Центрированный многоугольный номер - Centered polygonal number

В центрированные многоугольные числа представляют собой класс серий фигуральные числа, каждая из которых образована центральной точкой, окруженной многоугольными слоями с постоянным числом сторон. Каждая сторона многоугольного слоя содержит на одну точку больше, чем сторона в предыдущем слое, поэтому, начиная со второго многоугольного слоя, каждый слой центрированного k-гональный номер содержит k больше очков, чем на предыдущем слое.

Примеры

Каждый элемент в последовательности кратен предыдущему треугольному числу плюс 1. Это можно формализовать уравнением ${ displaystyle { frac {ax (x + 1)} {2}} + 1}$ куда а - количество сторон многоугольника, а Икс - порядковый номер, начиная с нуля для начального 1. Например, квадратные числа в центре в четыре раза больше треугольных чисел плюс 1, или, что эквивалентно ${ displaystyle { frac {4x (x + 1)} {2}} + 1}$ .

Эти серии состоят из

центрированные треугольные числа 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, ... (OEIS: A005448)
центрированные квадратные числа 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, ... (OEIS: A001844)
центрированные пятиугольные числа 1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, ... (OEIS: A005891)
центрированные шестиугольные числа 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, ... (OEIS: A003215), которые и есть разность последовательных кубиков, т.е. Икс³ − (Икс − 1)³
центрированные семиугольные числа 1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, ... (OEIS: A069099)
центрированные восьмиугольные числа 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, ... (OEIS: A016754), что и есть странный квадраты
центрированные неагональные числа 1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, ... (OEIS: A060544), которые включают все четные идеальные числа кроме 6
центрированные десятиугольные числа 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, ... (OEIS: A062786)
центрированные девятиугольные числа 1, 12, 34, 67, 111, 166, 232, 309, 397, 496, 606, 727, ... (OEIS: A069125)
центрированные двенадцатиугольные числа 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, ... (OEIS: A003154), которые также являются звездные числа

и так далее.

На следующих диаграммах показаны несколько примеров центрированных многоугольных чисел и их геометрическое построение. Сравните эти диаграммы с диаграммами в Многоугольный номер.

по центру треугольный номер	по центру квадрат номер	по центру пятиугольник номер	по центру шестиугольник номер

Центрированные квадратные числа

1		5		13		25

Центрированные шестиугольные числа

1		7		19		37

Формула

Как видно из приведенных выше диаграмм, пth по центру k-гональный номер можно получить, поставив k копии (п−1) -го треугольного числа вокруг центральной точки; Следовательно пth по центру k-гональное число может быть математически представлено как

{ displaystyle C_ {k, n} = { frac {kn} {2}} (n-1) +1.}

Разница в п-й и (п+1) -й подряд центрированный k-гональные числа k(2п+1).

В п-й центрированный k-гональное число равно п-й регулярный k-гональный номер плюс (п-1)².

Как и в случае с правильными многоугольными числами, первое центрированное k-гональное число равно 1. Таким образом, для любого k, 1 оба k-гональные и центрированные k-гональный. Следующее число будет обоими k-гональные и центрированные k-gonal можно найти по формуле:

{ displaystyle { frac {k ^ {2}} {2}} (k-1) +1}

что говорит нам, что 10 одновременно является треугольным и центрированным треугольником, 25 является квадратным и центрированным квадратом и т. д.

В то время как простое число п не может быть многоугольное число (кроме тривиального случая, т.е. каждый п это второй п-угольное число), многие центрированные многоугольные числа являются простыми числами. Фактически, если k ≥ 3, k ≠ 8, k ≠ 9, то центрированных бесконечно много k-угольные числа, которые являются простыми числами (при условии, что Гипотеза Буняковского ). (Поскольку все центрированные восьмиугольные числа являются также квадратные числа, и все центрированные неагональные числа являются также треугольные числа (и не равно 3), поэтому оба они не могут быть простыми числами)

Сумма взаимных

В сумма из взаимные для центрированных k-гональные числа^[1]

{ displaystyle { frac {2 pi} {k { sqrt {1 - { frac {8} {k}}}}}} tan left ({ frac { pi} {2}} { sqrt {1 - { frac {8} {k}}}} right)}

, если k ≠ 8

{ displaystyle { frac { pi ^ {2}} {8}}}

, если k = 8