Аддитивная функция - Википедия - Additive function

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Февраль 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В теория чисел, аддитивная функция является арифметическая функция ж(п) положительного целое число п так что всякий раз, когда а и б находятся совмещать, функция продукта - это сумма функций:^[1]

ж(ab) = ж(а) + ж(б).

Полностью аддитивный

Аддитивная функция ж(п) называется полностью аддитивный если ж(ab) = ж(а) + ж(б) держит для всех положительные целые числа а и б, даже если они не взаимно просты. Полностью аддитивный также используется в этом смысле по аналогии с полностью мультипликативный функции. Если ж является полностью аддитивной функцией, то ж(1) = 0.

Каждая полностью аддитивная функция аддитивна, но не наоборот.

Примеры

Примеры полностью аддитивных арифметических функций:

• Ограничение логарифмическая функция к N.
• В множественность основного фактора п в п, то есть наибольший показатель м для которого п^м разделяет п.
• а₀(п) - сумма простых чисел, делящая п с учетом множественности, иногда называемой sopfr (п), сила п или целочисленный логарифм п (последовательность A001414 в OEIS ). Например:

а₀(4) = 2 + 2 = 4

а₀(20) = а₀(2² · 5) = 2 + 2+ 5 = 9

а₀(27) = 3 + 3 + 3 = 9

а₀(144) = а₀(2⁴ · 3²) = а₀(2⁴) + а₀(3²) = 8 + 6 = 14

а₀(2,000) = а₀(2⁴ · 5³) = а₀(2⁴) + а₀(5³) = 8 + 15 = 23

а₀(2,003) = 2003

а₀(54,032,858,972,279) = 1240658

а₀(54,032,858,972,302) = 1780417

а₀(20,802,650,704,327,415) = 1240681

• Функция Ω (п), определяемая как общее количество главные факторы из п, многократный подсчет нескольких факторов, иногда называемый «функцией большой омеги» (последовательность A001222 в OEIS ). Например;

Ω (1) = 0, так как 1 не имеет простых делителей

Ω (4) = 2

Ω (16) = Ω (2 · 2 · 2 · 2) = 4

Ω (20) = Ω (2 · 2 · 5) = 3

Ω (27) = Ω (3 · 3 · 3) = 3

Ом (144) = Ом (2⁴ · 3²) = Ω (2⁴) + Ω (3²) = 4 + 2 = 6

Ом (2,000) = Ом (2⁴ · 5³) = Ω (2⁴) + Ω (5³) = 4 + 3 = 7

Ом (2001) = 3

Ом (2,002) = 4

Ом (2,003) = 1

Ом (54 032 858 972 279) = 3

Ом (54 032 858 972 302) = 6

Ом (20,802,650,704,327,415) = 7

Примеры аддитивных, но не полностью аддитивных арифметических функций:

• ω (п), определяемая как общее количество разные главные факторы из п (последовательность A001221 в OEIS ). Например:

ω (4) = 1

ω (16) = ω (2⁴) = 1

ω (20) = ω (2² · 5) = 2

ω (27) = ω (3³) = 1

ω (144) = ω (2⁴ · 3²) = ω (2⁴) + ω (3²) = 1 + 1 = 2

ω (2000) = ω (2⁴ · 5³) = ω (2⁴) + ω (5³) = 1 + 1 = 2

ω (2001) = 3

ω (2,002) = 4

ω (2,003) = 1

ω (54 032 858 972 279) = 3

ω (54 032 858 972 302) = 5

ω (20,802,650,704,327,415) = 5

• а₁(п) - сумма различных простых чисел, делящих п, иногда называемый sopf (п) (последовательность A008472 в OEIS ). Например:

а₁(1) = 0

а₁(4) = 2

а₁(20) = 2 + 5 = 7

а₁(27) = 3

а₁(144) = а₁(2⁴ · 3²) = а₁(2⁴) + а₁(3²) = 2 + 3 = 5

а₁(2,000) = а₁(2⁴ · 5³) = а₁(2⁴) + а₁(5³) = 2 + 5 = 7

а₁(2,001) = 55

а₁(2,002) = 33

а₁(2,003) = 2003

а₁(54,032,858,972,279) = 1238665

а₁(54,032,858,972,302) = 1780410

а₁(20,802,650,704,327,415) = 1238677

Мультипликативные функции

От любой аддитивной функции ж(п) легко создать связанный мультипликативная функция грамм(п) то есть со свойством а и б взаимно просты:

грамм(ab) = грамм(а) × грамм(б).

Одним из таких примеров является грамм(п) = 2^ж(п).

Сумматорные функции

Учитывая аддитивную функцию ${ displaystyle f}$, пусть его сумматорная функция определяется выражением ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {f} (x): = sum _ {n leq x} f (n)}$. Среднее значение ${ displaystyle f}$ дается точно как

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {f} (x) = sum _ {p ^ { alpha} leq x} f (p ^ { alpha}) left ( left lfloor { frac {x} {p ^ { alpha}}} right rfloor - left lfloor { frac {x} {p ^ { alpha +1}}} right rfloor right).}$

Сумматорные функции над ${ displaystyle f}$ может быть расширен как ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {f} (x) = xE (x) + O ({ sqrt {x}} cdot D (x))}$ куда

${ Displaystyle { begin {align} E (x) & = sum _ {p ^ { alpha} leq x} f (p ^ { alpha}) p ^ {- alpha} (1-p ^ {-1}) D ^ {2} (x) & = sum _ {p ^ { alpha} leq x} | f (p ^ { alpha}) | ^ {2} p ^ {- alpha}. end {выровненный}}}$

Среднее значение функции ${ displaystyle f ^ {2}}$ также выражается этими функциями как

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {f ^ {2}} (x) = xE ^ {2} (x) + O (xD ^ {2} (x)).}$

Всегда есть абсолютная постоянная ${ displaystyle C_ {f}> 0}$ так что для всех натуральных чисел ${ Displaystyle х geq 1}$,

${ displaystyle sum _ {n leq x} | f (n) -E (x) | ^ {2} leq C_ {f} cdot xD ^ {2} (x).}$

Позволять

${ displaystyle nu (x; z): = { frac {1} {x}} # left {n leq x: { frac {f (n) -A (x)} {B ( x)}} leq z right }.}$

Предположим, что ${ displaystyle f}$ аддитивная функция с ${ Displaystyle -1 Leq е (п ^ { альфа}) = е (р) Leq 1}$ так что как ${ Displaystyle х rightarrow infty}$,

${ displaystyle B (x) = sum _ {p leq x} f ^ {2} (p) / p rightarrow infty.}$

потом ${ Displaystyle ню (х; г) сим G (г)}$ куда ${ Displaystyle G (z)}$ это Функция распределения Гаусса

${ displaystyle G (z) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ {z} e ^ {- t ^ {2} / 2} dt. }$

Примеры этого результата, относящиеся к основная функция омега а числа простых делителей сдвинутых простых чисел включают следующее для фиксированных ${ Displaystyle г в mathbb {R}}$ где соотношения выполняются для ${ Displaystyle х gg 1}$:

${ Displaystyle # {п Leq x: omega (n) - log log x leq z ( log log x) ^ {1/2} } sim xG (z),}$

${ Displaystyle # {p Leq x: omega (p + 1) - log log x Leq z ( log log x) ^ {1/2} } sim pi (x) G (z).}$

Смотрите также

• Аддитивность сигмы
• Основная функция омега
• Мультипликативная функция
• Арифметическая функция

Рекомендации

дальнейшее чтение