Делитель - Divisor

Делители 10 проиллюстрированы Удилища Cuisenaire: 1, 2, 5 и 10

В математика, а делитель целого числа ${ displaystyle n}$ , также называемый фактор из ${ displaystyle n}$ , является целое число ${ displaystyle m}$ которое можно умножить на некоторое целое число, чтобы получить ${ displaystyle n}$ . В этом случае также говорят, что ${ displaystyle n}$ это множественный из ${ displaystyle m.}$ Целое число ${ displaystyle n}$ является делимый на другое целое число ${ displaystyle m}$ если ${ displaystyle m}$ является делителем ${ displaystyle n}$ ; это подразумевает разделение ${ displaystyle n}$ от ${ displaystyle m}$ не оставляет остатка.

Определение

Если ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$ ненулевые целые числа и вообще ненулевые элементы область целостности, он сказал, что ${ displaystyle m}$ разделяет ${ displaystyle n}$ , ${ displaystyle m}$ это делитель из ${ displaystyle n,}$ или ${ displaystyle n}$ это множественный из ${ displaystyle m,}$ и это записывается как

{ displaystyle m mid n,}

если существует целое число ${ displaystyle k}$ , или элемент ${ displaystyle k}$ области целостности, такой что ${ displaystyle mk = n}$ .^[1]

Это определение иногда расширяется, чтобы включить ноль.^[2] Это мало что добавляет к теории, поскольку 0 не делит никакое другое число, а каждое число делит 0. С другой стороны, исключение нуля из определения упрощает многие утверждения. Также в теория колец, элемент $а$ называется "делитель нуля "только если это ненулевой и $ab = 0$ для ненулевой элемент $б$ . Таким образом, среди целых чисел нет делителей нуля (и по определению нет делителей нуля в области целостности).

Общее

Делители могут быть отрицательный а также положительный, хотя иногда термин ограничивается положительными делителями. Например, есть шесть делителей числа 4; это 1, 2, 4, −1, −2 и −4, но обычно упоминаются только положительные (1, 2 и 4).

1 и −1 делят (являются делителями) каждое целое число. Каждое целое число (и его отрицание) является делителем самого себя. Целые числа, делящиеся на 2, называются даже, а целые числа, не делящиеся на 2, называются странный.

1, −1, п и -п известны как тривиальные делители из п. Делитель п который не является тривиальным делителем, известен как нетривиальный дивизор (или строгий делитель^[3]). Ненулевое целое число с хотя бы одним нетривиальным делителем называется составное число, в то время единицы −1 и 1 и простые числа не имеют нетривиальных делителей.

Есть правила делимости которые позволяют отличить определенные делители числа от цифр числа.

Примеры

График количества делителей целых чисел от 1 до 1000. простые числа имеет ровно 2 делителя и очень сложные числа выделены жирным шрифтом.

7 делится на 42, потому что ${ displaystyle 7 times 6 = 42}$ , так что мы можем сказать ${ displaystyle 7 mid 42}$ . Также можно сказать, что 42 - это делимый по 7, 42 - это множественный из 7, 7 разделяет 42, или 7 - это фактор из 42.
Нетривиальные делители числа 6 равны 2, −2, 3, −3.
Положительные делители 42 равны 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
В набор всех положительных делителей 60, ${ displaystyle A = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 }}$ , частично заказанный по делимости имеет Диаграмма Хассе:

Дополнительные понятия и факты

Вот несколько элементарных правил:

Если ${ displaystyle a mid b}$ и ${ displaystyle b mid c}$ , тогда ${ displaystyle a mid c}$ , т.е. делимость переходное отношение.
Если ${ displaystyle a mid b}$ и ${ displaystyle b mid a}$ , тогда ${ displaystyle a = b}$ или ${ displaystyle a = -b}$ .
Если ${ displaystyle a mid b}$ и ${ displaystyle a mid c}$ , тогда ${ Displaystyle а середина (Ь + с)}$ держит, как и ${ displaystyle a mid (b-c)}$ .^[4] Однако если ${ displaystyle a mid b}$ и ${ displaystyle c mid b}$ , тогда ${ Displaystyle (а + с) середина б}$ делает не всегда держать (например, ${ displaystyle 2 mid 6}$ и ${ displaystyle 3 mid 6}$ но 5 не делит 6).

Если ${ displaystyle a mid bc}$ , и gcd ${ Displaystyle (а, Ь) = 1}$ , тогда ${ displaystyle a mid c}$ . Это называется Лемма евклида.

Если ${ displaystyle p}$ простое число и ${ displaystyle p mid ab}$ тогда ${ displaystyle p mid a}$ или ${ displaystyle p mid b}$ .

Положительный делитель ${ displaystyle n}$ который отличается от ${ displaystyle n}$ называется собственный делитель или аликвотная часть из ${ displaystyle n}$ . Число, которое не делится равномерно ${ displaystyle n}$ но оставляет остаток называется кратная часть из ${ displaystyle n}$ .

Целое число ${ displaystyle n> 1}$ единственный собственный делитель которого равен 1, называется простое число. Точно так же простое число - это положительное целое число, которое имеет ровно два положительных множителя: 1 и само себя.

Любой положительный делитель ${ displaystyle n}$ продукт простые делители из ${ displaystyle n}$ повышен до некоторой мощности. Это следствие основная теорема арифметики.

Число ${ displaystyle n}$ как говорят идеально если он равен сумме своих собственных делителей, неполноценный если сумма его собственных делителей меньше, чем ${ displaystyle n}$ , и обильный если эта сумма превышает ${ displaystyle n}$ .

Общее количество положительных делителей ${ displaystyle n}$ это мультипликативная функция ${ Displaystyle d (п)}$ , что означает, что когда два числа ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$ находятся относительно простой, тогда ${ Displaystyle д (тп) = д (т) раз д (п)}$ . Например, ${ displaystyle d (42) = 8 = 2 times 2 times 2 = d (2) times d (3) times d (7)}$ ; восемь делителей 42 равны 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42. Однако число положительных делителей не является полностью мультипликативной функцией: если два числа ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$ имеют общий делитель, то может быть неправда, что ${ Displaystyle д (тп) = д (т) раз д (п)}$ . Сумма положительных делителей ${ displaystyle n}$ это еще одна мультипликативная функция ${ Displaystyle sigma (п)}$ (например. ${ displaystyle sigma (42) = 96 = 3 times 4 times 8 = sigma (2) times sigma (3) times sigma (7) = 1 + 2 + 3 + 6 + 7 + 14 + 21 + 42}$ ). Обе эти функции являются примерами делительные функции.

Если простые множители из ${ displaystyle n}$ дан кем-то

{ displaystyle n = p_ {1} ^ { nu _ {1}} , p_ {2} ^ { nu _ {2}} cdots p_ {k} ^ { nu _ {k}}}

то количество положительных делителей ${ displaystyle n}$ является

{ Displaystyle д (п) = ( ню _ {1} +1) ( ню _ {2} +1) cdots ( ню _ {к} +1),}

и каждый из делителей имеет вид

{ Displaystyle p_ {1} ^ { mu _ {1}} , p_ {2} ^ { mu _ {2}} cdots p_ {k} ^ { mu _ {k}}}

где ${ Displaystyle 0 Leq му _ {я} Leq Nu _ {я}}$ для каждого ${ Displaystyle 1 Leq я Leq к.}$

Для каждого натурального ${ displaystyle n}$ , ${ displaystyle d (n) <2 { sqrt {n}}}$ .

Также,^[5]

{ displaystyle d (1) + d (2) + cdots + d (n) = n ln n + (2 gamma -1) n + O ({ sqrt {n}}).}

где ${ displaystyle gamma}$ является Константа Эйлера – Маскерони.Одна интерпретация этого результата состоит в том, что случайно выбранное положительное целое число п имеет среднее число делителей около ${ displaystyle ln n}$ . Однако это результат вклада числа с "ненормально большим числом" делителей.

В абстрактной алгебре

В определениях, которые включают 0, отношение делимости превращает множество ${ Displaystyle mathbb {N}}$ из неотрицательный целые числа в частично заказанный набор: а полная распределительная решетка. Наибольший элемент этой решетки равен 0, а наименьший - 1. Операция встречи ∧ дается наибольший общий делитель и операция соединения ∨ посредством наименьший общий множитель. Эта решетка изоморфна решетке двойной из решетка подгрупп бесконечного циклическая группа ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ .

Смотрите также

Арифметические функции
Правило делимости
Функция делителя
Алгоритм Евклида
Дробь (математика)
Таблица делителей - Таблица простых и непростых делителей 1–1000
Таблица основных факторов - Таблица простых множителей для 1–1000
Унитарный делитель

Заметки

^ например, Симс 1984, п. 42 или Дурбин 1992, п. 61
^ Херштейн 1986, п. 26
^ FoCaLiZe и Dedukti спешат на помощь для доказательства взаимодействия, Рафаэль Кодерлье и Кэтрин Дюбуа
^ ${ Displaystyle a mid b, , a mid c Rightarrow b = ja, , c = ka Rightarrow b + c = (j + k) a Rightarrow a mid (b + c)}$ . Так же, ${ Displaystyle a mid b, , a mid c Rightarrow b = ja, , c = ka Rightarrow b-c = (j-k) a Rightarrow a mid (b-c)}$
^ Харди, Г. Х.; Райт, Э. М. (17 апреля 1980 г.). Введение в теорию чисел. Издательство Оксфордского университета. п.264. ISBN 0-19-853171-0.

использованная литература

Дурбин, Джон Р. (1992). Современная алгебра: введение (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-51001-7.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
Ричард К. Гай, Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; раздел Б.
Герштейн, И. Н. (1986), Абстрактная алгебра, Нью-Йорк: издательство Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
Øystein Ore, Теория чисел и ее история, McGraw – Hill, NY, 1944 (и оттиски Dover).
Симс, Чарльз К. (1984), Абстрактная алгебра: вычислительный подход, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9

[1] например, Симс 1984, п. 42 или Дурбин 1992, п. 61

[2] Херштейн 1986, п. 26

[3] FoCaLiZe и Dedukti спешат на помощь для доказательства взаимодействия, Рафаэль Кодерлье и Кэтрин Дюбуа

[4] ${ Displaystyle a mid b, , a mid c Rightarrow b = ja, , c = ka Rightarrow b + c = (j + k) a Rightarrow a mid (b + c)}$ . Так же, ${ Displaystyle a mid b, , a mid c Rightarrow b = ja, , c = ka Rightarrow b-c = (j-k) a Rightarrow a mid (b-c)}$

[5] Харди, Г. Х.; Райт, Э. М. (17 апреля 1980 г.). Введение в теорию чисел. Издательство Оксфордского университета. п.264. ISBN 0-19-853171-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Наборы целых чисел на основе делимости
Обзор	Целочисленная факторизация Делитель Унитарный делитель Функция делителя главный фактор Основная теорема арифметики
Формы факторизации	Prime Композитный Полупростой Пронический Сфенический Без квадратов Мощный Идеальная мощность Ахиллес Гладкий; плавный Обычный Грубый Необычный
Суммы ограниченных делителей	Отлично Практически идеально Квазидеальный Умножить идеально Полусовершенный Гиперсовершенство Суперсовершенный Унитарное совершенное Би-унитарное умножение совершенное Полусовершенный Практичный Эрдеш – Николас
Со многими делителями	Обильный Первобытный изобилие Очень много Сверхизбыток Колоссально обильный Сильно композитный Превосходный высококомпозитный Странно
Последовательность аликвот -Связанный	Неприкасаемый Дружный Общительный Обрученный
База -зависимый	Равноцилиндровый Экстравагантный Экономный Харшад Полиделимый Смит
Другие наборы	Арифметика Недостаточный Дружелюбный Одиночный Возвышенный Гармонический дивизор Декарт Возможность рефакторинга Суперсовершенный

Фракции и соотношения
	Деление и соотношение	Дивиденды : Делитель = Частное
	Дробная часть	Числитель / знаменатель = частное
	Алгебраический Аспект Двоичный Продолжение Десятичная дробь Диадический Египтянин Золотой Серебряный Целое число Неприводимый Сокращение Просто интонация ЖК-дисплей Музыкальный интервал Размер бумаги Процент Единица измерения