L-функция Дирихле - Dirichlet L-function

В математика, а Дирихле L-серии является функцией вида

${ displaystyle L (s, chi) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { chi (n)} {n ^ {s}}}.}$

Здесь χ - Dirichlet персонаж и s а комплексная переменная с реальная часть больше 1. По аналитическое продолжение, эту функцию можно расширить до мероморфная функция в целом комплексная плоскость, а затем называется Дирихле L-функция а также обозначается L(s, χ).

Эти функции названы в честь Питер Густав Лежен Дирихле кто представил их в (Дирихле 1837 ), чтобы доказать теорема о простых числах в арифметических прогрессиях который также носит его имя. В ходе доказательства Дирихле показывает, что L(s, χ) не равно нулю в s = 1. Более того, если х главный, то соответствующий Дирихле L-функция имеет простой полюс в s = 1.

Нули L-функций Дирихле

Если χ - примитивный характер с χ (−1) = 1, то единственные нули L(s, χ) с Re (s) <0 лежат в отрицательных четных целых числах. Если χ - примитивный характер с χ (−1) = −1, то единственные нули L(s, χ) с Re (s) <0 относятся к отрицательным нечетным целым числам.

Вплоть до возможного существования Зигель ноль, области без нулей, включая и за линией Re (s) = 1, аналогичные дзета-функции Римана, существуют для всех L-функции: например, для χ нереальный характер модуля q, у нас есть

${ Displaystyle бета <1 - { гидроразрыва {c} { log { big (} q (2+ | gamma |) { big)}}} }$

для β + iγ ненулевой ноль.^[1]

Предполагается, что дзета-функция Римана подчиняется Гипотеза Римана, поэтому Дирихле L-функции, как предполагается, подчиняются обобщенная гипотеза Римана.

Произведение Эйлера

Поскольку характер Дирихле χ является полностью мультипликативный, его L-функция также может быть записана как Произведение Эйлера в полуплоскость из абсолютная конвергенция:

${ Displaystyle L (s, chi) = prod _ {p} left (1- chi (p) p ^ {- s} right) ^ {- 1} { text {for}} { текст {Re}} (s)> 1,}$

где продукт над всем простые числа.^[2]

Функциональное уравнение

Предположим, что χ - примитивный характер модуля k. Определение

${ displaystyle Lambda (s, chi) = left ({ frac { pi} {k}} right) ^ {- (s + a) / 2} Gamma left ({ frac {s + a} {2}} right) L (s, chi),}$

где Γ обозначает Гамма-функция и символ а дан кем-то

${ displaystyle a = { begin {cases} 0; & { mbox {if}} chi (-1) = 1, 1; & { mbox {if}} chi (-1) = - 1, end {case}}}$

у одного есть функциональное уравнение

${ displaystyle Lambda (1-s, { overline { chi}}) = { frac {i ^ {a} k ^ {1/2}} { tau ( chi)}} Lambda (s , chi),}$

где τ (χ) - Сумма Гаусса

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ {k} chi (n) exp (2 pi in / k).}$

Отметим, что | τ (χ) | знак равно k^1/2.

Связь с дзета-функцией Гурвица

Дирихле L-функции могут быть записаны как линейная комбинация Дзета-функция Гурвица при рациональных ценностях. Исправление целого числа k ≥ 1, Дирихле L-функции для символов по модулю k являются линейными комбинациями с постоянными коэффициентами функции ζ (s,q) где q = м/k и м = 1, 2, ..., k. Это означает, что дзета-функция Гурвица для рациональных q обладает аналитическими свойствами, которые тесно связаны с Дирихле. L-функции. В частности, пусть χ - характер по модулю k. Тогда мы можем написать его Дирихле L-функция как

${ Displaystyle L (s, chi) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { chi (n)} {n ^ {s}}} = { frac {1} { k ^ {s}}} sum _ {m = 1} ^ {k} chi (m) ; zeta left (s, { frac {m} {k}} right).}$

Смотрите также

• Обобщенная гипотеза Римана
• L-функция
• Теорема модульности
• Гипотеза Артина
• Специальные значения L-функций

Примечания

Рекомендации

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, Г-Н  0434929, Zbl  0335.10001
• Апостол, Т. М. (2010), «L-функция Дирихле», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, Г-Н  2723248
• Х. Давенпорт (2000). Теория мультипликативных чисел. Springer. ISBN  0-387-95097-4.
• Дирихле, П.Г.Л. (1837 г.). "Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält". Abhand. Ак. Wiss. Берлин. 48.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• «Дирихле-L-функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]