Абсолютно неприводимый - Absolutely irreducible

В математика, а многомерный полином определены в рациональное число является абсолютно несводимый если это несводимый над сложное поле.[1][2][3] Например, абсолютно неприводимо, но пока неприводимо по целым и действительным числам, оно сводимо по комплексным числам как и поэтому не совсем неприводимый.

В более общем смысле, многочлен, определенный над полем K абсолютно неприводимо, если оно неприводимо над любым алгебраическим расширением K,[4] и аффинное алгебраическое множество определяется уравнениями с коэффициентами в поле K абсолютно неприводимо, если оно не является объединением двух алгебраических множеств, определяемых уравнениями в алгебраически замкнутое расширение из K. Другими словами, абсолютно неприводимое алгебраическое множество является синонимом алгебраическое многообразие,[5] что подчеркивает, что коэффициенты определяющих уравнений могут не принадлежать алгебраически замкнутому полю.

Абсолютно неприводимый также применяется с тем же значением к линейные представления из алгебраические группы.

Во всех случаях быть абсолютно неприводимым - это то же самое, что быть неприводимым по алгебраическое замыкание земельного поля.

Примеры

  • Одномерный многочлен степени большей или равной 2 никогда не бывает абсолютно неприводимым из-за основная теорема алгебры.
  • Неприводимое двумерное представление симметричная группа S3 порядка 6, первоначально определенная над полем рациональное число, абсолютно неприводимо.
  • Представление круговая группа вращениями на плоскости неприводима (над полем действительных чисел), но не является абсолютно неприводимой. После расширения поля до комплексных чисел оно разделяется на две неприводимые компоненты. Этого и следовало ожидать, поскольку круговая группа коммутативный и известно, что все неприводимые представления коммутативных групп над алгебраически замкнутым полем одномерны.
  • Вещественное алгебраическое многообразие, определяемое уравнением
абсолютно неприводимо.[3] Это обычный круг над вещественными числами и остается неприводимым коническая секция над полем комплексных чисел. Абсолютная неприводимость вообще имеет место над любым полем, не относящимся к характеристика два. Во второй характеристике уравнение эквивалентно (Икс + у −1)2 = 0. Следовательно, он определяет двойную линию Икс + у = 1, что является несокращенный схема.
  • Алгебраическое многообразие, задаваемое уравнением
не является абсолютно неприводимым. Действительно, левую часть можно разложить на множители как
куда является квадратным корнем из −1.
Следовательно, это алгебраическое многообразие состоит из двух прямых, пересекающихся в начале координат, и не является абсолютно неприводимым. Это верно либо уже над основным полем, если −1 - квадрат, либо над квадратичным расширением, полученным присоединением я.

Рекомендации

  1. ^ Боревич, З. И .; Шафаревич, И. Р. (1986), Теория чисел, Чистая и прикладная математика, 20, Academic Press, стр. 10, ISBN  9780080873329.
  2. ^ Грабмайер, Йоханнес; Кальтофен, Эрих; Вайспфеннинг, Фолькер (2003), Справочник по компьютерной алгебре: основы, приложения, системы, Springer, стр. 26, ISBN  9783540654667.
  3. ^ а б Такер, Аллен Б. (2004), Справочник по информатике (2-е изд.), CRC Press, стр. 8–17 - 8-18, ISBN  9780203494455.
  4. ^ Степанов, Сергей А. (1994), Арифметика алгебраических кривых, Монографии по современной математике, Springer, p. 53, ISBN  9780306110368.
  5. ^ Нидеррайтер, Харальд; Син, Чаопин (2009), Алгебраическая геометрия в теории кодирования и криптографии, Princeton University Press, стр. 47, ISBN  9781400831302.