Контрпример - Counterexample

В логика (особенно в приложениях к математика и философия ), а контрпример является исключением из предложенного общего правила или закона и часто выступает в качестве примера, опровергающего универсальное утверждение.[1][2] Например, утверждение «все студенты ленивы» - это универсальное утверждение, которое утверждает, что определенное свойство (лень) выполняется для все ученики. Таким образом, любой ученик, который не ленив (например, трудолюбив), будет контрпримером к этому утверждению. Таким образом, контрпример - это частный случай ложности универсальная количественная оценка (заявление "для всех").[3]

В математике термин «контрпример» также используется (с небольшим злоупотреблением) для обозначения примеров, которые иллюстрируют необходимость полной гипотезы теоремы. Чаще всего это делается, рассматривая случай, когда часть гипотезы не выполняется и заключение теоремы не выполняется.[нужна цитата ]

По математике

В математике контрпримеры часто используются для доказательства границ возможных теорем. Используя контрпримеры, чтобы показать, что некоторые гипотезы ложны, математические исследователи могут затем избежать тупика и научиться изменять гипотезы, чтобы получить доказуемые теоремы. Иногда говорят, что математическое развитие состоит прежде всего в поиске (и доказательстве) теорем и контрпримеров.[4]

Пример прямоугольника

Предположим, что математик изучает геометрия и формы, и она хочет доказать некоторые теоремы о них. она догадки это все прямоугольники находятся квадраты ", и ей интересно знать, верно это утверждение или нет.

В этом случае она может либо попытаться доказать истинность утверждения с использованием дедуктивное мышление, или она может попытаться найти контрпример утверждению, если подозревает, что оно ложное. В последнем случае контрпримером может быть прямоугольник, который не является квадратом, например прямоугольник с двумя сторонами длиной 5 и двумя сторонами длиной 7. Однако, несмотря на то, что она нашла прямоугольники, которые не были квадратами, все прямоугольники она сделала У находки было четыре стороны. Затем она выдвигает новую гипотезу «Все прямоугольники имеют четыре стороны». Это логически слабее, чем ее первоначальная гипотеза, поскольку каждый квадрат имеет четыре стороны, но не каждая четырехгранная форма является квадратом.

В приведенном выше примере упрощенно объясняется, как математик может ослабить свою гипотезу перед лицом контрпримеров, но контрпримеры также могут использоваться для демонстрации необходимости определенных предположений и гипотеза. Например, предположим, что через некоторое время вышеупомянутый математик остановился на новой гипотезе «Все формы, которые являются прямоугольниками и имеют четыре стороны равной длины, являются квадратами». Эта гипотеза состоит из двух частей: форма должна быть «прямоугольником» и иметь «четыре стороны равной длины». Затем математик хотел бы знать, может ли она удалить любое из предположений и при этом сохранить истинность своего предположения. Это означает, что ей необходимо проверить истинность следующих двух утверждений:

  1. «Все формы, которые являются прямоугольниками, являются квадратами».
  2. «Все фигуры с четырьмя сторонами равной длины - квадраты».

Контрпример к (1) уже был приведен выше, а контрпример к (2) - неквадратный ромб. Таким образом, математик теперь знает, что оба допущения действительно были необходимы.

Другие математические примеры

Смотрите также: Контрпримеры в топологии и Минимальный контрпример

Контрпример к утверждению "все простые числа находятся нечетные числа "- это число 2, так как это простое число, но не нечетное.[2] Ни одно из чисел 7 или 10 не является контрпримером, поскольку ни одного из них недостаточно, чтобы противоречить утверждению. В этом примере 2 фактически является единственным возможным контрпримером к утверждению, хотя одного этого достаточно, чтобы противоречить утверждению. Аналогичным образом утверждение «Все натуральные числа либо премьер или составной "имеет число 1 в качестве контрпримера, поскольку 1 не является ни простым, ни составным.

Гипотеза Эйлера о сумме степеней был опровергнут контрпримером. Утверждалось, что по крайней мере п пth силы были необходимы для суммирования с другим пth мощность. Это предположение было опровергнуто в 1966 г.[5] с контрпримером, включающим п = 5; Другой п = 5 контрпримеров теперь известны, а также некоторые п = 4 контрпримера.[6]

Контрпример Витсенхаузена показывает, что это не всегда верно (для проблемы управления ), что квадратичная функция потерь и линейное уравнение эволюции переменная состояния подразумевают оптимальные законы управления, которые являются линейными.

Другие примеры включают опровержения Гипотеза Зейферта, то Гипотеза Поли, гипотеза Четырнадцатая проблема Гильберта, Гипотеза Тэйта, а Гипотеза Ганеи.

В философии

В философия, контрпримеры обычно используются, чтобы доказать, что определенная философская позиция ошибочна, показывая, что она неприменима в определенных случаях. В качестве альтернативы, первый философ может изменить свое утверждение так, чтобы контрпример больше не применялся; это аналогично тому, как математик модифицирует гипотезу из-за контрпримера.

Например, в Платон с Gorgias, Калликулы, пытаясь определить, что значит сказать, что одни люди «лучше», чем другие, утверждает, что те, кто сильнее, лучше.

Но Сократ отвечает, что в силу своей численности класс простой черни сильнее, чем имущий класс дворян, хотя массы prima facie худшего характера. Таким образом, Сократ предложил контрпример к утверждению Калликла, исследуя область, которую Калликл, возможно, не ожидал, - группы людей, а не отдельных лиц.

Калликл мог бы оспорить контрпример Сократа, утверждая, что, возможно, обычная чернь действительно лучше, чем дворяне, или что даже в большом количестве они все же не сильнее. Но если Калликл принимает контрпример, то он должен либо отозвать свое заявление, либо изменить его так, чтобы контрпример больше не применялся. Например, он может изменить свое утверждение, чтобы относиться только к отдельным лицам, требуя от него думать о простых людях как о совокупности людей, а не как о толпе.

Так случилось, что он изменил свое заявление, сказав «мудрее» вместо «сильнее», утверждая, что никакое численное превосходство не может сделать людей мудрее.

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ "Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - контрпример". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-11-28.
  2. ^ а б «Математические слова: контрпример». www.mathwords.com. Получено 2019-11-28.
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Контрпример". mathworld.wolfram.com. Получено 2019-11-28.
  4. ^ "Что такое контрпример?". www.cut-the-knot.org. Получено 2019-11-28.
  5. ^ Лендер, Паркин (1966). «Контрпример к гипотезе Эйлера о суммах одинаковых степеней» (PDF). Бюллетень Американского математического общества. Американское математическое общество. 72: 1079. Дои:10.1090 / с0002-9904-1966-11654-3. ISSN  0273-0979. Получено 2 августа 2018.
  6. ^ Элкис, Ноам (октябрь 1988 г.). «На A4 + B4 + C4 = D4» (PDF). Математика вычислений. 51 (184): 825–835.

дальнейшее чтение

  • Имре Лакатош, Доказательства и опровержения Издательство Кембриджского университета, 1976 г., ISBN  0521290384
  • Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший: Контрпримеры в топологии, Спрингер, Нью-Йорк 1978, ISBN  0-486-68735-X.
  • Джозеф П. Романо и Эндрю Ф. Сигел: Контрпримеры в вероятности и статистике, Chapman & Hall, Нью-Йорк, Лондон 1986, ISBN  0-412-98901-8.
  • Гэри Л. Уайз и Эрик Б. Холл: Контрпримеры в вероятностном и реальном анализе. Oxford University Press, Нью-Йорк, 1993. ISBN  0-19-507068-2.
  • Бернард Р. Гельбаум, Джон М. Х. Олмстед: Контрпримеры в анализе. Исправленное переиздание второго (1965) издания, Dover Publications, Mineola, NY 2003, ISBN  0-486-42875-3.
  • Иордания М. Стоянов: Контрпримеры в вероятности. Второе издание, Wiley, Chichester 1997, ISBN  0-471-96538-3.
  • Майкл Копобьянко и Джон Маллуццо (1978) Примеры и контрпримеры в теории графов, Эльзевир Северная Голландия ISBN  0-444-00255-3.

внешние ссылки