Обобщенная гипотеза Римана - Generalized Riemann hypothesis

В Гипотеза Римана один из самых важных догадки в математика. Это утверждение о нулях Дзета-функция Римана. Различные геометрические и арифметические объекты можно описать так называемыми Глобальный L-функции, которые формально аналогичны дзета-функции Римана. Тогда можно задать тот же вопрос о нулях этих L-функции, приводящие к различным обобщениям гипотезы Римана. Многие математики считают, что это обобщения гипотезы Римана быть правдой. Единственные случаи этих гипотез, которые были доказаны, происходят в поле алгебраических функций регистр (не регистр числового поля).

Глобальный L-функции могут быть связаны с эллиптические кривые, числовые поля (в этом случае они называются Дзета-функции Дедекинда), Формы Маасса, и Персонажи Дирихле (в этом случае они называются L-функции Дирихле ). Когда гипотеза Римана формулируется для дзета-функций Дедекинда, она известна как расширенная гипотеза Римана (ERH) и когда он сформулирован для Дирихле L-функции, он известен как обобщенная гипотеза Римана (GRH). Эти два утверждения будут рассмотрены более подробно ниже. (Многие математики используют метку обобщенная гипотеза Римана охватить распространение гипотезы Римана на все глобальные L-функции, а не только частный случай Дирихле L-функции.)

Обобщенная гипотеза Римана (GRH)

Обобщенная гипотеза Римана (для Дирихле L-функции), вероятно, впервые сформулировал Адольф Пильц в 1884 г.^[1] Как и исходная гипотеза Римана, она имеет далеко идущие последствия в отношении распределения простые числа.

Формальная формулировка гипотезы приводится ниже. А Dirichlet персонаж это полностью мультипликативный арифметическая функция χ такое, что существует положительное целое число k с участием χ(п + k) = χ(п) для всех п и χ(п) = 0 всякий раз, когда gcd (п, k) > 1. Если такой символ задан, мы определяем соответствующий Дирихле L-функция от

${ Displaystyle L ( чи, s) = сумма _ {п = 1} ^ { infty} { гидроразрыва { чи (п)} {п ^ {s}}}}$

для каждого комплексное число s такой, что Re s > 1. От аналитическое продолжение, эту функцию можно расширить до мероморфная функция (только когда ${ displaystyle chi}$ примитивен), определенный на всей комплексной плоскости. В обобщенная гипотеза Римана утверждает, что для каждого символа Дирихле χ и каждое комплексное число s с участием L(χ, s) = 0, если s не является отрицательным действительным числом, тогда действительная часть s составляет 1/2.

Дело χ(п) = 1 для всех п дает обычную гипотезу Римана.

Последствия GRH

Теорема Дирихле заявляет, что если а и d находятся совмещать натуральные числа, то арифметическая прогрессия а, а + d, а + 2d, а + 3d, ... содержит бесконечно много простые числа. Позволять π (Икс, а, d) обозначают количество простых чисел в этой прогрессии, которые меньше или равны Икс. Если обобщенная гипотеза Римана верна, то для любого взаимно простого а и d и для каждого ε > 0,

${ displaystyle pi (x, a, d) = { frac {1} { varphi (d)}} int _ {2} ^ {x} { frac {1} { ln t}} , dt + O (x ^ {1/2 + varepsilon}) quad { mbox {as}} x to infty,}$

где φ(d) является Функция Эйлера и О это Обозначение Big O. Это значительное усиление теорема о простых числах.

Если GRH истинно, то каждая собственная подгруппа мультипликативной группы ${ Displaystyle ( mathbb {Z} / п mathbb {Z}) ^ { times}}$ опускает число меньше, чем 2 (пер. п)², а также число, взаимно простое с п меньше, чем 3 (пер. п)².^[2] Другими словами, ${ Displaystyle ( mathbb {Z} / п mathbb {Z}) ^ { times}}$ генерируется набором чисел меньше, чем 2 (пер. п)². Это часто используется в доказательствах и имеет множество последствий, например (при условии GRH):

• В Тест на простоту Миллера – Рабина гарантированно работает за полиномиальное время. (Полиномиальный тест на простоту, не требующий GRH, Тест на простоту AKS, был опубликован в 2002 году.)
• В Алгоритм Шанкса – Тонелли гарантированно работает за полиномиальное время.
• Детерминированный алгоритм Иваниоса – Карпинского – Саксены.^[3] для факторизации многочленов над конечными полями с простыми постоянно-гладкими степенями гарантированно выполняется за полиномиальное время.

Если GRH истинно, то для каждого простого п существует примитивный корневой мод п (генератор мультипликативной группы целых чисел по модулю п), что меньше ${ Displaystyle O (( ln p) ^ {6}).}$^[4]

Слабая гипотеза Гольдбаха также следует из обобщенной гипотезы Римана. Еще предстоит проверить доказательство Харальд Хельфготт этой гипотезы проверяет GRH для нескольких тысяч маленьких символов с точностью до определенной мнимой части, чтобы получить достаточные оценки, которые доказывают гипотезу для всех целых чисел выше 10²⁹, целые числа ниже, которые уже были проверены расчетом.^[5]

Предполагая истинность GRH, оценка суммы символов в Неравенство Поли – Виноградова можно улучшить до ${ displaystyle O left ({ sqrt {q}} log log q right)}$, q являющийся модулем персонажа.

Расширенная гипотеза Римана (ERH)

Предположим K это числовое поле (конечномерная расширение поля из рациональные Q) с участием кольцо целых чисел О_K (это кольцо целостное закрытие из целые числа Z в K). Если а является идеальный из O_K, кроме нулевого идеала, обозначим его норма от Na. В Дзета-функция Дедекинда из K тогда определяется как

${ displaystyle zeta _ {K} (s) = sum _ {a} { frac {1} {(Na) ^ {s}}}}$

для каждого комплексного числа s с вещественной частью> 1. Сумма распространяется на все ненулевые идеалы а из O_K.

Дзета-функция Дедекинда удовлетворяет функциональному уравнению и может быть расширена с помощью аналитическое продолжение на всю сложную плоскость. Результирующая функция кодирует важную информацию о числовом поле. K. В расширенная гипотеза Римана утверждает, что для каждого числового поля K и каждое комплексное число s с ζ_K(s) = 0: если действительная часть s находится между 0 и 1, то фактически это 1/2.

Обычная гипотеза Римана следует из расширенной, если принять числовое поле Q, с кольцом целых чисел Z.

ERH подразумевает эффективную версию^[6] из Теорема плотности Чеботарева: если L/K является конечным расширением Галуа с группой Галуа г, и C объединение классов сопряженности г, номер неразветвленные простые числа из K нормы ниже Икс с классом сопряженности Фробениуса в C является

${ displaystyle { frac {| C |} {| G |}} { Bigl (} operatorname {li} (x) + O { bigl (} { sqrt {x}} (n log x + журнал | Delta |) { bigr)} { Bigr)},}$

где постоянная, подразумеваемая в обозначении большого O, является абсолютной, п степень L над Q, а Δ - его дискриминант.

Смотрите также

• Гипотеза Артина
• L-функция Дирихле
• Класс Сельберга
• Гипотеза Великого Римана

использованная литература

дальнейшее чтение

• «Гипотеза Римана, обобщенная», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]