Гипотеза Линделёфа - Lindelöf hypothesis

В математика, то Гипотеза Линделёфа гипотеза финского математика Эрнст Леонард Линделёф (видеть Линделёф (1908) ) о скорости роста Дзета-функция Римана на критической линии. Эта гипотеза подразумевается Гипотеза Римана. Он говорит, что для любого ε > 0,

${ displaystyle zeta left ({ frac {1} {2}} + it right) = O (t ^ { varepsilon}),}$

в качестве т стремится к бесконечности (см. Обозначение O ). С ε можно заменить меньшим значением, мы также можем записать гипотезу как, для любого положительного ε,

${ displaystyle zeta left ({ frac {1} {2}} + it right) = o (t ^ { varepsilon}).}$

Функция μ

Если σ вещественно, то μ (σ) определяется как инфимум всех реальных чисел а такой, что ζ(σ + Это) = O (Т ^а). Проверить, что μ(σ) = 0 для σ > 1, а функциональное уравнение дзета-функции следует, что μ (σ) = μ(1 − σ) − σ + 1/2. В Теорема Фрагмена – Линделёфа следует, что μ является выпуклая функция. Гипотеза Линделёфа утверждает, что μ (1/2) = 0, что вместе с указанными выше свойствами μ подразумевает, что μ(σ) равно 0 для σ ≥ 1/2 и 1/2 - σ для σ ≤ 1/2.

Результат Линделёфа о выпуклости вместе с μ(1) = 0 и μ(0) = 1/2 означает, что 0 ≤μ(1/2) ≤ 1/4. Верхняя граница 1/4 была снижена на Харди и Littlewood до 1/6, применив Weyl метод оценки экспоненциальные суммы к приближенное функциональное уравнение. С тех пор оно было снижено до чуть менее 1/6 несколькими авторами, использующими длинные и технические доказательства, как в следующей таблице:

μ (1/2) ≤	μ (1/2) ≤	Автор
1/4	0.25	Линделёф (1908)	Граница выпуклости
1/6	0.1667	Харди, Литтлвуд и? Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFHardyLittlewood? (помощь)
163/988	0.1650	Вальфиш (1924) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFWalfisz1924 (помощь)
27/164	0.1647	Титчмарш (1932) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFTitchmarsh1932 (помощь)
229/1392	0.164512	Филлипс (1933) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFPhillips1933 (помощь)
	0.164511	Рэнкин (1955) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFRankin1955 (помощь)
19/116	0.1638	Титчмарш (1942) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFTitchmarsh1942 (помощь)
15/92	0.1631	Мин (1949) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFMin1949 (помощь)
6/37	0.16217	Ханеке (1962) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFHaneke1962 (помощь)
173/1067	0.16214	Колесник (1973) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFKolesnik1973 (помощь)
35/216	0.16204	Колесник (1982) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFKolesnik1982 (помощь)
139/858	0.16201	Колесник (1985) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFKolesnik1985 (помощь)
32/205	0.1561	Хаксли (2002, 2005 )
53/342	0.1550	Бургейн (2017)
13/84	0.1548	Бургейн (2017)

Связь с гипотезой Римана

Backlund Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFBacklund (помощь) (1918–1919) показали, что гипотеза Линделёфа эквивалентна следующему утверждению о нулях дзета-функции: для каждого ε > 0, количество нулей с вещественной частью не менее 1/2 +ε и мнимая часть между Т и Т + 1 - это o (log (Т)) в качестве Т стремится к бесконечности. Гипотеза Римана подразумевает, что в этой области вообще нет нулей, и, следовательно, подразумевает гипотезу Линделёфа. Количество нулей с мнимой частью между Т и Т + 1 известен как O (log (Т)), поэтому гипотеза Линделёфа кажется лишь немного сильнее того, что уже было доказано, но, несмотря на это, она сопротивлялась всем попыткам ее доказать.

Средство сил (или моментов) дзета-функции

Гипотеза Линделёфа эквивалентна утверждению, что

${ displaystyle { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} | zeta (1/2 + it) | ^ {2k} , dt = O (T ^ { varepsilon} )}$

для всех положительных целых чисел k и все положительные действительные числа ε. Это было доказано для k = 1 или 2, но случай k = 3 кажется намного сложнее и все еще остается открытой проблемой.

Существует гораздо более точное предположение об асимптотическом поведении интеграла: считается, что

${ displaystyle int _ {0} ^ {T} | zeta (1/2 + it) | ^ {2k} , dt = T sum _ {j = 0} ^ {k ^ {2}} c_ {k, j} log (T) ^ {k ^ {2} -j} + o (T)}$

для некоторых констант c_k,j. Это было доказано Литтлвудом для k = 1 и по Хит-Браун (1979) за k = 2 (расширение результата Ингхэм (1926) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFIngham1926 (помощь) кто нашел ведущий термин).

Конри и Гош (1998) предложил значение

${ displaystyle { frac {42} {9!}} prod _ {p} left ((1-p ^ {- 1}) ^ {4} (1 + 4p ^ {- 1} + p ^ { -2}) right)}$

для ведущего коэффициента, когда k 6, а Китинг и Снайт (2000) использовал теория случайных матриц предложить некоторые гипотезы о значениях коэффициентов для высшихk. Предполагается, что старшие коэффициенты являются произведением элементарного множителя, определенного произведения простых чисел и количества п к п Молодые картины заданный последовательностью

1, 1, 2, 42, 24024, 701149020,… (последовательность A039622 в OEIS ).

Прочие последствия

Обозначается п_п то п-е простое число, результат Альберт Ингхэм показывает, что из гипотезы Линделёфа следует, что для любого ε > 0,

${ Displaystyle p_ {n + 1} -p_ {n} ll p_ {n} ^ {1/2 + varepsilon} ,}$

если п является достаточно большой. Однако этот результат намного хуже, чем у большого основной разрыв предположение.

Примечания и ссылки

• Баклунд, Р. (1918–1919), «Убер Die Beziehung zwischen Anwachsen und Nullstellen der Zeta-Funktion», Офверсигт Финска Ветенск. Soc., 61 (9)
• Бургейн, Жан (2017), «Развязка, экспоненциальные суммы и дзета-функция Римана», Журнал Американского математического общества, 30 (1): 205–224, arXiv:1408.5794, Дои:10,1090 / джемы / 860, МИСТЕР  3556291
• Conrey, J. B .; Фармер, Д. У .; Китинг, Джонатан П .; Рубинштейн, М. О .; Снайт, Н. К. (2005), "Интегральные моменты L-функций", Труды Лондонского математического общества, Третья серия, 91 (1): 33–104, arXiv:математика / 0206018, Дои:10.1112 / S0024611504015175, ISSN  0024-6115, МИСТЕР  2149530
• Conrey, J. B .; Фармер, Д. У .; Китинг, Джонатан П .; Рубинштейн, М. О .; Снайт, Н. К. (2008), "Члены нижнего порядка в гипотезе полного момента для дзета-функции Римана", Журнал теории чисел, 128 (6): 1516–1554, arXiv:математика / 0612843, Дои:10.1016 / j.jnt.2007.05.013, ISSN  0022-314X, МИСТЕР  2419176
• Conrey, J. B .; Гош, А. (1998), "Гипотеза о шестом степенном моменте дзета-функции Римана", Уведомления о международных математических исследованиях, 1998 (15): 775–780, Дои:10.1155 / S1073792898000476, ISSN  1073-7928, МИСТЕР  1639551
• Эдвардс, Х.М. (1974), Дзета-функция Римана, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-41740-0, МИСТЕР  0466039
• Хит-Браун, Д. (1979), "Момент четвертой степени дзета-функции Римана", Труды Лондонского математического общества, Третья серия, 38 (3): 385–422, Дои:10.1112 / плмс / с3-38.3.385, ISSN  0024-6115, МИСТЕР  0532980
• Хаксли, М.Н. (2002), "Целочисленные точки, экспоненциальные суммы и дзета-функция Римана", Теория чисел для тысячелетия, II (Урбана, Иллинойс, 2000), А. К. Питерс, стр. 275–290, МИСТЕР  1956254
• Хаксли, М.Н. (2005), "Экспоненциальные суммы и дзета-функция Римана. V", Труды Лондонского математического общества, Третья серия, 90 (1): 1–41, Дои:10.1112 / S0024611504014959, ISSN  0024-6115, МИСТЕР  2107036
• Ingham, A. E. (1928), "Теоремы о среднем значении в теории дзета-функции Римана", Proc. Лондонская математика. Soc., с2-27 (1): 273–300, Дои:10.1112 / плмс / с2-27.1.273
• Ingham, A. E. (1940), "Об оценке N (σ, T)", Ежеквартальный журнал математики. Оксфорд. Вторая серия, 11 (1): 291–292, Bibcode:1940QJMat..11..201I, Дои:10.1093 / qmath / os-11.1.201, ISSN  0033-5606, МИСТЕР  0003649
• Карацуба Анатолий; Воронин, Сергей (1992), Дзета-функция Римана, Выставки де Грюйтера по математике, 5, Берлин: Walter de Gruyter & Co., ISBN  978-3-11-013170-3, МИСТЕР  1183467
• Китинг, Джонатан П .; Снайт, Н. К. (2000), "Теория случайных матриц и ζ (1/2 + it)", Коммуникации по математической физике, 214 (1): 57–89, Bibcode:2000CMaPh.214 ... 57K, CiteSeerX  10.1.1.15.8362, Дои:10.1007 / s002200000261, ISSN  0010-3616, МИСТЕР  1794265
• Линделёф, Эрнст (1908), "Quelques remarques sur la croissance de la fonction ζ (s)", Бык. Sci. Математика., 32: 341–356
• Мотохаши, Йыйчи (1995), «Связь между дзета-функцией Римана и гиперболическим лапласианом», Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Серия IV, 22 (2): 299–313, ISSN  0391-173X, МИСТЕР  1354909
• Мотохаши, Йыйчи (1995), "Дзета-функция Римана и неевклидов лапласиан", Выставки Сугаку, 8 (1): 59–87, ISSN  0898-9583, МИСТЕР  1335956
• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1986), Теория дзета-функции Римана (2-е изд.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853369-6, МИСТЕР  0882550
• Воронин, С. (2001) [1994], «Гипотеза Линделёфа», Энциклопедия математики, EMS Press