Матрица Коши - Cauchy matrix

В математика, а Матрица Коши, названный в честь Огюстен Луи Коши, является м×п матрица с элементами а_ij в виде

{displaystyle a_ {ij} = {frac {1} {x_ {i} -y_ {j}}}; quad x_ {i} -y_ {j} eq 0, quad 1leq ileq m, quad 1leq jleq n}

куда ${displaystyle x_ {i}}$ и ${displaystyle y_ {j}}$ являются элементами поле ${displaystyle {mathcal {F}}}$ , и ${displaystyle (x_ {i})}$ и ${displaystyle (y_ {j})}$ находятся инъективный последовательности (они содержат отчетливый элементы).

В Матрица Гильберта является частным случаем матрицы Коши, где

{displaystyle x_ {i} -y_ {j} = i + j-1 .;}

Каждый подматрица матрицы Коши сама является матрицей Коши.

Детерминанты Коши

Определитель матрицы Коши, очевидно, является рациональная дробь в параметрах ${displaystyle (x_ {i})}$ и ${displaystyle (y_ {j})}$ . Если бы последовательности не были инъективными, детерминант обратился бы в нуль и стремится к бесконечности, если бы некоторые ${displaystyle x_ {i}}$ как правило ${displaystyle y_ {j}}$ . Таким образом, известно подмножество его нулей и полюсов. Дело в том, что нулей и полюсов больше нет:

Определитель квадратной матрицы Коши А известен как Определитель Коши и может быть задан явно как

{displaystyle det mathbf {A} = {{prod _ {i = 2} ^ {n} prod _ {j = 1} ^ {i-1} (x_ {i} -x_ {j}) (y_ {j}) -y_ {i})} над {prod _ {i = 1} ^ {n} prod _ {j = 1} ^ {n} (x_ {i} -y_ {j})}}}

(Шехтер, 1959, уравнение 4; Коши, 1841, стр. 154, уравнение 10).

Он всегда отличен от нуля, и поэтому все квадратные матрицы Коши равны обратимый. Обратное А⁻¹ = B = [b_ij] дан кем-то

{displaystyle b_ {ij} = (x_ {j} -y_ {i}) A_ {j} (y_ {i}) B_ {i} (x_ {j}),}

(Шехтер 1959, теорема 1)

куда А_я(x) и B_я(x) являются Полиномы Лагранжа за ${displaystyle (x_ {i})}$ и ${displaystyle (y_ {j})}$ , соответственно. Это,

{displaystyle A_ {i} (x) = {frac {A (x)} {A ^ {prime} (x_ {i}) (x-x_ {i})}} quad {ext {and}} quad B_ { i} (x) = {гидроразрыв {B (x)} {B ^ {prime} (y_ {i}) (x-y_ {i})}},}

с

{displaystyle A (x) = prod _ {i = 1} ^ {n} (x-x_ {i}) quad {ext {and}} quad B (x) = prod _ {i = 1} ^ {n} (x-y_ {i}).}

Обобщение

Матрица C называется Похожий на Коши если это имеет форму

{displaystyle C_ {ij} = {frac {r_ {i} s_ {j}} {x_ {i} -y_ {j}}}.}

Определение Икс= diag (x_я), Y= diag (y_я), видно, что как матрицы Коши, так и матрицы типа Коши удовлетворяют уравнение смещения

{displaystyle mathbf {XC} -mathbf {CY} = rs ^ {mathrm {T}}}

(с ${displaystyle r = s = (1,1, ldots, 1)}$ для модели Коши). Следовательно, матрицы типа Коши имеют общий структура смещения, которые можно использовать при работе с матрицей. Например, в литературе известны алгоритмы для

приближенное умножение матрицы Коши на вектор с ${displaystyle O (nlog n)}$ операции (например, быстрый мультипольный метод ),
(повернутый ) LU факторизация с ${displaystyle O (n ^ {2})}$ ops (алгоритм GKO) и, следовательно, решение линейных систем,
приближенные или неустойчивые алгоритмы решения линейных систем в ${displaystyle O (nlog ^ {2} n)}$ .

Здесь ${displaystyle n}$ обозначает размер матрицы (обычно имеют дело с квадратными матрицами, хотя все алгоритмы легко обобщаются на прямоугольные матрицы).

Матрица Коши - Cauchy matrix

Содержание

Детерминанты Коши

Обобщение

Смотрите также

Рекомендации