Треугольное число - Triangular number

Первые шесть треугольных чисел

А треугольное число или же номер треугольника считает объекты, расположенные в равносторонний треугольник (таким образом, треугольные числа представляют собой тип фигурных чисел, другие примеры квадратные числа и куб числа). В $п$ -ое треугольное число - это количество точек в треугольном расположении с $п$ точек на стороне, и равна сумме $п$ натуральные числа от 1 до $п$ . Последовательность треугольных чисел (последовательность A000217 в OEIS ), начиная с 0-е треугольное число, является

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

Формула

Получение треугольных чисел из выровненного влево Треугольник Паскаля

Треугольные числа задаются следующими явными формулами:

{ displaystyle T_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} k = 1 + 2 + 3 + dotsb + n = { frac {n (n + 1)} {2}} = { n + 1 выбрать 2},}

куда ${ displaystyle textstyle {n + 1 select 2}}$ это биномиальный коэффициент. Он представляет собой количество различных пар, которые можно выбрать из $п + 1$ объекты, и это читается вслух как " $п$ плюс один выберите два ".

Первое уравнение можно проиллюстрировать с помощью визуальное доказательство.^[1] Для каждого треугольного числа ${ displaystyle T_ {n}}$ , представьте себе «полуквадратное» расположение предметов, соответствующее треугольному числу, как на рисунке ниже. При копировании этого расположения и его повороте для создания прямоугольной фигуры количество объектов удваивается, в результате получается прямоугольник с размерами. ${ Displaystyle п раз (п + 1)}$ , который также является количеством объектов в прямоугольнике. Понятно, что само треугольное число всегда составляет ровно половину количества предметов в такой фигуре, или: ${ displaystyle T_ {n} = { frac {n (n + 1)} {2}}}$ . Пример ${ displaystyle T_ {4}}$ следует:

{ displaystyle 2T_ {4} = 4 (4 + 1) = 20}

(зеленый плюс желтый) означает, что

{ displaystyle T_ {4} = { frac {4 (4 + 1)} {2}} = 10}

(зеленый).

Иллюстрация треугольного числа T 4, ведущего к прямоугольнику.png

Первое уравнение также можно установить с помощью математическая индукция.^[2] С ${ displaystyle T_ {1}}$ равен единице, устанавливается базисный случай. Из определения следует, что ${ displaystyle T_ {n} = n + T_ {n-1}}$ , поэтому, принимая индуктивную гипотезу для ${ displaystyle n-1}$ , добавив ${ displaystyle n}$ обеим сторонам сразу дает

{ displaystyle T_ {n} = n + T_ {n-1} = { frac {2n} {2}} + { frac {(n-1) n} {2}} = { frac {(2 + n-1) n} {2}} = { frac {(n + 1) n} {2}}.}

Другими словами, поскольку предложение ${ Displaystyle P (п)}$ (то есть первое уравнение или сама индуктивная гипотеза) верна, когда ${ displaystyle n = 1}$ , и с тех пор ${ Displaystyle P (п)}$ истина означает, что ${ Displaystyle P (п + 1)}$ также верно, то первое уравнение верно для всех натуральных чисел. Приведенный выше аргумент можно легко изменить, чтобы начать с нуля и включить его.

Карл Фридрих Гаусс говорят, что нашел эти отношения в ранней юности, умножая $п / 2$ пары чисел в сумме по значениям каждой пары $п + 1$ .^[3] Однако, несмотря на правдивость этой истории, Гаусс не был первым, кто открыл эту формулу, и некоторые считают вероятным, что ее происхождение восходит к Пифагорейцы 5 век до нашей эры.^[4] Две формулы были описаны ирландским монахом Дикуил примерно в 816 г. Computus.^[5]

Треугольное число $Т п$ решает проблема с рукопожатием подсчета количества рукопожатий, если каждый человек в комнате с $п + 1$ люди обмениваются рукопожатием с каждым. Другими словами, решение проблемы рукопожатия $п$ люди это $Т п -1$ .^[6] Функция $Т$ является аддитивным аналогом факториал функция, которая является товары целых чисел от 1 до $п$ .

Количество отрезков между ближайшими парами точек в треугольнике может быть представлено в виде количества точек или с помощью символа отношение повторения:

{ displaystyle L_ {n} = 3T_ {n-1} = 3 {n select 2}; ~~~ L_ {n} = L_ {n-1} +3 (n-1), ~ L_ {1} = 0.}

В пределе соотношение между двумя числами, точками и отрезками линии равно

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {T_ {n}} {L_ {n}}} = { frac {1} {3}}.}

Отношение к другим фигуральным числам

Треугольные числа имеют самые разные отношения к другим фигуральные числа.

Проще говоря, сумма двух последовательных треугольных чисел - это квадратный номер, где сумма является квадратом разницы между двумя (и, таким образом, разница между двумя является квадратным корнем из суммы). Алгебраически,

{ displaystyle T_ {n} + T_ {n-1} = left ({ frac {n ^ {2}} {2}} + { frac {n} {2}} right) + left ( { frac { left (n-1 right) ^ {2}} {2}} + { frac {n-1} {2}} right) = left ({ frac {n ^ {2 }} {2}} + { frac {n} {2}} right) + left ({ frac {n ^ {2}} {2}} - { frac {n} {2}} справа) = n ^ {2} = (T_ {n} -T_ {n-1}) ^ {2}.}

Этот факт можно продемонстрировать графически, расположив треугольники в противоположных направлениях для создания квадрата:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Существует бесконечно много треугольных чисел, которые также являются квадратными числами; например, 1, 36, 1225. Некоторые из них могут быть созданы с помощью простой рекурсивной формулы:

{ displaystyle S_ {n + 1} = 4S_ {n} left (8S_ {n} +1 right)}

с

{ displaystyle S_ {1} = 1.}

Все квадратные треугольные числа находятся из рекурсии

{ Displaystyle S_ {n} = 34S_ {n-1} -S_ {n-2} +2}

с

{ displaystyle S_ {0} = 0}

и

{ displaystyle S_ {1} = 1.}

Квадрат, длина стороны которого равна треугольному числу, можно разделить на квадраты и полуквадраты, площади которых складываются с кубиками. Это показывает, что квадрат

п

-е треугольное число равно сумме первых

п

числа куба.

Так же площадь $п$ ое треугольное число совпадает с суммой кубиков целых чисел от 1 до $п$ . Это также можно выразить как

{ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} = left ( sum _ {k = 1} ^ {n} k right) ^ {2}.}

Сумма первых $п$ треугольные числа - это $п$ th тетраэдрическое число:

{ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} T_ {k} = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {k (k + 1)} {2}} = { гидроразрыв {n (n + 1) (n + 2)} {6}}.}

В более общем плане разница между $п$ th $м$ -гональный номер и $п$ th $(м + 1)$ -гональный номер - это $(п - 1)$ ое треугольное число. Например, шестой семиугольное число (81) минус шестой шестиугольное число (66) равно пятому треугольному числу 15. Каждое другое треугольное число является шестиугольным числом. Зная треугольные числа, можно считать любые многоугольное число по центру; то $п$ th по центру $k$ -гональное число получается по формуле

{ displaystyle Ck_ {n} = kT_ {n-1} +1}

куда $Т$ - треугольное число.

Положительная разность двух треугольных чисел равна трапециевидное число.

Другие свойства

Треугольные числа соответствуют случаю первой степени Формула Фаульхабера.

Чередующиеся треугольные числа (1, 6, 15, 28, ...) также шестиугольные числа.

Каждый даже идеальное число является треугольным (а также шестиугольным), задаваемым формулой

{ displaystyle M_ {p} 2 ^ {p-1} = { frac {M_ {p} (M_ {p} +1)} {2}} = T_ {M_ {p}}}

куда $M п$ это Мерсенн прайм. Совершенные нечетные числа неизвестны; следовательно, все известные совершенные числа треугольные.

Например, третье треугольное число - (3 × 2 =) 6, седьмое - (7 × 4 =) 28, 31-е - (31 × 16 =) 496 и 127-е - (127 × 64 =) 8128.

В база 10, то цифровой корень ненулевого треугольного числа всегда равно 1, 3, 6 или 9. Следовательно, каждое треугольное число либо делится на три, либо имеет остаток 1 при делении на 9:

0 = 9 × 0

1 = 9 × 0 + 1

3 = 9 × 0 + 3

6 = 9 × 0 + 6

10 = 9 × 1 + 1

15 = 9 × 1 + 6

21 = 9 × 2 + 3

28 = 9 × 3 + 1

36 = 9 × 4

45 = 9 × 5

55 = 9 × 6 + 1

66 = 9 × 7 + 3

78 = 9 × 8 + 6

91 = 9 × 10 + 1

…

У треугольных чисел, которые не делятся на 3, есть более специфическое свойство; то есть, они имеют остаток 1 или 10 при делении на 27. Те, которые равны 10 по модулю 27, также равны 10 по модулю 81.

Шаблон цифрового корня для треугольных чисел, повторяющихся каждые девять членов, как показано выше, - это «1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9».

Однако обратное приведенному выше утверждению не всегда верно. Например, цифровой корень 12, не являющийся треугольным числом, равен 3 и делится на три.

Если $Икс$ - треугольное число, то $топор + б$ также является треугольным числом, учитывая $а$ это нечетный квадрат и $б = а - 1 / 8$ . Обратите внимание, что $б$ всегда будет треугольным числом, потому что $8 Т п + 1 = (2 п + 1) 2$ , который дает все нечетные квадраты, обнаруживаются путем умножения треугольного числа на 8 и добавления 1, а также процесса для $б$ данный $а$ является нечетным квадратом, обратным этой операции. Первые несколько пар этой формы (не считая $1 Икс + 0$ ) находятся: $9 Икс + 1$ , $25 Икс + 3$ , $49 Икс + 6$ , $81 Икс + 10$ , $121 Икс + 15$ , $169 Икс + 21$ ,… И т.д. $Икс$ равно $Т п$ эти формулы дают $Т 3 п + 1$ , $Т 5 п + 2$ , $Т 7 п + 3$ , $Т 9 п + 4$ , и так далее.

Сумма взаимные всех ненулевых треугольных чисел равно

{ displaystyle ! sum _ {n = 1} ^ { infty} {1 over {{n ^ {2} + n} over 2}} = 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} {1 over {n ^ {2} + n}} = 2.}

Это можно показать, используя базовую сумму телескопическая серия:

{ displaystyle ! sum _ {n = 1} ^ { infty} {1 over {n (n + 1)}} = 1.}

Две другие формулы относительно треугольных чисел:

{ displaystyle T_ {a + b} = T_ {a} + T_ {b} + ab}

и

{ displaystyle T_ {ab} = T_ {a} T_ {b} + T_ {a-1} T_ {b-1},}

и то, и другое можно легко установить, глядя на точечные рисунки (см. выше) или с помощью какой-нибудь простой алгебры.

В 1796 году немецкий математик и ученый Карл Фридрих Гаусс обнаружил, что каждое положительное целое число можно представить в виде суммы трех треугольных чисел (возможно, включая $Т 0$ = 0), записав в дневнике свои знаменитые слова: "ΕΥΡΗΚΑ! число = Δ + Δ + Δ". Эта теорема не означает, что треугольные числа различны (как в случае 20 = 10 + 10 + 0), или что должно существовать решение с ровно тремя ненулевыми треугольными числами. Это частный случай Теорема Ферма о многоугольных числах.

Наибольшее треугольное число формы $2 k - 1$ является 4095 (видеть Уравнение Рамануджана – Нагелла ).

Вацлав Францишек Серпинский поставил вопрос о существовании четырех различных треугольных чисел в геометрическая прогрессия. Это было предположено польским математиком. Казимеж Шимичек что невозможно, что позже было доказано Фангом и Ченом в 2007 году.^[7]^[8]

Формулы, в которых целое число выражается суммой треугольных чисел, связаны с тета-функции, в частности Рамануджан тета-функция.^[9]^[10]

Приложения

А полностью подключенная сеть из $п$ вычислительные устройства требуют наличия $Т п - 1$ кабели или другие соединения; это эквивалентно проблеме рукопожатия, упомянутой выше.

В формате турнира, в котором используется круговой групповой этап, количество матчей, которые необходимо сыграть между $п$ команд равно треугольному числу $Т п - 1$ . Например, групповой этап с 4 командами требует 6 матчей, а групповой этап с 8 командами требует 28 матчей. Это также эквивалентно проблеме рукопожатия и неполадкам полностью подключенной сети.

Один из способов расчета амортизация актива - это метод суммы лет, что предполагает поиск $Т п$ , куда $п$ - продолжительность срока полезного использования актива в годах. Каждый год вещь теряет $(б - s) \times п - у / Т п$ , куда $б$ - начальная стоимость предмета (в денежных единицах), $s$ его окончательная спасательная стоимость, $п$ это общее количество лет, в течение которых предмет можно использовать, и $у$ текущий год в графике амортизации. Согласно этому методу, предмет с полезным сроком службы $п$ = 4 года потеряно 4/10 от его «потерянной» стоимости в первый год, 3/10 В секунду, 2/10 в третьем и 1/10 в четвертом, накапливая общую амортизацию в размере 10/10 (всю) потерянной стоимости.

Треугольные корни и тесты для треугольных чисел

По аналогии с квадратный корень из $Икс$ , можно определить (положительный) треугольный корень из $Икс$ как число $п$ такой, что $Т п = Икс$ :^[11]

{ displaystyle n = { frac {{ sqrt {8x + 1}} - 1} {2}}}

что непосредственно следует из квадратичная формула. Итак, целое число $Икс$ треугольный если и только если $8 Икс + 1$ это квадрат. Эквивалентно, если положительный треугольный корень $п$ из $Икс$ целое число, тогда $Икс$ это $п$ ое треугольное число.^[11]

Смотрите также

внешняя ссылка

«Арифметический ряд», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Треугольные числа в завязать узел
Существуют треугольные числа, которые также являются квадратными. в завязать узел
Вайсштейн, Эрик В. «Треугольное число». MathWorld.
Гипертетраэдрические политопные корни Роба Хаббарда, включая обобщение треугольные кубические корни, некоторые более высокие измерения и некоторые приблизительные формулы

[1] «Треугольная числовая последовательность». Математика - это весело.

[2] Эндрюс, Джордж Э. Теория чисел, Довер, Нью-Йорк, 1971. С. 3-4.

[Gauss-3] Хейс, Брайан. "День расплаты Гаусса". Американский ученый. Компьютерная наука. Получено 2014-04-16.

[4] Евс, Ховард. "Веб-страница цитирует ВВЕДЕНИЕ В ИСТОРИЮ МАТЕМАТИКИ". Mathcentral. Получено 28 марта 2015.

[5] Эспозито, М. Неопубликованный астрономический трактат ирландского монаха Дикуила. Труды Королевской ирландской академии, XXXVI C. Дублин, 1907, 378-446.

[6] ttps://web.archive.org/web/20160310182700/http://www.mathcircles.org/node/835

[7] Чен, Фанг: треугольные числа в геометрической прогрессии

[8] Клык: Отсутствие геометрической прогрессии, содержащей четыре треугольных числа.

[9] Лю, Чжи-Го (01.12.2003). «Тождество Рамануджана и представление целых чисел в виде суммы треугольных чисел». Рамануджанский журнал. 7 (4): 407–434. Дои:10.1023 / B: RAMA.0000012425.42327.ae. ISSN 1382-4090.

[10] Сунь, Чжи-Хун (24.01.2016). «Тета-функции Рамануджана и суммы треугольных чисел». arXiv:1601.06378 [math.NT ].

[EulerRoots-11] а ^б Эйлер, Леонард; Лагранж, Жозеф Луи (1810), Элементы алгебры, 1 (2-е изд.), J. Johnson and Co., стр. 332–335.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]