Число Шредера - Schröder number

В математика, то Число Шредера ${displaystyle S_ {n},}$ также называется большое число Шредера или же большое число Шредера, описывает количество решетчатые дорожки из юго-западного угла ${displaystyle (0,0)}$ из ${displaystyle n imes n}$ сетка в северо-восточном углу ${displaystyle (n, n),}$ используя только одиночные шаги на север, ${displaystyle (0,1);}$ к северо-востоку, ${displaystyle (1,1);}$ или восток, ${displaystyle (1,0),}$ не возвышаются над диагональю ЮЗ – СВ.^[1]

Первые несколько чисел Шредера - это

1, 2, 6, 22, 90, 394, 1806, 8558, ... (последовательность A006318 в OEIS ).

куда ${displaystyle S_ {0} = 1}$ и ${displaystyle S_ {1} = 2.}$ Они были названы в честь немецкого математика. Эрнст Шредер.

Примеры

На следующем рисунке показаны 6 таких путей через ${displaystyle 2 imes 2}$ сетка:

Связанные конструкции

Путь Шредера длиной ${displaystyle n}$ это решетчатый путь из ${displaystyle (0,0)}$ к ${displaystyle (2n, 0)}$ со ступенями на северо-восток, ${displaystyle (1,1);}$ Восток, ${displaystyle (2,0);}$ и юго-восток, ${displaystyle (1, -1),}$ которые не опускаются ниже ${displaystyle x}$ -ось. В ${displaystyle n}$ число Шредера - это количество путей Шредера длиной ${displaystyle n}$ .^[2] На следующем рисунке показаны 6 дорожек Шредера длиной 2.

Точно так же числа Шредера подсчитывают количество способов разделить прямоугольник в ${displaystyle n + 1}$ меньшие прямоугольники с использованием ${displaystyle n}$ прорезает ${displaystyle n}$ точки, заданные внутри прямоугольника в общем положении, каждый разрез пересекает одну из точек и разделяет только один прямоугольник на две части. Это похоже на процесс триангуляция, в котором фигура разделена на неперекрывающиеся треугольники вместо прямоугольников. На следующем рисунке показаны 6 таких разрезов прямоугольника на 3 прямоугольника с помощью двух разрезов:

На рисунке ниже показаны 22 разреза прямоугольника на 4 прямоугольника с использованием трех разрезов:

Число Шредера ${displaystyle S_ {n}}$ также считает разделимые перестановки длины ${displaystyle n-1.}$

Связанные последовательности

Числа Шредера иногда называют большой или же большой Числа Шредера, потому что существует другая последовательность Шредера: маленькие числа Шредера, также известный как Числа Шредера-Гиппарха или супер-каталонские числа. Связи между этими путями можно увидеть несколькими способами:

Рассмотрим пути от ${displaystyle (0,0)}$ к ${displaystyle (n, n)}$ с шагами ${displaystyle (1,1),}$ ${displaystyle (2,0),}$ и ${displaystyle (1, -1)}$ которые не возвышаются над главной диагональю. Есть два типа путей: те, у которых есть движения по главной диагонали, и те, у которых нет. (Большие) числа Шредера учитывают оба типа путей, а маленькие числа Шредера учитывают только пути, которые касаются только диагонали, но не имеют движений по ней.^[3]

Так же, как есть (большие) дорожки Шредера, небольшая дорожка Шредера - это дорожка Шредера, не имеющая горизонтальных ступенек на ${displaystyle x}$ -ось.^[4]

Если ${displaystyle S_ {n}}$ это ${displaystyle n}$ число Шредера и ${displaystyle s_ {n}}$ это ${displaystyle n}$ ое маленькое число Шредера, тогда ${displaystyle S_ {n} = 2s_ {n}}$ за ${displaystyle n> 0}$ ${displaystyle (S_ {0} = s_ {0} = 1).}$ ^[4]

Пути Шредера похожи на Дайковые тропы но разрешите шаг по горизонтали, а не только по диагонали. Другой подобный путь - это тип пути, который Числа Моцкина считать; пути Моцкина допускают такие же диагональные пути, но допускают только один горизонтальный шаг (1,0), и подсчитывают такие пути от ${displaystyle (0,0)}$ к ${displaystyle (n, 0)}$ .^[5]

Также есть треугольная решетка связанных с числами Шредера, что обеспечивает отношение повторения^[6] (хотя и не только с числами Шредера). Первые несколько терминов

1, 1, 2, 1, 4, 6, 1, 6, 16, 22, .... (последовательность A033877 в OEIS ).

Связь с числами Шредера легче увидеть, когда последовательность имеет треугольную форму:

$k$ $п$	0	1	2	3	4	5	6
0	1
1	1	2
2	1	4	6
3	1	6	16	22
4	1	8	30	68	90
5	1	10	48	146	304	394
6	1	12	70	264	714	1412	1806

Тогда числа Шредера - это диагональные элементы, т.е. ${displaystyle S_ {n} = T (n, n)}$ куда ${displaystyle T (n, k)}$ это запись в строке ${displaystyle n}$ и столбец ${displaystyle k}$ . Рекуррентное отношение, задаваемое этой схемой, есть

{displaystyle T (n, k) = T (n, k-1) + T (n-1, k-1) + T (n-1, k)}

с ${displaystyle T (1, k) = 1}$ и ${displaystyle T (n, k) = 0}$ за ${displaystyle k> n}$ .^[6] Еще одно интересное наблюдение: сумма ${displaystyle n}$ -я строка - это ${displaystyle (n + 1)}$ ул маленькое число Шредера; то есть,

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} T (n, k) = s_ {n + 1}}

.

Отношение рецидива

{displaystyle S_ {n} = 3S_ {n-1} + sum _ {k = 1} ^ {n-2} S_ {k} S_ {n-k-1}}

за

{displaystyle ngeq 2}

с

{displaystyle S_ {0} = 1}

,

{displaystyle S_ {1} = 2}

.^[7]

Производящая функция

В производящая функция ${displaystyle G (x)}$ из ${displaystyle (S_ {n})}$ является

{displaystyle G (x) = {frac {1-x- {sqrt {x ^ {2} -6x + 1}}} {2x}} = sum _ {n = 0} ^ {infty} S_ {n} x ^ {n}}

.^[7]

Использует

Одна тема комбинаторика является черепица формы, и одним из конкретных примеров этого является мозаики домино; вопрос в этом случае: «Сколько домино (то есть, ${displaystyle 1 imes 2}$ или же ${displaystyle 2 imes 1}$ прямоугольники) можем ли мы расположить какую-либо форму так, чтобы ни одно из домино не перекрывалось, вся форма была покрыта, и ни одно из домино не выступало из формы? »Форма, с которой связаны числа Шредера, - это Ацтекский алмаз. Ниже для справки показан ацтекский алмаз четвертого порядка с возможной мозаикой домино.

Получается, что детерминант из ${displaystyle (2n-1) imes (2n-1)}$ Матрица Ганкеля чисел Шредера, то есть квадратная матрица, ${displaystyle (i, j)}$ -я запись ${displaystyle S_ {i + j-1},}$ - количество мозаик домино порядка ${displaystyle n}$ Ацтекский алмаз, который ${displaystyle 2 ^ {n (n + 1) / 2}.}$ ^[8] То есть,