Функция Лиувилля - Википедия - Liouville function

В Лямбда-функция Лиувилля, обозначаемый λ (п) и назван в честь Джозеф Лиувиль, это важный арифметическая функция.

Его значение +1, если п является продуктом четного числа простые числа, и −1, если это произведение нечетного числа простых чисел.

В явном виде основная теорема арифметики заявляет, что любые положительные целое число п можно однозначно представить как произведение степеней простых чисел: ${ displaystyle n = p_ {1} ^ {a_ {1}} cdots p_ {k} ^ {a_ {k}}}$ куда п₁ < п₂ < ... < п_k простые числа и а_j положительные целые числа. (1 задается пустым произведением.) основные функции омега подсчитайте количество простых чисел с кратностью (Ω) или без (ω):

ω(п) = k,

Ω (п) = а₁ + а₂ + ... + а_k.

λ (п) определяется формулой

${ displaystyle lambda (n) = (- 1) ^ { Omega (n)}.}$ (последовательность A008836 в OEIS ).

λ - это полностью мультипликативный поскольку Ω (п) полностью добавка, то есть: Ω (ab) = Ω (а) + Ω (б). Поскольку 1 не имеет простых делителей, Ω (1) = 0, поэтому λ (1) = 1.

Это связано с Функция Мёбиуса μ(п). Написать п в качестве п = а²б куда б является свободный от квадратов, т.е. ω(б) = Ω (б). потом

${ displaystyle lambda (n) = mu (b).}$

Сумма функции Лиувилля по делители из п это характеристическая функция из квадраты:

${ displaystyle sum _ {d | n} lambda (d) = { begin {cases} 1 & { text {if}} n { text {- это полный квадрат}} 0 & { text { в противном случае.}} end {case}}}$

Инверсия Мёбиуса этой формулы дает

${ displaystyle lambda (n) = sum _ {d ^ {2} | n} mu left ({ frac {n} {d ^ {2}}} right).}$

В Обратный Дирихле функции Лиувилля - модуль функции Мёбиуса, ${ Displaystyle лямбда ^ {- 1} (п) = | му (п) | = му ^ {2} (п),}$ характеристическая функция бесквадратных целых чисел. У нас также есть это ${ Displaystyle лямбда (п) му (п) = му ^ {2} (п)}$.

Серии

В Серия Дирихле для функции Лиувилля связана с Дзета-функция Римана к

${ displaystyle { frac { zeta (2s)} { zeta (s)}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { lambda (n)} {n ^ {s }}}.}$

В Серия Ламберта для функции Лиувилля есть

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { lambda (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} q ^ {n ^ {2}} = { frac {1} {2}} left ( vartheta _ {3} (q) -1 right),}$

куда ${ displaystyle vartheta _ {3} (q)}$ это Тета-функция Якоби.

Гипотезы о взвешенных сумматорных функциях

Сумматорная функция Лиувилля L(п) вплоть до п = 10⁴. Легко заметные колебания связаны с первым нетривиальным нулем дзета-функции Римана.

Сумматорная функция Лиувилля L(п) вплоть до п = 10⁷. Обратите внимание на очевидное масштабная инвариантность колебаний.

Логарифмический график негатива сумматорной функции Лиувилля L(п) вплоть до п = 2 × 10⁹. Зеленый пик показывает саму функцию (а не ее отрицательный результат) в узкой области, где Гипотеза Поли терпит неудачу; синяя кривая показывает колебательный вклад первого нуля Римана.

Гармоническая суммирующая функция Лиувилля Т(п) вплоть до п = 10³

В Гипотеза Поли это гипотеза, сделанная Георгий Полиа в 1919 г. Определяя

${ Displaystyle L (п) = сумма _ {к = 1} ^ {п} лямбда (к)}$ (последовательность A002819 в OEIS ),

гипотеза утверждает, что ${ Displaystyle L (п) leq 0}$ за п > 1. Это оказалось ложью. Самый маленький контрпример: п = 906150257, обнаружен Минору Танакой в ​​1980 году. С тех пор было показано, что L(п) > 0.0618672√п для бесконечного множества натуральных чисел п,^[1] в то время как его также можно показать с помощью тех же методов, что и L(п) < -1.3892783√п для бесконечного множества натуральных чисел п.^[2]

Для любого ${ displaystyle varepsilon> 0}$, принимая гипотезу Римана, имеем, что сумматорная функция ${ Displaystyle L (х) эквив L_ {0} (х)}$ ограничен

${ Displaystyle L (х) = О влево ({ sqrt {x}} ехр влево (C CDOT журнал ^ {1/2} (х) влево ( журнал журнал х вправо) ^ {5/2 + varepsilon} right) right),}$

где ${ displaystyle C> 0}$ - некоторая абсолютная предельная константа.^[2]

Определите соответствующую сумму

${ Displaystyle T (n) = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac { lambda (k)} {k}}.}$

Некоторое время было открыто, Т(п) ≥ 0 для достаточно больших п ≥ п₀ (это предположение иногда - хотя и ошибочно - приписывают Пал Туран ). Затем это было опровергнуто Haselgrove (1958), кто показал это Т(п) принимает отрицательные значения бесконечно часто. Подтверждение этой гипотезы о положительности привело бы к доказательству Гипотеза Римана, как было показано Пал Туран.

Обобщения

В более общем смысле, мы можем рассматривать взвешенные сумматорные функции над функцией Лиовилля, определенные для любого ${ displaystyle alpha in mathbb {R}}$ следующим образом для положительных целых чисел Икс где (как и выше) у нас есть особые случаи ${ Displaystyle L (x): = L_ {0} (x)}$ и ${ Displaystyle Т (х) = L_ {1} (х)}$ ^[2]

${ displaystyle L _ { alpha} (x): = sum _ {n leq x} { frac { lambda (n)} {n ^ { alpha}}}.}$

Эти ${ displaystyle alpha ^ {- 1}}$-взвешенные сумматорные функции связаны с Функция Мертенса, или взвешенные сумматорные функции Функция Мебиуса. Фактически, мы имеем так называемую невзвешенную или обычную функцию ${ Displaystyle L (х)}$ точно соответствует сумме

${ displaystyle L (x) = sum _ {d ^ {2} leq x} M left ({ frac {x} {d ^ {2}}} right) = sum _ {d ^ { 2} leq x} sum _ {n leq { frac {x} {d ^ {2}}}} mu (n).}$

Более того, эти функции удовлетворяют аналогичным ограничивающим асимптотическим соотношениям.^[2] Например, когда ${ displaystyle 0 leq alpha leq { frac {1} {2}}}$, мы видим, что существует абсолютная постоянная ${ displaystyle C _ { alpha}> 0}$ такой, что

${ displaystyle L _ { alpha} (x) = O left (x ^ {1- alpha} exp left (-C _ { alpha} { frac {( log x) ^ {3/5}) } {( log log x) ^ {1/5}}} right) right).}$

По заявлению Формула Перрона, или эквивалентно ключом (инверсия) Преобразование Меллина у нас есть это

${ displaystyle { frac { zeta (2 alpha + 2s)} { zeta ( alpha + s)}} = s cdot int _ {1} ^ { infty} { frac {L _ { альфа} (x)} {x ^ {s + 1}}} dx,}$

которые затем можно инвертировать с помощью обратное преобразование показать это для ${ displaystyle x> 1}$, ${ displaystyle T geq 1}$ и ${ displaystyle 0 leq alpha <{ frac {1} {2}}}$

${ displaystyle L _ { alpha} (x) = { frac {1} {2 pi imath}} int _ { sigma _ {0} - imath T} ^ { sigma _ {0} + imath T} { frac { zeta (2 alpha + 2s)} { zeta ( alpha + s)}} cdot { frac {x ^ {s}} {s}} ds + E _ { альфа} (х) + R _ { alpha} (х, Т),}$

где мы можем взять ${ displaystyle sigma _ {0}: = 1- alpha + 1 / log (x)}$, а остальные члены определены так, что ${ Displaystyle Е _ { альфа} (х) = О (х ^ {- альфа})}$ и ${ displaystyle R _ { alpha} (х, T) rightarrow 0}$ в качестве ${ Displaystyle Т rightarrow infty}$.

В частности, если предположить, что Гипотеза Римана (RH) верно и что все нетривиальные нули, обозначенные ${ Displaystyle rho = { гидроразрыва {1} {2}} + imath gamma}$, из Дзета-функция Римана находятся просто, то для любого ${ displaystyle 0 leq alpha <{ frac {1} {2}}}$ и ${ Displaystyle х geq 1}$ существует бесконечная последовательность ${ displaystyle {T_ {v} } _ {v geq 1}}$ что удовлетворяет ${ Displaystyle v leq T_ {v} leq v + 1}$ для всех v такой, что

${ displaystyle L _ { alpha} (x) = { frac {x ^ {1 / 2- alpha}} {(1-2 alpha) zeta (1/2)}} + sum _ {| gamma |$

где для любых все более мелких ${ displaystyle 0 < varepsilon <{ frac {1} {2}} - alpha}$ мы определяем

${ displaystyle I _ { alpha} (x): = { frac {1} {2 pi imath cdot x ^ { alpha}}} int _ { varepsilon + alpha - imath infty} ^ { varepsilon + alpha + imath infty} { frac { zeta (2s)} { zeta (s)}} cdot { frac {x ^ {s}} {(s- alpha) }} ds,}$

и где остаток

${ displaystyle R _ { alpha} (x, T) ll x ^ {- alpha} + { frac {x ^ {1- alpha} log (x)} {T}} + { frac { x ^ {1- alpha}} {T ^ {1- varepsilon} log (x)}},}$

что, конечно, имеет тенденцию 0 в качестве ${ Displaystyle Т rightarrow infty}$. Эти точные разложения аналитических формул снова обладают свойствами, аналогичными свойствам, соответствующим взвешенным формулам. Функция Мертенса случаи. Кроме того, поскольку ${ displaystyle zeta (1/2) <0}$ у нас есть еще одно сходство в виде ${ displaystyle L _ { alpha} (х)}$ к ${ Displaystyle М (х)}$ поскольку доминирующий главный член в предыдущих формулах предсказывает отрицательное смещение значений этих функций по сравнению с положительными натуральными числами Икс.

Рекомендации

• Поля, Г. (1919). "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 28: 31–40.
• Хазелгроув, К. Брайан (1958). «Опровержение гипотезы Поля». Математика. 5 (2): 141–145. Дои:10.1112 / S0025579300001480. ISSN  0025-5793. МИСТЕР  0104638. Zbl  0085.27102.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Леман, Р. (1960). «О функции Лиувилля». Математика. Comp. 14 (72): 311–320. Дои:10.1090 / S0025-5718-1960-0120198-5. МИСТЕР  0120198.
• Танака, Минору (1980). "Численное исследование кумулятивной суммы функции Лиувилля". Токийский математический журнал. 3 (1): 187–189. Дои:10.3836 / tjm / 1270216093. МИСТЕР  0584557.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Лиувилля». MathWorld.
• А.Ф. Лаврик (2001) [1994], «Функция Лиувилля», Энциклопедия математики, EMS Press