тривиально.

Для п = 2, PGL (2, K) нетривиален, но необычен тем, что он 3-транзитивен, в отличие от более высоких измерений, когда он только 2-транзитивен.

Примеры

• PSL (2,7)
• Модульная группа, PSL (2, Z)
• PSL (2, R)
• Группа Мебиуса, PGL (2, C) = PSL (2, C)

Подгруппы

• Проективная ортогональная группа, ПО - максимальная компактная подгруппа PGL
• Проективная унитарная группа, ПУ
• Проективная специальная ортогональная группа, PSO - максимальная компактная подгруппа в PSL
• Проективная специальная унитарная группа, БП

Большие группы

Проективная линейная группа содержится в более крупных группах, а именно:

• Проективная полулинейная группа, PΓL, что позволяет полевые автоморфизмы.
• Кремона группа, Cr(п^п(k)) из бирациональные автоморфизмы; Любые двурегулярный автоморфизм линейен, поэтому PGL совпадает с группой бирегулярных автоморфизмов.

Смотрите также

• Проективное преобразование
• Единица измерения

Заметки

использованная литература

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Проективная линейная группа»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Февраль 2008 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)