Матрица единиц - Matrix of ones

В математика, а матрица единиц или матрица всех единиц это матрица где каждый элемент равен один.^[1] Примеры стандартных обозначений приведены ниже:

${ displaystyle J_ {2} = { begin {pmatrix} 1 & 1 1 & 1 end {pmatrix}}; quad J_ {3} = { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 end {pmatrix} }; quad J_ {2,5} = { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 & 1 end {pmatrix}}; quad J_ {1,2} = { begin {pmatrix} 1 & 1 end {pmatrix}} . quad}$

В некоторых источниках матрицу всех единиц называют единичная матрица,^[2] но этот термин может также относиться к единичная матрица, другая матрица.

А вектор единиц или единичный вектор это матрица единиц, имеющих форма строки или столбца.

Свойства

Для п × п матрица единиц J, выполняются следующие свойства:

• В след из J является п,^[3] и детерминант равно 1, если п равно 1 или 0 в противном случае.
• В характеристический многочлен из J является ${ Displaystyle (х-п) х ^ {п-1}}$.
• Ранг J равно 1, а собственные значения равны п с участием множественность 1 и 0 с кратностью п − 1.^[4]
• ${ Displaystyle J ^ {k} = n ^ {k-1} J}$ для ${ displaystyle k = 1,2, ldots.}$^[5]
• J это нейтральный элемент из Произведение Адамара.^[6]

Когда J рассматривается как матрица над действительные числа, выполняются следующие дополнительные свойства:

• J является положительная полуопределенная матрица.
• Матрица ${ displaystyle { tfrac {1} {n}} J}$ является идемпотент.^[5]
• В матричная экспонента из J является ${ Displaystyle exp (J) = I + { frac {e ^ {n} -1} {n}} J.}$

Приложения

Матрица всех единиц возникает в математической области комбинаторика, в частности, с применением алгебраических методов к теория графов. Например, если А это матрица смежности из п-вертекс неориентированный граф г, и J матрица всех единиц той же размерности, то г это регулярный график если и только если AJ = JA.^[7] В качестве второго примера матрица появляется в некоторых линейно-алгебраических доказательствах Формула Кэли, что дает количество остовные деревья из полный график, с использованием теорема о матричном дереве.

Смотрите также

• Нулевая матрица, матрица, в которой все элементы равны нулю
• Однократная матрица

использованная литература

Эта линейная алгебра -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.