Первичное псевдосовершенное число - Primary pseudoperfect number

Графическая демонстрация того, что 1 = 1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/23 + 1/31 + 1 / (2 × 3 × 11 × 23 × 31). Следовательно, продукт 47058 является первичным псевдосовершенством.

В математика, и особенно в теория чисел, N это первичное псевдосовершенное число если он удовлетворяет Египетская фракция уравнение

${displaystyle {frac {1} {N}} + sum _ {p | N} {frac {1} {p}} = 1,}$

где сумма превышает только простые делители из N.

Характеристики

Эквивалентно, N является первичным псевдосовершенством, если оно удовлетворяет

${displaystyle 1 + sum _ {p | N} {frac {N} {p}} = N.}$

За исключением основного псевдосовершенного числа N = 2, это выражение дает представление для N как сумму различных делителей N. Следовательно, каждое первичное псевдосовершенное число N (Кроме N = 2) также псевдосовершенный.

Восемь известных первичных псевдоперфектных чисел:

2, 6, 42, 1806, 47058, 2214502422, 52495396602, 8490421583559688410706771261086 (последовательность A054377 в OEIS ).

Первые четыре из этих чисел на единицу меньше соответствующих чисел в Последовательность Сильвестра, но затем две последовательности расходятся.

Неизвестно, существует ли бесконечно много первичных псевдосовершенных чисел или есть ли какие-либо нечетные первичные псевдосовершенные числа.

Простые множители первичных псевдоперфектных чисел иногда могут дать решения Проблема Знама, в котором все элементы множества решений простые. Например, простые множители первичного псевдосовершенного числа 47058 образуют множество решений {2, 3, 11, 23, 31} проблемы Знама. Однако меньшие первичные псевдосовершенные числа 2, 6, 42 и 1806 не соответствуют решениям проблемы Знама таким образом, поскольку их наборы простых множителей нарушают требование, что никакое число в наборе не может равняться единице плюс произведение другие числа. Энн (1998) отмечает, что существует ровно одно множество решений этого типа, которое имеет k проста в нем, для каждого k ≤ 8, и предполагает, что то же самое верно для больших k.

Если первичное псевдосовершенное число N на единицу меньше простого числа, тогда N×(N+1) также является первичным псевдосовершенством. Например, 47058 является первичным псевдосовершенством, а 47059 - простым, поэтому 47058 × 47059 = 2214502422 также является первичным псевдосовершенством.

История

Первичные псевдоперфектные числа были впервые исследованы и названы Буцке, Яже и Майерником (2000). Используя методы вычислительного поиска, они доказали замечательный результат, что для каждого положительного целого числа р до 8 существует ровно одно первичное псевдосовершенное число с точно р (различные) простые множители, а именно ризвестное первичное псевдосовершенное число. Те, у кого 2 ≤ р ≤ 8, при уменьшении по модулю 288, образуют арифметическая прогрессия 6, 42, 78, 114, 150, 186, 222, как наблюдали Сондоу и Макмиллан (2017).

Смотрите также

• Число Джуги

Рекомендации

• Энн, Премчанд (1998), «Египетские фракции и проблема наследования», Математический журнал колледжа, Математическая ассоциация Америки, 29 (4): 296–300, Дои:10.2307/2687685, JSTOR  2687685.

• Буске, Уильям; Jaje, Lynda M .; Майерник, Дэниел Р. (2000), "Об уравнении ${displaystyle scriptstyle sum _ {p | N} {frac {1} {p}} + {frac {1} {N}} = 1}$, псевдосовершенные числа и идеально взвешенные графы », Математика вычислений, 69: 407–420, Дои:10.1090 / S0025-5718-99-01088-1.

• Сондоу, Джонатан; Макмиллан, Кирен (2017), «Первичные псевдосовершенные числа, арифметические прогрессии и уравнение Эрдеша-Мозера», Американский математический ежемесячник, 124 (3): 232–240, arXiv:1812.06566, Дои:10.4169 / amer.math.monthly.124.3.232.

внешняя ссылка

• Первичное псевдосовершенное число в PlanetMath.org.
• Вайсштейн, Эрик В. «Первичное псевдосовершенное число». MathWorld.