Сорт Шимура - Shimura variety

В теория чисел, а Сорт Шимура является многомерным аналогом модульная кривая что возникает как частное разнообразие из Эрмитово симметричное пространство по подгруппа конгруэнции из редуктивная алгебраическая группа определяется по Q. Сорта Шимура не алгебраические многообразия но являются семействами алгебраических многообразий. Кривые Шимуры - одномерные многообразия Шимуры. Гильбертовые модульные поверхности и Модульные разновидности Siegel являются одними из самых известных классов разновидностей Шимура.

Особые экземпляры разновидностей Шимура были первоначально введены Горо Шимура в ходе его обобщения комплексное умножение теория. Шимура показал, что изначально определенные аналитически, они являются арифметическими объектами в том смысле, что они допускают модели определенный через числовое поле, то рефлекторное поле разновидности Шимура. В 1970-е годы Пьер Делинь создал аксиоматическую основу для работы Шимуры. В 1979 г. Роберт Лэнглендс отметил, что многообразия Шимуры образуют естественную область примеров, для которых эквивалентность между мотивирующий и автоморфный L-функции постулируется в Программа Langlands можно протестировать. Автоморфные формы реализовано в когомология разновидности Шимура более поддаются изучению, чем общие автоморфные формы; в частности, есть конструкция крепления Представления Галуа им.^[1]

Определение

Данные Шимуры

Позволять S = Res_C/р грамм_м быть Ограничение Вейля мультипликативной группы из сложные числа к действительные числа. Это настоящий алгебраическая группа, группа которых р-точки, S(р), является C^* и группа C-баллов C^*×C^*. А Данные Шимуры пара (грамм, Икс) состоящий из редуктивная алгебраическая группа грамм определяется по полю Q из рациональное число и грамм(р)-класс сопряженности Икс из гомоморфизмы час: S → грамм_р удовлетворяющие следующим аксиомам:

• Для любого час в Икс, только веса (0,0), (1, −1), (−1,1) могут встречаться в грамм_C, т.е. комплексифицированная алгебра Ли грамм раскладывается в прямую сумму

${ displaystyle { mathfrak {g}} otimes mathbb {C} = { mathfrak {k}} oplus { mathfrak {p}} ^ {+} oplus { mathfrak {p}} ^ {- },}$

где для любого z ∈ S, час(z) действует тривиально на первое слагаемое и через ${ displaystyle z / { bar {z}}}$ (соответственно, ${ displaystyle { bar {z}} / z}$) на втором (соответственно третьем) слагаемом.

• Присоединенное действие h (я) индуцирует Инволюция Картана на присоединенной группе грамм_р.
• Присоединенная группа грамм_р не допускает фактора ЧАС определяется по Q так что проекция час на ЧАС тривиально.

Из этих аксиом следует, что Икс имеет уникальную структуру комплексное многообразие (возможно, отключенный) такой, что для каждого представления ρ: грамм_р → GL(V), семья (V, ρ ⋅ час) - голоморфное семейство Структуры Ходжа; кроме того, он образует разновидность структуры Ходжа, и Икс является конечным дизъюнктным объединением эрмитовы симметричные области.

Сорт Шимура

Позволять А_ƒ быть кольцо конечных аделей из Q. Для любой достаточно малой компактной открытой подгруппы K из грамм(А_ƒ), двойной смежный класс Космос

${ Displaystyle Sh_ {K} (G, X) = G ( mathbb {Q}) обратная косая черта X times G ( mathbb {A} _ {f}) / K}$

является конечным дизъюнктным объединением локально симметричные многообразия формы Γ \ Икс⁺, где верхний индекс плюс указывает на связный компонент. Разновидности Ш_K(грамм,Икс) являются комплексными алгебраическими многообразиями и образуют обратная система по всем достаточно малым компактным открытым подгруппам K. Эта обратная система

${ displaystyle (Sh_ {K} (G, X)) _ {K}}$

допускает естественное правильное действие грамм(А_ƒ). Это называется Сорт Шимура связанных с датумом Шимура (грамм, Икс) и обозначили Ш(грамм, Икс).

История

Для специальных типов эрмитовых симметричных областей и подгруппы конгруэнции Γ, алгебраические многообразия формы Γ \ Икс = Ш_K(грамм,Икс) и их компактификации были представлены в серии работ Горо Шимура в течение 1960-х гг. Подход Шимуры, позже представленный в его монографии, был в значительной степени феноменологическим, преследовавшим самые широкие обобщения формулировки закона взаимности комплексное умножение теория. Оглядываясь назад, можно сказать, что название «разновидность Симура» было введено Делинь, который приступил к выделению абстрактных особенностей, которые сыграли роль в теории Шимуры. В формулировке Делиня многообразия Шимуры - это пространства параметров определенных типов Структуры Ходжа. Таким образом, они образуют естественное многомерное обобщение модульные кривые рассматривается как пространства модулей из эллиптические кривые с уровневой структурой. Во многих случаях также идентифицируются проблемы модулей, решениями которых являются многообразия Шимуры.

Примеры

Позволять F быть полностью действительным числовым полем и D а кватернион алгебра с делением над F. Мультипликативная группа D^× дает начало канонической разновидности Шимура. Его размер d это количество бесконечных мест, над которыми D раскалывается. В частности, если d = 1 (например, если F = Q и D ⊗ р ≅ M₂(р)), фиксируя достаточно малую арифметическая подгруппа из D^×, получается кривая Шимуры, а кривые, возникающие в результате этой конструкции, уже компактны (т.е. проективный ).

Некоторые примеры кривых Шимуры с явно известными уравнениями даются Кривые Гурвица низкого рода:

• Кляйн квартика (род 3)
• Поверхность Macbeath (род 7)
• Первая тройка Гурвица (род 14)

и по Кривая Ферма степени 7.^[2]

Другие примеры разновидностей Шимура включают: Модульные поверхности Пикара и Гильбертовые модульные поверхности, также известные как многообразия Гильберта – Блюменталя.

Канонические модели и особенности

Каждое разнообразие Шимура можно определить над каноническим числовое поле E называется рефлекторное поле. Этот важный результат, полученный Шимурой, показывает, что разновидности Шимуры, которые априори являются только комплексными многообразиями, имеют алгебраический область определения и, следовательно, арифметическое значение. Это является отправной точкой в ​​его формулировке закона взаимности, где важную роль играют некоторые арифметически определенные особые точки.

Качественный характер Зариски закрытие наборов особых точек на многообразии Шимура описывается Гипотеза Андре – Оорта. По этой гипотезе получены условные результаты в предположении Обобщенная гипотеза Римана.^[3]

Роль в программе Langlands

Сорта шимура играют выдающуюся роль в Программа Langlands. Теорема-прототип, Соотношение конгруэнтности Эйхлера – Шимуры, означает, что Дзета-функция Хассе – Вейля модульной кривой является произведением L-функций, связанных с явно определенными модульные формы веса 2. Действительно, именно в процессе обобщения этой теоремы Горо Шимура представил свои разновидности и доказал свой закон взаимности. Дзета-функции многообразий Шимура, связанных с группой GL₂ над другими числовыми полями и его внутренними формами (т.е. мультипликативными группами кватернионных алгебр) изучались Эйхлер, Шимура, Куга, Сато и Ихара. По их результатам, Роберт Лэнглендс предсказал, что дзета-функция Хассе-Вейля любого алгебраическое многообразие W определенный над числовым полем был бы произведением положительной и отрицательной степеней автоморфных L-функций, т.е. он должен возникать из набора автоморфные представления.^[1] Как бы философски ни было естественно ожидать такого описания, утверждения такого типа были доказаны только тогда, когда W это сорт Шимура.^[4] По словам Ленглендса:

Показать, что все L-функции, связанные с многообразиями Шимуры - а значит, с любым мотивом, определяемым многообразием Шимуры, - могут быть выражены в терминах автоморфных L-функций [его статьи 1970 г.] - это слабее, даже намного слабее, чем показать, что все мотивные L-функции равны таким L-функциям. Более того, хотя ожидается, что более сильное утверждение будет действительным, насколько мне известно, нет очень веских причин ожидать, что все мотивирующие L-функции будут присоединены к разновидностям Шимура.^[5]

Примечания

Рекомендации