Мультипликативная функция - Multiplicative function

Вне теории чисел термин мультипликативная функция обычно используется для полностью мультипликативные функции. В этой статье обсуждаются теоретико-числовые мультипликативные функции.

В теория чисел, а мультипликативная функция является арифметическая функция ж(п) положительного целое число п со свойством, что ж(1) = 1 и всякий раз, когдаа и б находятся совмещать, тогда

${displaystyle f (ab) = f (a) f (b).}$

Арифметическая функция ж(п) называется полностью мультипликативный (или же полностью мультипликативный) если ж(1) = 1 и ж(ab) = ж(а)ж(б) держит для всех положительные целые числа а и б, даже если они не взаимно просты.

Примеры

Некоторые мультипликативные функции определены для облегчения написания формул:

• 1(п): постоянная функция, определяемая 1 (п) = 1 (полностью мультипликативный)
• Идентификатор(п): функция идентичности, определяемый Id (п) = п (полностью мультипликативный)
• Идентификатор_k(п): степенные функции, определяемые Id_k(п) = п^k для любого комплексного числа k (полностью мультипликативный). В качестве частных случаев мы имеем
  • Идентификатор₀(п) = 1(п) и
  • Идентификатор₁(п) = Id (п).
• ε(п): функция, определяемая ε(п) = 1, если п = 1 и 0 в противном случае, иногда называемый блок умножения для Свертка Дирихле или просто функция единицы (полностью мультипликативный). Иногда пишется как ты(п), но не путать с μ(п) .
• 1_C(п), индикаторная функция из набора C ⊂ Z, для определенных наборов C. Индикаторная функция 1_C(п) мультипликативен именно тогда, когда множество C обладает следующим свойством для любых взаимно простых чисел а и б: продукт ab в C тогда и только тогда, когда числа а и б оба находятся в C. Это так, если C набор квадратов, кубиков или k-ые степени, или если C это набор без квадратов числа.

Другие примеры мультипликативных функций включают многие функции, важные для теории чисел, такие как:

• gcd (п,k): наибольший общий делитель из п и k, как функция п, куда k - фиксированное целое число.
• ${displaystyle varphi}$(п): Функция Эйлера ${displaystyle varphi}$, считая положительные целые числа совмещать до (но не больше) п
• μ(п): Функция Мёбиуса, четность (−1 для нечетных, +1 для четных) числа простых делителей без квадратов числа; 0 если п не без квадратов
• σ_k(п): делительная функция, который представляет собой сумму k-й степени всех положительных делителей числа п (куда k может быть любой комплексное число ). Особые случаи у нас есть
  • σ₀(п) = d(п) количество положительных делители из п,
  • σ₁(п) = σ(п) сумма всех положительных делителей п.
• а(п): количество неизоморфных абелевых групп порядка п.
• λ(п): Функция Лиувилля, λ(п) = (−1)^{Ω (п)} где Ω (п) - общее количество простых чисел (с учетом кратности), делящее п. (полностью мультипликативный).
• γ(п), определяется γ(п) = (−1)^ω(п), где аддитивная функция ω(п) - количество различных простых чисел, делящих п.
• τ(п): Рамануджан тау функция.
• Все Персонажи Дирихле являются полностью мультипликативными функциями. Например
  • (п/п), Символ Лежандра, рассматриваемая как функция п куда п фиксированный простое число.

Примером не мультипликативной функции является арифметическая функция р₂(п) - количество представлений п как сумма квадратов двух целых чисел, положительный, отрицательный, или же нуль, где при подсчете количества ходов допускается изменение порядка. Например:

1 = 1² + 0² = (−1)² + 0² = 0² + 1² = 0² + (−1)²

и поэтому р₂(1) = 4 ≠ 1. Это показывает, что функция не является мультипликативной. Тем не мение, р₂(п) / 4 мультипликативно.

в Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей, последовательности значений мультипликативной функции есть ключевое слово "мульт".

Видеть арифметическая функция для некоторых других примеров не мультипликативных функций.

Характеристики

Мультипликативная функция полностью определяется своими значениями в степенях простые числа, следствие основная теорема арифметики. Таким образом, если п это произведение степеней различных простых чисел, скажем п = п^а q^б ..., тогда ж(п) = ж(п^а) ж(q^б) ...

Это свойство мультипликативных функций значительно снижает потребность в вычислениях, как в следующих примерах для п = 144 = 2⁴ · 3²:

d (144) = σ₀(144) = σ₀(2⁴)σ₀(3²) = (1⁰ + 2⁰ + 4⁰ + 8⁰ + 16⁰)(1⁰ + 3⁰ + 9⁰) = 5 · 3 = 15,

σ(144) = σ₁(144) = σ₁(2⁴)σ₁(3²) = (1¹ + 2¹ + 4¹ + 8¹ + 16¹)(1¹ + 3¹ + 9¹) = 31 · 13 = 403,

σ^*(144) = σ^*(2⁴)σ^*(3²) = (1¹ + 16¹)(1¹ + 9¹) = 17 · 10 = 170.

Аналогично у нас есть:

${displaystyle varphi}$(144)=${displaystyle varphi}$(2⁴)${displaystyle varphi}$(3²) = 8 · 6 = 48

В общем, если ж(п) - мультипликативная функция и а, б - любые два натуральных числа, то

ж(а) · ж(б) = ж(gcd (а,б)) · ж(lcm (а,б)).

Всякая полностью мультипликативная функция является гомоморфизм из моноиды и полностью определяется его ограничением на простые числа.

Свертка

Если ж и грамм две мультипликативные функции, одна определяет новую мультипликативную функцию ж * грамм, то Свертка Дирихле из ж и грамм, к

${displaystyle (f, *, g) (n) = sum _ {d | n} f (d), gleft ({frac {n} {d}} ight)}$

где сумма распространяется по всем положительным делителям d из п. С помощью этой операции набор всех мультипликативных функций превращается в абелева группа; то элемент идентичности является ε. Свертка коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна относительно сложения.

Связи между мультипликативными функциями, описанными выше, включают:

• μ * 1 = ε (в Формула обращения Мебиуса )
• (μ Идентификатор_k) * Идентификатор_k = ε (обобщенное обращение Мёбиуса)
• ${displaystyle varphi}$ * 1 = Id
• d = 1 * 1
• σ = Идентификатор * 1 = ${displaystyle varphi}$ * d
• σ_k = Id_k * 1
• Id = ${displaystyle varphi}$ * 1 = σ * μ
• Идентификатор_k = σ_k * μ

Свертка Дирихле может быть определена для общих арифметических функций и дает кольцевую структуру, Кольцо Дирихле.

В Свертка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативен. Доказательство этого факта дает следующее разложение для относительно простых ${displaystyle a, bin mathbb {Z} ^ {+}}$:

${displaystyle (fast g) (ab) = sum _ {d | ab} f (d) gleft ({frac {ab} {d}} ight) = sum _ {d_ {1} | a} sum _ {d_ { 2} | b} f (d_ {1} d_ {2}) gleft ({frac {ab} {d_ {1} d_ {2}}} ight) = sum _ {d_ {1} | a} f (d_ {1}) gleft ({frac {a} {d_ {1}}} ight) imes sum _ {d_ {2} | b} f (d_ {2}) gleft ({frac {b} {d_ {2}) }} ight) = (fast g) (a) cdot (fast g) (b).}$

Ряды Дирихле для некоторых мультипликативных функций

• ${displaystyle sum _ {ngeq 1} {frac {mu (n)} {n ^ {s}}} = {frac {1} {zeta (s)}}}$
• ${displaystyle sum _ {ngeq 1} {frac {varphi (n)} {n ^ {s}}} = {frac {zeta (s-1)} {zeta (s)}}}$
• ${displaystyle sum _ {ngeq 1} {frac {d (n) ^ {2}} {n ^ {s}}} = {frac {zeta (s) ^ {4}} {zeta (2s)}}}$
• ${displaystyle sum _ {ngeq 1} {frac {2 ^ {omega (n)}} {n ^ {s}}} = {frac {zeta (s) ^ {2}} {zeta (2s)}}}$

Больше примеров показано в статье о Серия Дирихле.

Мультипликативная функция над F_q[Икс]

Позволять А = F_q[Икс], кольцо многочленов над конечное поле с q элементы. А это главная идеальная область и поэтому А это уникальная область факторизации.

Комплекснозначная функция ${displaystyle lambda}$ на А называется мультипликативный если ${displaystyle lambda (fg) = lambda (f) lambda (g)}$ в любое время ж и грамм находятся относительно простой.

Дзета-функция и ряд Дирихле в F_q[Икс]

Позволять час быть полиномиальной арифметической функцией (т.е. функцией на множестве монических многочленов над А). Соответствующий ему ряд Дирихле определяется как

${displaystyle D_ {h} (s) = sum _ {f {ext {monic}}} h (f) | f | ^ {- s},}$

где для ${displaystyle gin A,}$ набор ${displaystyle | g | = q ^ {deg (g)}}$ если ${displaystyle geq 0,}$ и ${displaystyle | g | = 0}$ иначе.

Тогда полиномиальная дзета-функция будет

${displaystyle zeta _ {A} (s) = sum _ {f {ext {monic}}} | f | ^ {- s}.}$

Аналогично ситуации в N, каждый ряд Дирихле мультипликативной функции час имеет товарное представление (произведение Эйлера):

${displaystyle D_ {h} (s) = prod _ {P} left (sum _ {nmathop {=} 0} ^ {infty} h (P ^ {n}) | P | ^ {- sn} ight),}$

где произведение пробегает все унитарные неприводимые многочлены п. Например, представление продукта дзета-функции такое же, как для целых чисел:

${displaystyle zeta _ {A} (s) = prod _ {P} (1- | P | ^ {- s}) ^ {- 1}.}$

В отличие от классического дзета-функция, ${displaystyle zeta _ {A} (s)}$ простая рациональная функция:

${displaystyle zeta _ {A} (s) = sum _ {f} | f | ^ {- s} = sum _ {n} sum _ {deg (f) = n} q ^ {- sn} = sum _ { n} (q ^ {n-sn}) = (1-q ^ {1-s}) ^ {- 1}.}$

Аналогично, если ж и грамм две полиномиальные арифметические функции, одна определяет ж * грамм, то Свертка Дирихле из ж и грамм, к

${displaystyle {egin {выравнивается} (f * g) (m) & = sum _ {dmid m} f (d) gleft ({frac {m} {d}} ight) & = sum _ {ab = m} f (a) g (b), конец {выровнен}}}$

где сумма берется по всем моническим делители d изм, или эквивалентно по всем парам (а, б) монических многочленов, произведение которых равно м. Личность ${displaystyle D_ {h} D_ {g} = D_ {h * g}}$ все еще держится.

Смотрите также

• Произведение Эйлера
• Белл серии
• Серия Ламберта

Рекомендации

• См. Главу 2 Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, МИСТЕР  0434929, Zbl  0335.10001

внешняя ссылка

• Планета Математика