Зигель ноль - Siegel zero
 | Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. (Май 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
В математика, а точнее в области аналитическая теория чисел, а Зигель ноль, названный в честь Карл Людвиг Сигель, это тип потенциала контрпример к обобщенная гипотеза Римана, на нулях L-функция Дирихле.
Определение
Есть гипотетические значения s из комплексная переменная, очень близко (в количественном смысле) к 1, так что
- L(s, χ) = 0
для Dirichlet персонаж χ модуля q сказать.
Непосредственные последствия
Возможность нуля Зигеля в аналитических терминах приводит к неэффективному оценивать
- L(1, χ)> C(е)q−ε
куда C является функцией ε, для которой доказательство не дает явного нижняя граница (видеть эффективные результаты в теории чисел ).
История
Важные результаты по этому типу нуля L-функция были получены в 1930-х гг. Карл Людвиг Сигель, от которого они получили свое имя (он не был первым, кто их рассматривал, и их иногда называют Нули Ландау – Зигеля признать также работу Эдмунд Ландау ).[1]
Важность
Важность возможных нулей Зигеля видна во всех известных результатах об областях L-функций, свободных от нулей: они показывают своего рода `` отступы '' вблизи s = 1, а в остальном в целом похоже на Дзета-функция Римана - то есть они слева от линии Re(s) = 1, и асимптотика к нему. Из-за формула аналитического числа классов, данные о нулях Siegel имеют прямое влияние на проблема номера класса, оценки снизу для номера классов. Этот вопрос возвращается к К. Ф. Гаусс. Зигель показал, что такие нули относятся к определенному типу (а именно, что они могут встречаться только для х а настоящий персонаж, который должен быть Символ Якоби ); и, что для каждого модуля q может быть не более одного такого.[2] Это было связано с «извилистым» аргументом, неявно касающимся L-функции биквадратные поля. Это в некотором смысле выделило нуль Зигеля как частный случай GRH (который доказал бы, что его не существует). Однако в последующих разработках подробная информация о приборе Siegel Zero не показала, что это невозможно. Вместо этого работа над проблемой количества классов продолжалась методами из Курт Хегнер работа, от трансцендентная теория чисел, а потом Дориан Гольдфельд работа в сочетании с Теорема Гросса-Загьера на Очки Хегнера.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Тафула, Кристиан (2019). «О нулях Ландау-Зигеля и высотах сингулярных модулей». arXiv:1911.07215 [math.NT ]. (См. Страницы 12–13.)
- ^ Броуган, Кевин (2 ноября 2017 г.). Эквиваленты гипотезы Римана: Том 2, Аналитические эквиваленты. Издательство Кембриджского университета. п. 291. ISBN 978-1-108-18702-2.
- Сигель, Карл Людвиг (1935). "Über die Classenzahl quadratischer Zahlkörper" [О числах классов квадратичных полей]. Acta Arithmetica (на немецком). 1 (1): 83–86. Дои:10.4064 / aa-1-1-83-86.