Формула Перрона - Википедия - Perrons formula

В математика, и особенно в аналитическая теория чисел, Формула Перрона формула из-за Оскар Перрон рассчитать сумму арифметическая функция, посредством обратного Преобразование Меллина.

Заявление

Позволять ${ Displaystyle {а (п) }}$ быть арифметическая функция, и разреши

${ Displaystyle г (s) = сумма _ {п = 1} ^ { infty} { гидроразрыва {а (п)} {п ^ {s}}}}$

быть соответствующим Серия Дирихле. Предположим, что ряд Дирихле равномерно сходящийся за ${ Displaystyle Re (s)> sigma}$. Тогда формула Перрона

${ displaystyle A (x) = { sum _ {n leq x}} 'a (n) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {ci infty} ^ {c + i infty} g (z) { frac {x ^ {z}} {z}} , dz.}$

Здесь штрих у суммирования означает, что последний член суммы необходимо умножить на 1/2, когда Икс является целое число. Интеграл не сходится Интеграл Лебега; это понимается как Главное значение Коши. Формула требует, чтобы c > 0, c > σ и Икс > 0.

Доказательство

Простой набросок доказательства получается, если взять Формула суммы Абеля

${ displaystyle g (s) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a (n)} {n ^ {s}}} = s int _ {1} ^ { infty } A (x) x ^ {- (s + 1)} dx.}$

Это не что иное, как Преобразование Лапласа при замене переменной ${ displaystyle x = e ^ {t}.}$ Обращая его, мы получаем формулу Перрона.

Примеры

Из-за своей общей связи с рядами Дирихле формула обычно применяется ко многим теоретико-числовым суммам. Так, например, имеется знаменитое интегральное представление для Дзета-функция Римана:

${ displaystyle zeta (s) = s int _ {1} ^ { infty} { frac { lfloor x rfloor} {x ^ {s + 1}}} , dx}$

и аналогичная формула для Дирихле L-функции:

${ Displaystyle L (s, chi) = s int _ {1} ^ { infty} { frac {A (x)} {x ^ {s + 1}}} , dx}$

куда

${ Displaystyle А (х) = сумма _ {п Leq х} чи (п)}$

и ${ Displaystyle чи (п)}$ это Dirichlet персонаж. Другие примеры можно найти в статьях на Функция Мертенса и функция фон Мангольдта.

Обобщения

Формула Перрона - это просто частный случай дискретной свертки Меллина

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a (n) f (n / x) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {ci infty} ^ { c + i infty} F (s) G (s) x ^ {s} ds}$

куда

${ displaystyle G (s) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a (n)} {n ^ {s}}}}$

и

${ Displaystyle F (s) = int _ {0} ^ { infty} f (x) x ^ {s-1} dx}$

преобразование Меллина. Формула Перрона - это всего лишь частный случай тестовой функции ${ Displaystyle е (1 / х) = тета (х-1),}$ за ${ Displaystyle тета (х)}$ то Ступенчатая функция Хевисайда.

Рекомендации

• Страница 243 из Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, МИСТЕР  0434929, Zbl  0335.10001
• Вайсштейн, Эрик В. «Формула Перрона». MathWorld.
• Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел. Кембриджские исследования в области высшей математики. 46. Перевод C.B. Thomas. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-41261-7. Zbl  0831.11001.