Поле определения - Field of definition

В математика, то область определения из алгебраическое многообразие V по сути самый маленький поле к которому коэффициенты многочлены определение V может принадлежать. Для заданных многочленов с коэффициентами в поле K, может быть неочевидно, есть ли меньшее поле k, и другие многочлены, определенные над k, которые до сих пор определяют V.

Вопрос о поле определения вызывает озабоченность в диофантова геометрия.

Обозначение

В этой статье k обозначает поле. В алгебраическое замыкание поля обозначается добавлением верхнего индекса "alg", например алгебраическое замыкание k является k^alg. Символы Q, р, C, и F_п представляют собой соответственно поле рациональное число, Поле действительные числа, Поле сложные числа, а конечное поле содержащий п элементы. Аффинный п-Космос над полем F обозначается А^п(F).

Определения аффинных и проективных многообразий

Результаты и определения приведены ниже для аффинные разновидности, можно перевести на проективные многообразия, заменив А^п(k^alg) с проективное пространство измерения п - 1 больше k^alg, и настаивая на том, чтобы все многочлены были однородный.

А k-алгебраический набор является геометрическим нулем в А^п(k^alg) подмножества кольца многочленов k[Икс₁, …, Икс_п]. А k-разнообразие это k-алгебраическое множество, которое неприводимо, т.е. не является объединением двух строго меньших k-алгебраические множества. А k-морфизм это обычная функция между k-алгебраические множества, определяющие коэффициенты многочленов которых принадлежат k.

Одна из причин для рассмотрения нулевого локуса в А^п(k^alg) и нет А^п(k) состоит в том, что для двух различных k-алгебраические множества Икс₁ и Икс₂, то перекрестки Икс₁∩А^п(k) и Икс₂∩А^п(k) могут быть идентичными; фактически, нулевой геометрический А^п(k) любого подмножества k[Икс₁, …, Икс_п] является геометрическим нулем Один элемент k[Икс₁, …, Икс_п] если k не является алгебраически замкнутым.

А k-разновидность называется разнообразие если это абсолютно несводимый, т.е. не является объединением двух строго меньших k^alg-алгебраические множества. Разнообразие V является определяется по k если каждый многочлен из k^alg[Икс₁, …, Икс_п] который исчезает на V это линейная комбинация (над k^alg) многочленов от k[Икс₁, …, Икс_п] которые исчезают на V. А k-алгебраическое множество также является L-алгебраическое множество для бесконечного числа подполей L из k^alg. А область определения разнообразия V это подполе L из k^alg такой, что V является L-многообразие, определенное над L.

Эквивалентно k-разнообразие V многообразие, определенное над k если и только если функциональное поле k(V) из V это регулярное продление из k, в смысле Weil. Это означает, что каждое подмножество k(V) то есть линейно независимый над k также линейно независима над k^alg. Другими словами, эти расширения k находятся линейно непересекающийся.

Андре Вайль доказал, что пересечение всех полей определения многообразия V сам по себе является областью определения. Это оправдывает утверждение, что любое разнообразие обладает уникальным минимальным полем определения.

Примеры

1. Нулевая точка Икс₁²+ Икс₂² это оба Q-разнообразие и Q^alg-алгебраическое множество, но ни многообразие, ни Q^alg-многообразие, так как это объединение Q^alg-многообразия, определяемые полиномами Икс₁ + яИкс₂ и Икс₁ - яИкс₂.
2. С F_п(т) а трансцендентное расширение из F_п, многочлен Икс₁^п- т равно (Икс₁ - т^1/п) ^п в кольце многочленов (F_п(т))^alg[Икс₁]. В F_п(т) -алгебраическое множество V определяется Икс₁^п- т это разновидность; он абсолютно неприводим, потому что состоит из одной точки. Но V не определяется по F_п(т), поскольку V также является геометрическим нулем Икс₁ - т^1/п.
3. В сложная проективная линия является проективным р-разнообразие. (На самом деле это разновидность с Q в качестве минимального поля определения.) реальная проективная линия как экватор на сфере Римана, покоординатное действие комплексное сопряжение на сложной проекционной линии меняются местами точки с одинаковой долготой, но противоположными широтами.
4. Проективный р-разнообразие W определяемый однородным полиномом Икс₁²+ Икс₂²+ Икс₃² также является многообразием с минимальным полем определения Q. Следующая карта определяет C-изоморфизм комплексной проективной прямой на W: (а,б) → (2ab, а²-б², -i (а²+б²)). Идентификация W со сферой Римана, использующей это отображение, покоординатное действие комплексное сопряжение на W меняет местами противоположные точки сферы. Комплексная проективная линия не может быть р-изоморфен W потому что у первого реальные очки, точки фиксируются комплексным сопряжением, а последнее - нет.

Теоретико-схемные определения

Одно из преимуществ определения многообразий над произвольными полями через теорию схемы в том, что такие определения являются внутренними и свободными от вложений в окружающие аффинные п-Космос.

А k-алгебраический набор это отделенный и уменьшенный схема конечный тип над Спецификация (k). А k-разнообразие является несводимый k-алгебраическое множество. А k-морфизм это морфизм между k-алгебраические множества, рассматриваемые как схемы над Спецификация (k).

Каждому алгебраическому расширению L из k, то L-алгебраический набор, связанный с данным k-алгебраический набор V это волокнистое изделие схем V ×_{Спецификация (k)} Спецификация (L). А k-многообразие абсолютно неприводимо, если ассоциированное k^alg-алгебраическое множество - неприводимая схема; в этом случае k-разновидность называется разнообразие. Абсолютно неприводимый k-разнообразие определяется по k если связанный k^alg-алгебраическое множество - это приведенная схема. А область определения разнообразия V это подполе L из k^alg такой, что существует k∩L-разнообразие W такой, что W ×_{Спецификация (k∩L)} Спецификация (k) изоморфна V и последний объект в категории сокращенных схем над W ×_{Спецификация (k∩L)} Спецификация (L) является L-многообразие, определенное над L.

Аналогично определениям для аффинных и проективных многообразий a k-многообразие - это многообразие, определенное над k если стебель из структурный пучок на общая точка является регулярным продолжением k; более того, каждое разнообразие имеет минимальное поле определения.

Одним из недостатков теоретико-схемного определения является то, что схема над k не может иметь L-значная точка если L не является продолжением k. Например, рациональная точка (1,1,1) является решением уравнения Икс₁ + яИкс₂ - (1 + я)Икс₃ но соответствующий Q[i] -разновидность V не имеет спецификации (Q) -значная точка. Два определения область определения также противоречивы, например (теоретико-схемное) минимальное поле определения V является Q, а в первом определении это было бы Q[я]. Причина этого расхождения заключается в том, что теоретико-схемные определения отслеживают только полиномиальное множество до смены основы. В этом примере один из способов избежать этих проблем - использовать Q-разновидность Spec (Q[Икс₁,Икс₂,Икс₃]/(Икс₁²+ Икс₂²+ 2Икс₃²- 2Икс₁Икс₃ - 2Икс₂Икс₃)), чьи ассоциированные Q[i] -алгебраическое множество - это объединение Q[i] -многообразие Spec (Q[я][Икс₁,Икс₂,Икс₃]/(Икс₁ + яИкс₂ - (1 + я)Икс₃)) и его комплексное сопряжение.

Действие абсолютной группы Галуа

В абсолютная группа Галуа Гал (k^alg/k) из k естественно действует на нулевом локусе в А^п(k^alg) подмножества кольца многочленов k[Икс₁, …, Икс_п]. В общем, если V это схема над k (например, k-алгебраическое множество), Gal (k^alg/k) естественно действует на V ×_{Спецификация (k)} Спецификация (k^alg) через его действие на Spec (k^alg).

Когда V является многообразием, определенным над идеальное поле k, схема V можно восстановить из схемы V ×_{Спецификация (k)} Спецификация (k^alg) вместе с действием Гал (k^alg/k) на последней схеме: участки структурного пучка V на открытом подмножестве U точно разделы структурного пучка V ×_{Спецификация (k)} Спецификация (k^alg) на U ×_{Спецификация (k)} Спецификация (k^alg) чей остатки постоянны на каждом Gal (k^alg/k)-орбита в U ×_{Спецификация (k)} Спецификация (k^alg). В аффинном случае это означает, что действия абсолютной группы Галуа на множестве нулей достаточно для восстановления подмножества k[Икс₁, …, Икс_п] состоящий из исчезающих многочленов.

В общем, этой информации недостаточно для восстановления V. в пример нулевого геометрического места Икс₁^п- т в (F_п(т))^alg, многообразие состоит из единственной точки, поэтому действие абсолютной группы Галуа не может различить, был ли идеал исчезающих многочленов порожден Икс₁ - т^1/п, к Икс₁^п- т, или, действительно, Икс₁ - т^1/п возведен в какую-то другую силу п.

Для любого подполя L из k^alg и любой L-разнообразие V, автоморфизм σ k^alg составят карту V изоморфно на σ (L)-разнообразие.

дальнейшее чтение

• Фрид, Майкл Д .; Моше Джарден (2005). Полевая арифметика. Springer. п. 780. Дои:10.1007 / b138352. ISBN  3-540-22811-Х.
  • Терминология в этой статье совпадает с терминологией в тексте Фрида и Джардена, которые принимают номенклатуру Вейля для разновидностей. Ссылка на второе издание здесь также содержит подраздел, содержащий словарь между этой номенклатурой и более современной схемой.
• Кунц, Эрнст (1985). Введение в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию. Birkhäuser. п. 256. ISBN  0-8176-3065-1.
  • Кунц имеет дело строго с аффинными и проективными многообразиями и схемами, но до некоторой степени покрывает взаимосвязь между определениями Вейля для многообразий и Гротендик Определения для схем.
• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга сортов и схем. Springer. С. 198–203. Дои:10.1007 / b62130. ISBN  3-540-63293-X.
  • Мамфорд посвящает только один раздел книги таким вопросам арифметики, как область определения, но в нем в полной мере освещаются многие теоретико-схемные результаты, изложенные в этой статье.