Сильное псевдопросто - Strong pseudoprime

А сильная псевдопремия это составное число что проходит Тест на простоту Миллера – Рабина. Все простые числа проходят этот тест, но небольшая часть составных чисел также проходит, что делает их "псевдопремы ".

в отличие от Псевдопремы Ферма, для которых существуют числа, псевдопремы все совмещать базы ( Числа Кармайкла ), композитов, являющихся сильными псевдопричинениями по всем основаниям, не существует.

Мотивация и первые примеры

Скажем, мы хотим исследовать, если п = 31697 - это вероятный прайм (PRP). Подбираем базу а = 3 и вдохновленный Маленькая теорема Ферма, рассчитать:

${ Displaystyle 3 ^ {31696} Equiv 1 { pmod {31697}}}$

Это показывает, что 31697 - это PRP Ферма (база 3), поэтому мы можем подозревать, что это простое число. Теперь мы несколько раз уменьшаем показатель вдвое:

${ displaystyle 3 ^ {15848} Equiv 1 { pmod {31697}}}$

${ Displaystyle 3 ^ {7924} Equiv 1 { pmod {31697}}}$

${ displaystyle 3 ^ {3962} Equ 28419 { pmod {31697}}}$

Первые несколько раз не дали ничего интересного (результат все еще был 1 по модулю 31697), но при экспоненте 3962 мы видим результат, который не равен ни 1, ни минус 1 (т.е. 31696) по модулю 31697. Это доказывает, что 31697 на самом деле составной. По модулю простого числа остаток 1 не может иметь других квадратных корней, кроме 1 и минус 1. Это показывает, что 31697 равен нет сильное псевдопростое число по основанию 3.

В качестве другого примера выберите п = 47197 и рассчитаем таким же образом:

${ Displaystyle 3 ^ {47196} Equiv 1 { pmod {47197}}}$

${ Displaystyle 3 ^ {23598} Equiv 1 { pmod {47197}}}$

${ Displaystyle 3 ^ {11799} Equiv 1 { pmod {47197}}}$

В этом случае результат по-прежнему будет 1 (mod 47197), пока мы не достигнем нечетной экспоненты. В этой ситуации мы говорим, что 47197 является сильное вероятное простое число с основанием 3. Поскольку оказывается, что этот PRP на самом деле составной (можно увидеть, выбрав другие основания, кроме 3), мы получаем, что 47197 - сильное псевдопростое число с основанием 3.

Наконец, рассмотрим п = 74593 откуда получаем:

${ displaystyle 3 ^ {74592} Equiv 1 { pmod {74593}}}$

${ displaystyle 3 ^ {37296} Equiv 1 { pmod {74593}}}$

${ displaystyle 3 ^ {18648} Equiv 74592 { pmod {74593}}}$

Здесь мы достигли минус 1 по модулю 74593, ситуация, которая вполне возможна с простым числом. Когда это происходит, мы останавливаем вычисление (хотя показатель еще не является нечетным) и говорим, что 74593 является сильное вероятное простое число (и, как оказалось, сильное псевдопростое число) с основанием 3.

Формальное определение

Нечетное составное число п = d · 2^s + 1 где d нечетное называется сильной (Ферма) псевдопервикой по основанию а если:

${ Displaystyle а ^ {д} эквив 1 { pmod {п}}}$

или же

${ displaystyle a ^ {d cdot 2 ^ {r}} Equiv -1 { pmod {n}} quad { mbox {для некоторых}} 0 leq r$

(Если число п удовлетворяет одному из вышеперечисленных условий, и мы пока не знаем, является ли оно простым, точнее называть его сильным вероятный прайм основать а. Но если мы это знаем п не является простым, тогда мы можем использовать термин сильное псевдопростое число.)

Определение тривиально выполняется, если а ≡ ± 1 (мод. п) поэтому эти тривиальные основы часто исключаются.

Парень ошибочно дает определение только с первым условием, которому не удовлетворяют все простые числа.^[1]

Свойства сильных псевдоприемников

Сильная псевдоперма для основания а всегда Псевдопростое число Эйлера – Якоби, Псевдопрям Эйлера ^[2] и Псевдопросто Ферма к этому основанию, но не все псевдопространства Эйлера и Ферма являются сильными псевдопростыми числами. Числа Кармайкла могут быть сильными псевдопростыми числами для некоторых оснований - например, 561 - сильное псевдопростое число для оснований 50, - но не для всех оснований.

Составное число п является сильной псевдопремией не более чем для четверти всех оснований ниже п;^[3][4] таким образом, не существует «сильных чисел Кармайкла», чисел, которые являются сильными псевдопростыми числами для всех оснований. Таким образом, учитывая случайное основание, вероятность того, что число является сильным псевдопростом по отношению к этому основанию, меньше 1/4, что составляет основу широко используемых Тест на простоту Миллера – Рабина. Истинная вероятность отказа обычно намного меньше. Пол Эрдош и Карл Померанс в 1986 году показал, что если случайное целое число n проходит тест простоты Миллера – Рабина на случайную базу b, то n равно почти наверняка прайм.^[5] Например, из первых 25000000000 положительных целых чисел 1 091 987 405 целых чисел являются вероятными простыми числами с основанием 2, но только 21 853 из них являются псевдопростыми числами, и еще меньше из них являются сильными псевдопростыми числами, поскольку последнее является подмножеством первого.^[6]Однако Арно^[7]дает 397-значное число Кармайкла, которое является сильным псевдопростом, для каждого основания меньше 307. Один из способов уменьшить вероятность того, что такое число будет ошибочно объявлено, вероятно, простым, - это объединить строгий критерий вероятного простого числа с Лукас вероятный премьер тест, как в Тест на простоту Baillie – PSW.

На любую базу существует бесконечно много сильных псевдопричин.^[2]

Примеры

Первые сильные псевдопростые числа с основанием 2:

2047, 3277, 4033, 4681, 8321, 15841, 29341, 42799, 49141, 52633, 65281, 74665, 80581, 85489, 88357, 90751, ... (последовательность A001262 в OEIS ).

Первыми по базе 3 являются

121, 703, 1891, 3281, 8401, 8911, 10585, 12403, 16531, 18721, 19345, 23521, 31621, 44287, 47197, 55969, 63139, 74593, 79003, 82513, 87913, 88573, 97567, ... ( последовательность A020229 в OEIS ).

Первыми по базе 5 являются

781, 1541, 5461, 5611, 7813, 13021, 14981, 15751, 24211, 25351, 29539, 38081, 40501, 44801, 53971, 79381, ... (последовательность A020231 в OEIS ).

Для базы 4 см. OEIS: A020230, а для базы от 6 до 100 см. OEIS: A020232 к OEIS: A020326Проверяя вышеуказанные условия на нескольких базах, можно получить несколько более мощные тесты на простоту, чем при использовании только одной базы. Например, всего 13 чисел меньше 25 · 10⁹ которые являются сильными псевдопростыми числами одновременно для оснований 2, 3 и 5 и перечислены в таблице 7.^[2] Наименьшее такое число - 25326001. Это означает, что если п меньше 25326001 и п является сильным вероятным простым числом с основаниями 2, 3 и 5, то п простое.

Если продолжить, 3825123056546413051 - это наименьшее число, которое является сильным псевдопростом для 9 оснований 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23.^[8][9]Так что если п меньше 3825123056546413051 и п является сильным вероятным простым числом этих 9 оснований, то п простое.

Путем разумного выбора базисов, которые не обязательно являются простыми, можно построить даже лучшие тесты. Например, нет составного ${ displaystyle <2 ^ {64}}$ это сильное псевдопростое число для всех семи оснований 2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504 и 1795265022.^[10]

Наименьшее сильное псевдопростое число для основания п

п	Наименьшее SPSP	п	Наименьшее SPSP	п	Наименьшее SPSP	п	Наименьшее SPSP
1	9	33	545	65	33	97	49
2	2047	34	33	66	65	98	9
3	121	35	9	67	33	99	25
4	341	36	35	68	25	100	9
5	781	37	9	69	35	101	25
6	217	38	39	70	69	102	133
7	25	39	133	71	9	103	51
8	9	40	39	72	85	104	15
9	91	41	21	73	9	105	451
10	9	42	451	74	15	106	15
11	133	43	21	75	91	107	9
12	91	44	9	76	15	108	91
13	85	45	481	77	39	109	9
14	15	46	9	78	77	110	111
15	1687	47	65	79	39	111	55
16	15	48	49	80	9	112	65
17	9	49	25	81	91	113	57
18	25	50	49	82	9	114	115
19	9	51	25	83	21	115	57
20	21	52	51	84	85	116	9
21	221	53	9	85	21	117	49
22	21	54	55	86	85	118	9
23	169	55	9	87	247	119	15
24	25	56	55	88	87	120	91
25	217	57	25	89	9	121	15
26	9	58	57	90	91	122	65
27	121	59	15	91	9	123	85
28	9	60	481	92	91	124	25
29	15	61	15	93	25	125	9
30	49	62	9	94	93	126	25
31	15	63	529	95	1891	127	9
32	25	64	9	96	95	128	49

Рекомендации