Дзета-функция Хассе – Вейля - Hasse–Weil zeta function

В математика, то Дзета-функция Хассе – Вейля прикреплен к алгебраическое многообразие V определен на поле алгебраических чисел K один из двух наиболее важных типов L-функция. Такой L-функции называются «глобальными» в том смысле, что они определены как Продукты Эйлера с точки зрения локальные дзета-функции. Они образуют один из двух основных классов глобальных L-функции, другие L-функции, связанные с автоморфные представления. Предположительно, существует только один существенный тип глобального L-функция с двумя описаниями (происходящая из алгебраического многообразия, происходящая из автоморфного представления); это было бы обширным обобщением Гипотеза Таниямы – Шимуры, сам по себе очень глубокий и недавний результат (по состоянию на 2009 г.^{[Обновить]}) в теория чисел.

Определение

Описание дзета-функции Хассе – Вейля. с точностью до конечного числа множителей своего эйлерова произведения относительно просто. Это следует из первоначальных предложений Хельмут Хассе и Андре Вайль, мотивировано делом, в котором V это одна точка, а Дзета-функция Римана полученные результаты.

Взяв случай K в Рациональное число поле Q, и V а неособый проективное разнообразие, мы можем для почти все простые числа п рассмотреть сокращение V по модулю п, алгебраическое многообразие V_п над конечное поле F_п с п элементов, просто сводя уравнения для V. Снова почти для всех п это будет не единственное число. Мы определяем

${ displaystyle Z_ {V, Q} (s)}$

быть Серия Дирихле из комплексная переменная s, какой бесконечный продукт из локальные дзета-функции

${ displaystyle zeta _ {V, p} left (p ^ {- s} right).}$

потом Z(s) по нашему определению четко определенный только с точностью до умножения на рациональные функции в конечном числе ${ displaystyle p ^ {- s}}$.

Поскольку неопределенность относительно безвредна и имеет мероморфное продолжение везде есть смысл, в котором свойства Z (s) существенно не зависят от этого. В частности, хотя точная форма функциональное уравнение за Z(s), отражаясь вертикальной линией в комплексной плоскости, определенно будет зависеть от «недостающих» факторов, а существование такого функционального уравнения - нет.

Более точное определение стало возможным с развитием этальные когомологии; это четко объясняет, что делать с отсутствующими факторами «плохого сокращения». В соответствии с общими принципами, видимыми в теория разветвления, «плохие» простые числа несут хорошую информацию (теория дирижер). Это проявляется в этальной теории в Критерий Огга – Нерона – Шафаревича. за хорошее сокращение; а именно, что существует хорошее сокращение, в определенном смысле, для всех простых чисел п для чего Представление Галуа ρ на группах этальных когомологий V является неразветвленный. Для них определение локальной дзета-функции может быть восстановлено в терминах характеристический многочлен из

${ displaystyle rho ( operatorname {Frob} (p)),}$

Фроб (п) быть Элемент Фробениуса за п. Что происходит в разветвленной п состоит в том, что ρ нетривиально на группа инерции я(п) за п. Для этих простых чисел определение должно быть «исправлено», беря наибольшее частное из представления ρ, на котором действует группа инерции, посредством тривиальное представление. С этим уточнением определение Z(s) можно успешно обновить с "почти всех" п к все п участвующих в произведении Эйлера. Следствия для функционального уравнения были разработаны Серр и Делинь в конце 1960-х; само функциональное уравнение вообще не доказано.

Пример: эллиптическая кривая над Q

Позволять E быть эллиптическая кривая над Q из дирижер N. Потом, E имеет хорошее сокращение при всех простых числах п не делящий N, она имеет мультипликативная редукция на простых п который точно разделять N (т.е. такие, что п разделяет N, но п² не; это написано п || N), и у него аддитивное снижение в другом месте (т.е. в простых числах, где п² разделяет N). Дзета-функция Хассе – Вейля E затем принимает форму

${ Displaystyle Z_ {E, mathbf {Q}} (s) = { frac { zeta (s) zeta (s-1)} {L (s, E)}}. ,}$

Здесь ζ (s) обычный Дзета-функция Римана и L(s, E) называется L-функция E/Q, который принимает вид^[1]

${ Displaystyle L (s, E) = prod _ {p} L_ {p} (s, E) ^ {- 1} ,}$

где для данного простого числа п,

${ displaystyle L_ {p} (s, E) = { begin {case} (1-a_ {p} p ^ {- s} + p ^ {1-2s}), & { text {if}} p nmid N (1-a_ {p} p ^ {- s}), & { text {if}} p mid N { text {and}} p ^ {2} nmid N 1, & { text {if}} p ^ {2} mid N end {case}}}$

где в случае хорошего приведения а_п является п + 1 - (количество точек E модп), а в случае мультипликативной редукции а_п составляет ± 1 в зависимости от того, E имеет раздельную или неделимую мультипликативную редукцию нап.

Гипотеза Хассе – Вейля

Гипотеза Хассе – Вейля утверждает, что дзета-функция Хассе – Вейля должна продолжаться до мероморфной функции для всех комплексных s, и должно удовлетворять функциональному уравнению, аналогичному уравнению Дзета-функция Римана. Для эллиптических кривых над рациональными числами гипотеза Хассе – Вейля следует из теорема модульности.

Смотрите также

• Арифметическая дзета-функция

Рекомендации

Библиография

• Ж.-П. Серр, Facteurs locaux des fonctions zêta des varétés algébriques (определения и предположения), 1969/1970, Sém. Деланж – Пизо – Пуату, разоблачение 19