Матрица Паскаля - Википедия - Pascal matrix

В математика, особенно матричная теория и комбинаторика, то Матрица Паскаля - бесконечная матрица, содержащая биномиальные коэффициенты как его элементы. Этого можно добиться тремя способами: как верхнетреугольная матрица, так и нижнетреугольная матрица (треугольные матрицы ) или симметричная матрица. Их усечения 5 × 5 показаны ниже.

Нижний треугольный: ${ displaystyle L_ {5} = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 1 & 0 & 0 1 & 3 & 3 & 1 & 0 1 & 4 & 6 & 4 & 1 end {pmatrix}}; , , ,}$

Симметричный: ${ displaystyle S_ {5} = { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 4 & 5 1 & 3 & 6 & 10 & 15 1 & 4 & 10 & 20 & 35 1 & 5 & 15 & 35 & 70 end {pmatrix}}.}$

Верхний треугольник: ${ displaystyle U_ {5} = { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 & 3 & 4 0 & 0 & 1 & 3 & 6 0 & 0 & 0 & 1 & 4 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}; , , ,}$

У этих матриц приятное соотношение S_п = L_пU_п. Из этого легко видеть, что все три матрицы имеют определитель 1, поскольку определитель треугольной матрицы является просто произведением ее диагональных элементов, которые все равны 1 для обоих. L_п и U_п. Другими словами, матрицы S_п, L_п, и U_п находятся унимодулярный, с L_п и U_п имея след п.

Элементами симметричной матрицы Паскаля являются биномиальные коэффициенты, т.е.

${ displaystyle S_ {ij} = {n choose r} = { frac {n!} {r! (nr)!}}, { text {where}} n = i + j, quad r = i .}$

Другими словами,

${ displaystyle S_ {ij} = {} _ {i + j} mathbf {C} _ {i} = { frac {(i + j)!} {(i)! (j)!}}.}.}$

Таким образом, след S_п дан кем-то

${ displaystyle { text {tr}} (S_ {n}) = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {[2 (i-1)]!} {[(i-1) !] ^ {2}}} = sum _ {k = 0} ^ {n-1} { frac {(2k)!} {(K!) ^ {2}}}}$

с несколькими первыми членами, заданными последовательностью 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275,… (последовательность A006134 в OEIS ).

Строительство

Матрицу Паскаля на самом деле можно построить, взяв матричная экспонента специального субдиагональный или же супердиагональ матрица. В приведенном ниже примере создается матрица Паскаля 7 на 7, но этот метод работает для любых желаемых п×п Матрицы Паскаля. (Обратите внимание, что точки в следующих матрицах представляют нулевые элементы.)

${ displaystyle { begin {array} {lll} & L_ {7} = exp left ( left [{ begin {smallmatrix}. &. &. &. &. &. &. 1 &. &. &. &. &. &. . & 2 &. &. &. &. &. . &. & 3 &. &. &. &. . &. &. & 4 &. &. &. . &. &. &. & 5 &. &. . &. &. &. &. & 6 &. End {smallmatrix}} right] right) = left [{ begin {smallmatrix} 1 &. &. & . &. &. &. 1 & 1 &. &. &. &. &. 1 & 2 & 1 &. &. &. &. 1 & 3 & 3 & 1 &. &. &. 1 & 4 &. &. 1 & 4 &. &. 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 &. 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 6 &. end {smallmatrix}} right]; quad & U_ {7} = exp left ( left [{ begin {smallmatrix}. & 1 &. &. &. &. &. . & . & 2 &. &. &. &. . &. &. & 3 &. &. &. . &. &. &. & 4 &. &. . &. &. &. &. & 5 &. . &. &. &. &. &. & 6 . &. &. &. &. &. &. End {smallmatrix}} right] right) = left [{ begin {smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 . & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 . &. & 1 & 3 & 6 & 10 & 15 . &. &. & 1 & 4 & 10 & 20 . &. &. &. & 1 & 5 & 15 . &. &. &. &. & 1 & 6 . &. &. &. & . &. & 1 end {smallmatrix}} right]; \ поэтому & S_ {7} = exp left ( left [{ begin {smallmatrix}. &. &. &. &. &. &. 1 &. &. &. &. &. &. . & 2 &. &. &. &. &. . &. & 3 &. &. &. &. . &. &. & 4 & . &. &. . &. &. &. & 5 &. &. . &. &. &. &. & 6 &. End {smallmatrix}} right] right) exp left ( left [{ begin {smallmatrix}. & 1 &. &. &. &. &. . &. & 2 &. &. &. &. . &. &. & 3 &. &. &. . &. &. &. & 4 &. &. . &. &. &. &. & 5 &. . &. &. &. &. &. & 6 . &. &. &. &. & ... right]. end {array}}}$

Важно отметить, что нельзя просто предположить exp (А) ехр (B) = ехр (А + B), за А и B п×п матрицы. Такая идентичность сохраняется только тогда, когда AB = BA (т.е. когда матрицы А и B ездить ). При построении симметричных матриц Паскаля, подобных приведенной выше, суб- и супердиагональные матрицы не коммутируются, поэтому (возможно) заманчивое упрощение, включающее добавление матриц, не может быть выполнено.

Полезное свойство суб- и супердиагональных матриц, используемых в конструкции, состоит в том, что обе матрицы нильпотентный; то есть при возведении в достаточно высокую целую степень они вырождаются в нулевая матрица. (Видеть матрица сдвига для получения дополнительной информации.) п×п Обобщенные матрицы сдвига, которые мы используем, становятся нулевыми при возведении в степень п, при вычислении матричной экспоненты нужно учитывать только первую п +1 член бесконечного ряда, чтобы получить точный результат.

Варианты

Интересные варианты могут быть получены при очевидной модификации матрицы-логарифма PL₇ а затем применение экспоненты матрицы.

В первом примере ниже используются квадраты значений логарифмической матрицы и строится "Лагерровская" матрица 7 на 7 (или матрица коэффициентов Полиномы Лагерра

${ displaystyle { begin {array} {lll} & LAG_ {7} = exp left ( left [{ begin {smallmatrix}. &. &. &. &. &. &. 1 &. &. &. &. &. &. . & 4 &. &. &. &. &. . &. & 9 &. &. &. &. . &. &. & 16 &. &. &. . &. &. &. & 25 &. &. . &. &. &. &. & 36 &. End {smallmatrix}} right] right) = left [{ begin {smallmatrix} 1 &. &. & . &. &. &. 1 & 1 &. &. &. &. &. 2 & 4 & 1 &. &. &. &. 6 & 18 & 9 & 1 &. &. &. 24 & 96 & 72 & 16 & 1 &. &. 120 & 600 & 600 & 200 & 25 & 1 &. 720 & 4320 & 5400 & 2400 & 450 end {smallmatrix}} right]; quad end {array}}}$

Матрица Лагерра фактически используется с некоторым другим масштабированием и / или схемой чередования знаков. (Литературы об обобщениях на высшие степени пока не найдено)

Во втором примере ниже используются продукты v(v + 1) значений лог-матрицы и строит "Ла" -матрицу размером 7 на 7 (или матрицу коэффициентов Числа Ла )

${ displaystyle { begin {array} {lll} & LAH_ {7} = exp left ( left [{ begin {smallmatrix}. &. &. &. &. &. &. 2 &. &. &. &. &. &. . & 6 &. &. &. &. &. . &. & 12 &. &. &. &. . &. &. & 20 &. &. &. . &. &. &. & 30 &. &. . &. &. &. &. & 42 &. End {smallmatrix}} right] right) = left [{ begin {smallmatrix} 1 &. &. & . &. &. &. &. 2 & 1 &. &. &. &. &. &. 6 & 6 & 1 &. &. &. &. &. 24 & 36 & 12 & 1 &. &. &. &. 120 & 240 & 120 & 20 & 1 &. . &. 720 & 1800 & 1200 & 300 & 30 & 1 &. &. 5040 & 15120 & 12600 & 4200 & 630 & 42 & 1 &. 40320 & 141120 & 141120 & 58800 & 11760 & 1176 & 56 & 1 end {smallmatrix}} right]; quad end {array}}}$

С помощью v(v - 1) вместо этого обеспечивает сдвиг по диагонали в нижний правый угол.

В третьем примере ниже используется квадрат исходного PL₇-матрица, деленная на 2, другими словами: биномы первого порядка (бином (k, 2)) во второй поддиагонали и строит матрицу, которая возникает в контексте производных и интегралов гауссовой функция ошибки:

${ displaystyle { begin {array} {lll} & GS_ {7} = exp left ( left [{ begin {smallmatrix}. &. &. &. &. &. &. . &. & . &. &. &. &. 1 &. &. &. &. &. &. . & 3 &. &. &. &. &. . &. & 6 &. &. &. &. . &. &. & 10 &. &. &. . &. &. &. & 15 &. &. End {smallmatrix}} right] right) = left [{ begin {smallmatrix} 1 &. & . &. &. &. &. . & 1 &. &. &. &. &. 1 &. & 1 &. &. &. &. . & 3 &. & 1 &. &. &. 3 &. & 6 & . & 1 &. &. . & 15 &. & 10 &. & 1 &. 15 &. & 45 &. & 15 &. & 1 end {smallmatrix}} right]; quad end {array}}}$

Если эту матрицу инвертировать (используя, например, отрицательный матричный логарифм), то эта матрица имеет чередующиеся знаки и дает коэффициенты производных (и, соответственно, интегралы функции ошибок Гаусса). (Литературы об обобщениях на высшие степени пока не найдено.)

Другой вариант можно получить, расширив исходную матрицу до отрицательные значения:

${ displaystyle { begin {array} {lll} & exp left ( left [{ begin {smallmatrix}. &. &. &. &. &. &. &. &. &. &. &. - 5 &. &. &. &. &. &. &. &. &. &. &. . & - 4 &. &. &. &. &. &. &. &. &. &. . &. & - 3 &. &. &. &. &. &. &. &. &. . &. &. & - 2 &. &. &. &. &. &. &. &. . &. &. &. & - 1 &. &. &. &. &. &. &. . &. &. &. &. & 0 &. &. &. &. &. &. . &. &. &. &. &. & 1 &. &. &. &. &. . &. &. &. &. &. &. & 2 &. &. &. &. . &. & . &. &. &. &. &. & 3 &. &. &. . &. &. &. &. &. &. &. &. & 4 &. &. . &. &. &. & . &. &. &. &. &. & 5 &. End {smallmatrix}} right] right) = left [{ begin {smallmatrix} 1 &. &. &. &. &. &. &. & . &. &. &. - 5 & 1 &. &. &. &. &. &. &. &. &. &. 10 & -4 & 1 &. &. &. &. &. &. &. &. &. - 10 & 6 & -3 & 1 &. &. &. &. &. &. &. &. 5 & -4 & 3 & -2 & 1 &. &. &. &. &. &. &. - 1 & 1 & -1 & 1 & - 1 & 1 &. &. &. &. &. &. . &. &. &. &. & 0 & 1 &. &. &. &. &. . &. &. &. &. &. & 1 & 1 &. &. &. &. . &. &. &. &. &. & 1 & 2 & 1 &. &. &. . &. &. &. &. &. &. & 1 & 3 & 3 & 1 &. &. . &. &. &. & . &. & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 &. . &. &. &. &. &. & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 end {smallmatrix}} right]. End {array}}}$

Смотрите также

• Треугольник Паскаля
• LU разложение

Рекомендации

• Г. С. Калл, Д. Дж. Веллеман, «Матрицы Паскаля», Американский математический ежемесячный журнал, том 100, (апрель 1993 г.), страницы 372–376
• Эдельман, Алан; Стрэнг, Гилберт (Март 2004 г.), «Матрицы Паскаля» (PDF), Американский математический ежемесячный журнал, 111 (3): 361–385, Дои:10.2307/4145127, заархивировано из оригинал (PDF) на 2010-07-04

внешняя ссылка

• Г. Хелмс Матрица Паскаля в проекте компиляции фактов о Числовые теоретические матрицы
• Г. Хелмс Матрица Гаусса
• Вайсштейн, Эрик В. Функция Гаусса
• Вайсштейн, Эрик В. Erf-функция
• Вайсштейн, Эрик У. «Полином Эрмита». Полиномы Эрмита
• Эндль, Курт "Убер eine ausgezeichnete Eigenschaft der Koeffizientenmatrizen des Laguerreschen und des Hermiteschen Polynomsystems". В: PERIODICAL VOLUME 65 Mathematische Zeitschrift Курт Эндл
• OEIS последовательность A066325 (Коэффициенты унитарных многочленов Эрмита He_п(Икс)) (Связано с матрицей Гаусса).