Номер делителя гармоники - Harmonic divisor number

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Февраль 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, а число гармонического делителя, или же Число руды (названный в честь Øystein Ore определивший его в 1948 г.), является натуральным числом, делители есть гармоническое среднее это целое число. Первые несколько чисел гармонического делителя:

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190 (последовательность A001599 в OEIS ).

Примеры

Например, гармонический делитель номер 6 имеет четыре делителя 1, 2, 3 и 6. Их среднее гармоническое значение является целым числом:

${ displaystyle { frac {4} {{ frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} { 6}}}} = 2.}$

Число 140 имеет делители 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 и 140. Их среднее гармоническое значение:

${ displaystyle { frac {12} {{ frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {4}} + { frac {1} { 5}} + { frac {1} {7}} + { frac {1} {10}} + { frac {1} {14}} + { frac {1} {20}} + { frac {1} {28}} + { frac {1} {35}} + { frac {1} {70}} + { frac {1} {140}}}} = 5}$

5 - целое число, делающее 140 числом делителя гармоники.

Факторизация гармонического среднего

Гармоническое среднее ЧАС(п) делителей любого числа п можно выразить формулой

${ Displaystyle Н (п) = { гидроразрыва {п сигма _ {0} (п)} { сигма _ {1} (п)}}}$

куда σ_я(п) это сумма я-ые степени делителей из п: σ₀ - количество делителей, а σ₁ сумма делителей (Коэн 1997 Все слагаемые в этой формуле равны мультипликативный, но нет полностью мультипликативный Следовательно, гармоническое среднее ЧАС(п) также мультипликативен, что означает, что для любого положительного целого числа пгармоническое среднее ЧАС(п) может быть выражено как произведение гармонических средних для основные силы в факторизация из п.

Например, у нас есть

${ displaystyle H (4) = { frac {3} {1 + { frac {1} {2}} + { frac {1} {4}}}} = 12/7}$

${ displaystyle H (5) = { frac {2} {1 + { frac {1} {5}}}} = 5/3,}$

${ displaystyle H (7) = { frac {2} {1 + { frac {1} {7}}}} = 7/4,}$

и

${ Displaystyle H (140) = H (4 cdot 5 cdot 7) = H (4) cdot H (5) cdot H (7) = { frac {12} {7}} cdot { frac {5} {3}} cdot { frac {7} {4}} = 5.}$

Числа-делитель гармоник и совершенные числа

Демонстрация с Удилища Cuisenaire, о совершенстве числа 6

Для любого целого числа M, как заметил Оре, произведение гармонического среднего и среднее арифметическое его делителей равно M сам по себе, как видно из определений. Следовательно, M гармоническая, с гармоническим средним делителей k, тогда и только тогда, когда среднее значение его делителей является произведением M с единичная дробь 1/k.

Ore показал, что каждый идеальное число гармоничен. Чтобы убедиться в этом, заметьте, что сумма делителей совершенного числа M точно 2 млн; следовательно, среднее значение делителей равно M(2 / τ (M)), где τ (M) обозначает количество делителей из M. Для любого M, τ (M) нечетно тогда и только тогда, когда M это квадратный номер, иначе каждый дивизор d из M может быть спарен с другим делителем M/d. Но никакое совершенное число не может быть квадратом: это следует из известного вида четных совершенных чисел и из того факта, что нечетные совершенные числа (если они существуют) должны иметь множитель вида q^α где α ≡ 1 (mod 4). Поэтому для идеального числа M, τ (M) четно, а среднее значение делителей - произведение M с единичной дробью 2 / τ (M); таким образом, M является числом гармонического делителя.

Оре предположил, что не существует нечетных гармонических чисел-делителей, кроме 1. Если гипотеза верна, это означало бы отсутствие нечетные совершенные числа.

Границы и компьютерные поиски

У. Х. Миллс (неопубликовано; см. Маскат) показал, что любое число делителя нечетной гармоники больше 1 должно иметь простой коэффициент мощности больше 10⁷, а Коэн показал, что любое такое число должно иметь по крайней мере три различных простых множителя. Коэн и Сорли (2010) показал, что не существует нечетных гармонических чисел делителей меньше 10²⁴.

Коэн, Гото и другие, начиная с самого Оре, провели компьютерный поиск, перечислив все малые числа гармонических делителей. Из этих результатов известны списки всех чисел гармонических делителей до 2 × 10⁹, и все числа гармонических делителей, для которых среднее гармоническое значение делителей не превосходит 300.

Рекомендации

• Богомольный Александр. «Тождество средних делителей данного целого числа». Получено 2006-09-10.
• Коэн, Грэм Л. (1997). «Числа, положительные делители которых имеют малое интегральное гармоническое среднее» (PDF). Математика вычислений. 66 (218): 883–891. Дои:10.1090 / S0025-5718-97-00819-3.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Cohen, Graeme L .; Сорли, Рональд М. (2010). "Нечетные номера гармоник превышают 10²⁴". Математика вычислений. 79 (272): 2451. Дои:10.1090 / S0025-5718-10-02337-9. ISSN  0025-5718.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Гото, Такеши. "Гармонические числа (Руды)". Получено 2006-09-10.
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag. БИ 2. ISBN  978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001.
• Маскат, Джозеф Б. (1966). «О делителях нечетных совершенных чисел». Математика вычислений. 20 (93): 141–144. Дои:10.2307/2004277. JSTOR  2004277.
• Руда, Эйстейн (1948). «О средних делителей числа». Американский математический ежемесячный журнал. 55 (10): 615–619. Дои:10.2307/2305616. JSTOR  2305616.
• Вайсштейн, Эрик В. «Число делителя гармоник». MathWorld.