Структура уровней (алгебраическая геометрия) - Level structure (algebraic geometry)

В алгебраическая геометрия, а структура уровней на Космос Икс это дополнительная структура, прикрепленная к Икс что сжимает или устраняет группа автоморфизмов из Икс, требуя от автоморфизмов сохранения структуры уровней; прикрепление уровневой структуры часто выражается как ожесточение геометрия Икс.^[1][2]

В приложениях при построении пространства модулей; пространство модулей часто строится как фактор. Наличие автоморфизмов затрудняет формирование частное; таким образом, введение структур уровней помогает преодолеть эту трудность.

Единого определения уровневой структуры не существует; скорее, в зависимости от места Иксвводится понятие уровневой структуры. Классический - на эллиптическая кривая (видеть # Пример: абелева схема ). Есть многоуровневая структура, прикрепленная к формальная группа называется Структура уровней Дринфельда, введенный в (Дринфельд 1974 ).^[3]

Уровневые конструкции на эллиптических кривых

Классические структуры уровней на эллиптических кривых ${ Displaystyle E = mathbb {C} / Lambda}$ задаются решеткой, содержащей определяющую решетку многообразия. Из теории модулей эллиптических кривых все такие решетки можно описать как решетку ${ Displaystyle mathbb {Z} oplus mathbb {Z} cdot tau}$ за ${ displaystyle tau in { mathfrak {h}}}$ в верхней полуплоскости. Тогда решетка, порожденная ${ Displaystyle 1 / п, тау / п}$ дает решетку, содержащую все ${ displaystyle n}$-точки кручения на эллиптической кривой обозначены ${ Displaystyle E [п]}$. Фактически, данная решетка инвариантна относительно ${ Displaystyle Гамма (п) подмножество { текст {SL}} _ {2} ( mathbb {Z})}$ действие на ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$, куда

${ displaystyle { begin {align} Gamma (n) & = { text {ker}} ({ text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}) to { text {SL} } _ {2} ( mathbb {Z} / n)) & = left {M in { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}): M Equiv { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} { text {(mod n)}} right } end {выровнено}}}$

следовательно, это дает точку в ${ displaystyle Gamma (п) обратная косая черта { mathfrak {h}}}$^[4] называется пространством модулей структур уровня N эллиптических кривых ${ Displaystyle Y (п)}$, который является модульная кривая. Фактически, это пространство модулей содержит немного больше информации: Спаривание Вейля

${ displaystyle e_ {n} left ({ frac {1} {n}}, { frac { tau} {n}} right) = e ^ {2 pi i / n}}$

дает точку в ${ displaystyle n}$-й корень из единства, следовательно, в ${ Displaystyle mathbb {Z} / п}$.

Пример: абелева схема

Позволять ${ displaystyle X to S}$ быть абелева схема чьи геометрические волокна имеют размер грамм.

Позволять п - натуральное число, простое с полем вычетов каждого s в S. За п ≥ 2, а уровень п-структура это набор разделов ${ displaystyle sigma _ {1}, dots, sigma _ {2g}}$ такой, что^[5]

1. для каждой геометрической точки ${ displaystyle s: S to X}$, ${ displaystyle sigma _ {я} (s)}$ составляют основу группы по порядку ведения заседания п в ${ displaystyle { overline {X}} _ {s}}$,
2. ${ Displaystyle м_ {п} circ sigma _ {я}}$ - тождественное сечение, где ${ displaystyle m_ {n}}$ это умножение на п.

Смотрите также: модульная кривая # Примеры, набор модулей эллиптических кривых.

Смотрите также

• Модульная форма Siegel
• Жесткость (математика)
• Местная жесткость

Примечания

Рекомендации

• Дринфельд В. (1974). «Эллиптические модули». Математика СССР Сборник. 23 (4): 561–592. Bibcode:1974SbMat..23..561D. Дои:10.1070 / см1974v023n04abeh001731.
• Кац, Николас М.; Мазур, Барри (1985). Арифметические модули эллиптических кривых. Princeton University Press. ISBN  0-691-08352-5.
• Харрис, Майкл; Тейлор, Ричард (2001). Геометрия и когомологии некоторых простых многообразий Шимуры. Анналы математических исследований. 151. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-1-4008-3720-5.
• Мамфорд, Дэвид; Fogarty, J .; Кирван, Ф. (1994). Геометрическая теория инвариантов. Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете (2) [Результаты по математике и смежным областям (2)]. 34 (3-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-56963-3. МИСТЕР  1304906.

дальнейшее чтение

• Примечания к основным пакетам
• Дж. Лурье, Уровневые структуры на эллиптических кривых.

Этот связанные с алгебраической геометрией статья - это заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.