Модульная кривая - Modular curve

В теория чисел и алгебраическая геометрия, а модульная кривая Y(Γ) является Риманова поверхность, или соответствующий алгебраическая кривая, построенный как частное комплекса верхняя полуплоскость ЧАС посредством действие из подгруппа конгруэнции Γ модульная группа целых 2 × 2 -матриц SL (2,Z). Термин модульная кривая также может использоваться для обозначения компактифицированные модульные кривые Икс(Γ), которые компактификации получается добавлением конечного числа точек (называемых каспы Γ) к этому частному (через действие на расширенная комплексная верхняя полуплоскость). Точки модульной кривой параметризовать классы изоморфизма эллиптические кривые вместе с некоторой дополнительной структурой, зависящей от группы Γ. Эта интерпретация позволяет дать чисто алгебраическое определение модулярных кривых без ссылки на комплексные числа и, более того, доказать, что модульные кривые являются определены либо над полем Q из рациональное число, или круговое поле. Последний факт и его обобщения имеют фундаментальное значение в теории чисел.

Аналитическое определение

Модульная группа SL (2,Z) действует в верхней полуплоскости дробно-линейные преобразования. Аналитическое определение модулярной кривой включает выбор конгруэнтной подгруппы Γ группы SL (2,Z), т.е. подгруппа, содержащая главная подгруппа конгруэнции уровня N Γ (N), для некоторого положительного целого числа N, где

${ Displaystyle Gamma (N) = left {{ begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}: a Equiv d Equiv pm 1 mod N { text {и }} b, c Equiv 0 mod N right }.}$

Минимальный такой N называется уровень Γ. А сложная структура можно положить на фактор Γ ЧАС получить некомпактный Риманова поверхность обычно обозначается Y(Γ).

Компактифицированные модульные кривые

Обычная компактификация Y(Γ) получается добавлением конечного числа точек, называемых каспами Γ. В частности, это делается путем рассмотрения действия Γ на расширенная комплексная верхняя полуплоскость ЧАС* = ЧАС ∪ Q ∪ {∞}. Введем топологию на ЧАС* взяв за основу:

• любое открытое подмножество ЧАС,
• для всех р > 0 множество ${ displaystyle { infty } чашка { tau in mathbf {H} mid { text {Im}} ( tau)> r }}$
• для всех взаимно простые целые числа а, c и все р > 0 изображение ${ displaystyle { infty } чашка { tau in mathbf {H} mid { text {Im}} ( tau)> r }}$ под действием

${ displaystyle { begin {pmatrix} a & -m c & n end {pmatrix}}}$

где м, п целые числа такие, что ан + см = 1.

Это превращается ЧАС* в топологическое пространство, которое является подмножеством Сфера Римана п¹(C). Группа Γ действует на подмножестве Q ∪ {∞}, разбивая его на конечное множество орбиты называется каспы Γ. Если Γ действует транзитивно на Q ∪ {∞} пространство Γ ЧАС* становится Александрова компактификация из Γ ЧАС. И снова на фактор Γ ЧАС* превращая его в риманову поверхность, обозначенную Икс(Γ) который теперь компактный. Это пространство - компактификация Y(Γ).^[1]

Примеры

Наиболее распространенные примеры - кривые Икс(N), Икс₀(N), и Икс₁(N), ассоциированные с подгруппами Γ (N), Γ₀(N), а Γ₁(N).

Модульная кривая Икс(5) имеет род 0: это сфера Римана с 12 каспами, расположенными в вершинах правильного икосаэдр. Покрытие Икс(5) → Икс(1) реализуется действием группа икосаэдров на сфере Римана. Эта группа представляет собой простую группу порядка 60, изоморфную А₅ и PSL (2, 5).

Модульная кривая Икс(7) - это Кляйн квартика рода 3 с 24 бугорками. Его можно интерпретировать как поверхность с тремя ручками, выложенными плиткой из 24 семиугольников, с выступом в центре каждой грани. Эти мозаики можно понять через детские рисунки и Функции Белого - точки возврата - это точки, лежащие над ∞ (красные точки), а вершины и центры ребер (черные и белые точки) - это точки, лежащие над 0 и 1. Группа Галуа покрытия Икс(7) → Икс(1) - простая группа порядка 168, изоморфная PSL (2, 7).

Существует явная классическая модель для Икс₀(N), классическая модульная кривая; это иногда называют то модульная кривая. Определение Γ (N) можно переформулировать следующим образом: именно подгруппа модулярной группы является ядром редукции по модулю N. Тогда Γ₀(N) - большая подгруппа матриц, верхнетреугольных по модулю N:

${ displaystyle left {{ begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}: c Equiv 0 mod N right },}$

и Γ₁(N) является промежуточной группой, определяемой:

${ Displaystyle left {{ begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}: a эквив d эквив 1 mod N, c эквив 0 mod N right }.}$

Эти кривые имеют прямую интерпретацию как пространства модулей для эллиптические кривые с участием структура уровней и по этой причине они играют важную роль в арифметическая геометрия. Уровень N модульная кривая Икс(N) - пространство модулей эллиптических кривых с базисом для N-кручение. Для Икс₀(N) и Икс₁(N) структура уровней представляет собой соответственно циклическую подгруппу порядка N и по порядку ведения заседания N. Эти кривые изучены очень подробно, и, в частности, известно, что Икс₀(N) можно определить над Q.

Уравнения, определяющие модульные кривые, являются наиболее известными примерами модульные уравнения. «Лучшие модели» могут сильно отличаться от взятых непосредственно из эллиптическая функция теория. Операторы Гекке можно изучать геометрически, как корреспонденции соединяющие пары модульных кривых.

Замечание: частные от ЧАС это находятся договор действительно происходит для Фуксовы группы Γ кроме подгрупп модулярной группы; класс из них, построенный из кватернионные алгебры также представляет интерес для теории чисел.

Род

Покрытие Икс(N) → Икс(1) является Галуа, с группой Галуа SL (2, N) / {1, −1}, что равно PSL (2,N) если N простое. Применяя Формула Римана – Гурвица и Теорема Гаусса – Бонне, можно вычислить род Икс(N). Для премьер уровень п ≥ 5,

${ Displaystyle - пи чи (Х (р)) = | G | CDOT D,}$

где χ = 2 - 2г это Эйлерова характеристика, |г| = (п+1)п(п−1) / 2 - порядок группы PSL (2, п), и D = π - π / 2 - π / 3 - π /п это угловой дефект сферической (2,3,п) треугольник. Это приводит к формуле

${ displaystyle g = { tfrac {1} {24}} (p + 2) (p-3) (p-5).}$

Таким образом Икс(5) имеет род 0, Икс(7) имеет род 3, а Икс(11) имеет род 26. Для п = 2 или 3 необходимо дополнительно учесть разветвленность, то есть наличие порядка п элементы в PSL (2, Z), а также тот факт, что PSL (2, 2) имеет порядок 6, а не 3. Существует более сложная формула для определения рода модулярной кривой Икс(N) любого уровня N что включает делители N.

Род ноль

В целом поле модульных функций это функциональное поле модульной кривой (или, иногда, какой-нибудь другой пространство модулей это оказывается неприводимое разнообразие ). Род ноль означает, что такое функциональное поле имеет единственный трансцендентная функция как генератор: например, j-функция генерирует функциональное поле Икс(1) = PSL (2, Z)\ЧАС*. Традиционное название такого генератора, уникальное с точностью до Преобразование Мёбиуса и может быть соответствующим образом нормализован, является Хауптмодуль (основной или основная модульная функция).

Пространства Икс₁(п) имеют нулевой род для п = 1, ..., 10 и п = 12. Поскольку каждая из этих кривых определена над Q и имеет Q-рациональная точка, то на каждой такой кривой имеется бесконечно много рациональных точек и, следовательно, бесконечно много эллиптических кривых, определенных над Q с участием п-кручение для этих значений п. Обратное утверждение, что только эти значения п может произойти, это Теорема Мазура о кручении.

Отношения с группой монстров

Модульные кривые рода 0, которые довольно редки, оказались очень важными по отношению к чудовищный самогон домыслы. Первые несколько коэффициентов q-расширения их Hauptmoduln были вычислены еще в 19 веке, но было шоком, что те же самые большие целые числа появляются как измерения представлений самой большой спорадической простой группы Monster.

Другая связь заключается в том, что модульная кривая, соответствующая нормализатор Γ₀(п)⁺ из Γ₀ (п) в SL (2, р) имеет нулевой род тогда и только тогда, когда п равно 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 или 71, и это в точности простые множители порядка числа группа монстров. Результат о Γ₀(п)⁺ связано с Жан-Пьер Серр, Эндрю Огг и Джон Г. Томпсон в 1970-х годах, и последующее наблюдение, связанное с группой монстров, принадлежит Оггу, который написал статью, предлагающую бутылку Jack Daniels виски любому, кто мог объяснить этот факт, который стал отправной точкой для теории чудовищного самогона.^[2]

Связь очень глубокая и, как показывает Ричард Борчердс, это также включает обобщенные алгебры Каца – Муди. Работа в этой области подчеркнула важность модульный функции которые являются мероморфными и могут иметь полюса на бугорках, в отличие от модульный формы, которые голоморфны повсюду, включая куспиды, и были главными объектами исследования на протяжении большей части ХХ века.

Смотрите также

• Теорема Манина – Дринфельда.
• Стек модулей эллиптических кривых
• Теорема модульности
• Сорт Шимура, обобщение модульных кривых на более высокие измерения

использованная литература

• Стивен Д. Гэлбрейт - Уравнения для модульных кривых