Матрица Ганкеля - Hankel matrix

В линейная алгебра, а Матрица Ганкеля (или каталектикант матрица), названный в честь Герман Ганкель, это квадратная матрица в котором каждая восходящая косая диагональ слева направо постоянна, например:

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b & c & d & e b & c & d & e & f c & d & e & f & g d & e & f & g & h e & f & g & h & i end {bmatrix}}.}$

В более общем плане Матрица Ганкеля есть ли ${ Displaystyle п раз п}$ матрица ${ displaystyle A}$ формы

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} a_ {0} & a_ {1} & a_ {2} & ldots & ldots & a_ {n-1} a_ {1} & a_ {2} &&&& vdots a_ {2} &&&&& vdots vdots &&&&& a_ {2n-4} vdots &&&& a_ {2n-4} & a_ {2n-3} a_ {n-1} & ldots & ldots & a_ {2n -4} & a_ {2n-3} & a_ {2n-2} end {bmatrix}}.}$

Что касается компонентов, если ${ displaystyle i, j}$ элемент ${ displaystyle A}$ обозначается ${ displaystyle A_ {ij}}$, и предполагая ${ displaystyle i leq j}$, то имеем ${ Displaystyle A_ {я, j} = A_ {я + k, j-k}}$для всех ${ displaystyle k = 0, ..., j-i}$.

Некоторые свойства и факты

• Матрица Ганкеля - это симметричная матрица.
• Позволять ${ displaystyle J_ {n}}$ быть матрица обмена порядка ${ displaystyle n}$. Если ${ Displaystyle Н (т, п)}$ это ${ Displaystyle м раз п}$ Матрица Ганкеля, тогда ${ Displaystyle Н (т, п) = Т (т, п) , J_ {п}}$, где ${ Displaystyle Т (м, п)}$ это ${ Displaystyle м раз п}$ Матрица Теплица.
  • Если ${ Displaystyle Т (п, п)}$ вещественно симметрично, то ${ Displaystyle Н (п, п) = Т (п, п) , J_ {п}}$ будут иметь те же собственные значения, что и ${ Displaystyle Т (п, п)}$ до подписи.^[1]

• В Матрица Гильберта является примером матрицы Ганкеля.

Оператор Ганкеля

Ганкель оператор на Гильбертово пространство - матрица, матрица которой является (возможно, бесконечной) матрицей Ганкеля, относительно ортонормированный базис. Как указано выше, матрица Ганкеля - это матрица с постоянными значениями вдоль ее антидиагоналей, что означает, что матрица Ганкеля ${ displaystyle A}$ должен удовлетворять для всех строк ${ displaystyle i}$ и столбцы ${ displaystyle j}$, ${ Displaystyle (A_ {я, j}) _ {я, j geq 1}}$. Обратите внимание, что каждая запись ${ displaystyle A_ {i, j}}$ зависит только от ${ displaystyle i + j}$.

Пусть соответствующие Оператор Ханкеля быть ${ displaystyle H _ { alpha}}$. Учитывая матрицу Ганкеля ${ displaystyle A}$, тогда соответствующий оператор Ганкеля определяется как ${ displaystyle H _ { alpha} (u) = Au}$.

Нас часто интересуют операторы Ганкеля. ${ displaystyle H _ { alpha}: ell ^ {2} left (Z ^ {+} cup {0 } right) rightarrow ell ^ {2} left ( mathbb {Z} ^ {+} чашка {0 } right)}$ над гильбертовым пространством ${ Displaystyle ell ^ {2} ( mathbf {Z})}$, пространство квадратично интегрируемых двусторонних комплексных последовательностей. Для любого ${ Displaystyle и в ell ^ {2} ( mathbf {Z})}$, у нас есть

${ displaystyle | u | _ { ell ^ {2} (z)} ^ {2} = sum _ {n = - infty} ^ { infty} left | u_ {n} right | ^ {2}}$

Нас часто интересуют приближения операторов Ганкеля, возможно, операторами низкого порядка. Чтобы аппроксимировать результат работы оператора, мы можем использовать спектральную норму (оператор 2-норма) для измерения ошибки нашего приближения. Это говорит о том Разложение по сингулярным числам как возможный способ приблизить действие оператора.

Обратите внимание, что матрица ${ displaystyle A}$ не обязательно должно быть конечным. Если оно бесконечно, традиционные методы вычисления отдельных сингулярных векторов не будут работать напрямую. Мы также требуем, чтобы аппроксимация была матрицей Ганкеля, что может быть показано с помощью теории AAK.

Определитель матрицы Ганкеля называется каталектикант.

Преобразование Ганкеля

В Преобразование Ганкеля такое название иногда называют преобразованием последовательность, где преобразованная последовательность соответствует определителю матрицы Ганкеля. То есть последовательность ${ Displaystyle {ч_ {п} } _ {п geq 0}}$ - преобразование Ганкеля последовательности ${ displaystyle {b_ {n} } _ {n geq 0}}$ когда

${ displaystyle h_ {n} = det (b_ {i + j-2}) _ {1 leq i, j leq n + 1}.}$

Вот, ${ displaystyle a_ {i, j} = b_ {i + j-2}}$ - матрица Ганкеля последовательности ${ displaystyle {b_ {n} }}$. Преобразование Ганкеля инвариантно относительно биномиальное преобразование последовательности. То есть, если писать

${ displaystyle c_ {n} = sum _ {k = 0} ^ {n} {n select k} b_ {k}}$

как биномиальное преобразование последовательности ${ displaystyle {b_ {n} }}$, то есть

${ Displaystyle Det (Ь_ {я + J-2}) _ {1 Leq я, J Leq N + 1} = Det (c_ {я + J-2}) _ {1 Leq я, j leq n + 1}.}$

Приложения матриц Ганкеля

Матрицы Ганкеля формируются, когда при заданной последовательности выходных данных реализация нижележащего пространства состояний или скрытая марковская модель желательно.^[2] В разложение по сингулярным числам матрицы Ганкеля предоставляет средства вычисления матриц A, B и C, которые определяют реализацию в пространстве состояний.^[3] Матрица Ганкеля, сформированная из сигнала, оказалась полезной для разложения нестационарных сигналов и частотно-временного представления.

Метод моментов для полиномиальных распределений

В метод моментов Применение к полиномиальным распределениям приводит к матрице Ганкеля, которую необходимо инвертировать, чтобы получить весовые параметры приближения полиномиального распределения.^[4]

Положительные матрицы Ганкеля и проблемы моментов Гамбургера

Смотрите также

• Матрица Коши
• Матрица Вандермонда

Заметки

использованная литература

• Брент Р.П. (1999), «Устойчивость быстрых алгоритмов для структурированных линейных систем», Быстрые надежные алгоритмы для матриц со структурой (редакторы - Т. Кайлат, А. Х. Сайед), гл.4 (СИАМ ).
• Виктор Юрьевич Пан (2001). Структурированные матрицы и полиномы: унифицированные сверхбыстрые алгоритмы. Биркхойзер. ISBN  0817642404.
• Дж. Р. Партингтон (1988). Введение в операторы Ганкеля. Тексты студентов LMS. 13. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-36791-3.
• П. Джайн и Р. Б. Пачори, Итерационный подход к разложению многокомпонентных нестационарных сигналов на основе разложения по собственным значениям матрицы Ганкеля, Журнал Института Франклина, вып. 352, выпуск 10, с. 4017--4044, октябрь 2015 г.
• П. Джайн и Р. Б. Пачори, Основанный на событиях метод мгновенной оценки основной частоты по вокализированной речи на основе разложения по собственным значениям матрицы Ханкеля, IEEE / ACM Transactions on Audio, Speech and Language Processing, vol. 22. Выпуск 10, стр. 1467-1482, октябрь 2014 г.
• Р. Р. Шарма и Р. Б. Пачори, Частотно-временное представление с использованием IEVDHM-HT с приложением к классификации эпилептических сигналов ЭЭГ, IET Science, Measurement & Technology, vol. 12, выпуск 01, стр. 72-82, январь 2018 г.