Матрица Редхеффера - Redheffer matrix

В математике Матрица Редхеффера, часто обозначаемый ${displaystyle A_ {n}}$ как изучено Редхеффер (1977), это квадрат (0,1) матрица чьи записи а_ij равны 1, если я разделяет j или если j = 1; иначе, а_ij = 0. В некоторых контекстах полезно выражать Свертка Дирихле, или свернутый суммы делителей, в терминах матричных произведений, включающих транспонировать из ${displaystyle n ^ {th}}$ Матрица Редхеффера.

Варианты и определения компонентных матриц

Поскольку обратимость матриц Редхеффера усложняются начальным столбцом единиц в матрице, часто удобно выразить ${displaystyle A_ {n}: = C_ {n} + D_ {n}}$ куда ${displaystyle C_ {n}: = [c_ {ij}]}$ определяется как (0,1) матрица чьи записи являются одним, если и только если ${displaystyle j = 1}$ и ${displaystyle ieq 1}$. Остальные однозначные записи в ${displaystyle A_ {n}}$ то соответствуют условию делимости, отраженному матрицей ${displaystyle D_ {n}}$, что хорошо видно, если применить Инверсия Мебиуса всегда обратимо с обратным ${displaystyle D_ {n} ^ {- 1} = left [mu (j / i) M_ {i} (j) ight]}$. Тогда у нас есть характеристика необычность из ${displaystyle A_ {n}}$ выраженный ${displaystyle det left (A_ {n} ight) = det left (D_ {n} ^ {- 1} C_ {n} + I_ {n} ight).}$

Если мы определим функцию

${displaystyle M_ {j} (i): = {egin {case} 1, & {ext {если j делит i; }} 0, & {ext {иначе,}} end {case}},}$

тогда мы можем определить ${displaystyle n ^ {th}}$ Матрица Редхеффера (транспонирование) должна быть пИксп квадратная матрица ${displaystyle R_ {n} = [M_ {j} (i)] _ {1leq i, jleq n}}$ в обычных матричных обозначениях. Мы продолжим использовать эти обозначения в следующих разделах.

Примеры

Приведенная ниже матрица представляет собой матрицу Редхеффера 12 × 12. В обозначении расщепленной суммы матриц для ${displaystyle A_ {12}: = C_ {12} + D_ {12}}$, записи ниже, соответствующие начальному столбцу единиц в ${displaystyle C_ {n}}$ отмечены синим цветом.

${Displaystyle влево ({Egin {матрица} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 {цвет {синие} mathbf {1}} & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 {цвет {синие} mathbf {1}} & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 {цвет {синие} mathbf {1}} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 {цвет { синий} mathbf {1}} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 {color {blue} mathbf {1}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 {color {blue} mathbf {1}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0} {0 & 0 & 0} {0 & 0 & 0} {0 & 0 & 0} {0 & 0} {0 & 0} {0 & 0 & 0} {0 & 0} {0 & 0 & 0} {0 & 0 & 0} {0 & 0} {0 & 0} {0 & 0} {0 & 0} {0 & 0} {0 & 0} {0 & 0} {0 & 0} {0 & 0 & 0} {0 & 0} {0 & 0 mathbf {1}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 {color {blue} mathbf {1}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 {color {blue} mathbf {1}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0} {0 & 0} матрица & 0} {0 & 0} {0 & 0} {0 & 0} {0 & 0})$

Соответствующее приложение Формула обращения Мебиуса показывает, что ${displaystyle n ^ {th}}$ Матрица транспонирования Редхеффера всегда обратимый, с обратными записями, заданными

${displaystyle R_ {n} ^ {- 1} = left [M_ {j} (i) cdot mu left ({frac {i} {j}} ight) ight] _ {1leq i, jleq n},}$

куда ${displaystyle mu (n)}$ обозначает Функция Мебиуса. В этом случае мы имеем ${displaystyle 12 imes 12}$ обратная матрица транспонирования Редхеффера имеет вид

${Displaystyle R_ {12} ^ {- 1} = левый ({Egin {матрица} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 end {matrix}} ight)}$

Ключевые свойства

Сингулярность и связь с функцией Мертенса и специальным рядом

Детерминанты

В детерминант из пИксп квадрат Матрица Редхеффера задается Функция Мертенса M(п). В частности, матрица ${displaystyle A_ {n}}$ не обратима в точности, когда функция Мертенса равна нулю (или Закрыть к изменению знаков). Это приводит к интересной характеристике, согласно которой функция Мертенса может менять знаки бесконечно часто, только если матрица Редхеффера ${displaystyle A_ {n}}$ является сингулярным при бесконечном множестве натуральных чисел, что, как многие полагают, имеет место в отношении колебательного поведения ${displaystyle M (x).}$ Определители матриц Редхеффера сразу привязываются к Гипотеза Римана (RH) через эту тесную связь с функцией Мертенса как RH эквивалентно показать, что ${displaystyle M (x) = Oleft (x ^ {1/2 + varepsilon} ight)}$ для всех (достаточно малых) ${displaystyle varepsilon> 0}$.

Факторизации сумм, закодированных этими матрицами

В несколько нетрадиционной конструкции, которая переосмысливает (0,1) матрица элементов для обозначения включения в некоторую возрастающую последовательность наборов индексации, мы можем видеть, что эти матрицы также связаны с факторизацией Серия Ламберта. Это наблюдение предлагается для фиксированного арифметическая функция ж, коэффициенты следующего разложения в ряд Ламберта по ж предоставить так называемую маску включения для индексов, по которым мы суммируем ж чтобы получить коэффициенты ряда этих разложений. В частности, обратите внимание, что

${displaystyle sum _ {d | n} f (d) = sum _ {k = 1} ^ {n} M_ {k} (n) cdot f (k) = [q ^ {n}] left (sum _ { ngeq 1} {frac {f (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} ight).}$

Теперь в частном случае эти суммы делителей, которые мы видим из приведенного выше разложения, кодируются булевым (нуль-единичным) включением в наборы делителей натурального числа п, можно переинтерпретировать производящие функции ряда Ламберта, которые перечисляют эти суммы, с помощью еще одного матричного построения. А именно, Мерка и Шмидт (2017-2018) доказали обратимые матричные факторизации, расширяя эти производящие функции в виде ^[1]

${displaystyle sum _ {ngeq 1} {frac {f (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = {frac {1} {(q; q) _ {infty}}} сумма _ {ngeq 1} влево (сумма _ {k = 1} ^ {n} s_ {n, k} f (k) ight) q ^ {n},}$

куда ${displaystyle (q; q) _ {infty}}$ обозначает бесконечный символ q-Pochhammer и где нижнетреугольная матричная последовательность генерируется точно как коэффициенты ${displaystyle s_ {n, k} = [q ^ {n}] {гидроразрыв {q ^ {k}} {1-q ^ {k}}} (q; q) _ {infty}}$, через эти термины также интерпретируются как различия специальных четных (нечетных) индексированных функций разделения. Merca и Schmidt (2017) также доказали простую формулу обращения, которая допускает неявную функцию ж выражается в виде суммы свернутых коэффициентов ${displaystyle ell (n) = (fast 1) (n)}$ исходной производящей функции ряда Ламберта в виде ^[2]

${displaystyle f (n) = sum _ {d | n} sum _ {k = 1} ^ {n} p (dk) mu (n / d) left [сумма _ {jgeq 0 на вершине k-jgeq 0} ell ( kj) [q ^ {j}] (q; q) _ {infty} ight],}$

куда п (п) обозначает функция распределения, ${displaystyle mu (n)}$ это Функция Мебиуса, а коэффициенты при ${displaystyle (q; q) _ {infty}}$ наследуют квадратичную зависимость от j сквозь теорема о пятиугольных числах. Эта формула обращения сравнивается с обратными (если они существуют) матриц Редхеффера ${displaystyle A_ {n}}$ ради доработки здесь.

Помимо этого, так называемый маска Матрица, которая определяет включение индексов в имеющиеся суммы делителей, являются обратимыми, использование этого типа конструкции для расширения других матриц типа Редхеффера для других специальных теоретико-числовых сумм не должно ограничиваться теми формами, которые классически изучаются здесь. Например, в 2018 году Мусави и Шмидт распространили такие леммы о матричной факторизации на случаи Суммы делителей Андерсона-Апостола (из которых Суммы Рамануджана являются заметным частным случаем) и суммы, индексированные по целым числам, которые взаимно просты с каждым п (например, как классически определяет счет, обозначаемый Функция Эйлера фи ).^[3] Более того, примеры, рассмотренные в Приложения в разделе ниже предлагается изучить свойства того, что можно считать обобщенные матрицы Редхеффера представляющие другие специальные теоретико-числовые суммы.

Спектральный радиус и собственные подпространства

• Если обозначить спектральный радиус из ${displaystyle A_ {n}}$ к ${displaystyle ho _ {n}}$, т.е. доминирующее максимальное собственное значение модуля в спектр из ${displaystyle A_ {n}}$, тогда

${displaystyle lim _ {nightarrow infty} {frac {ho _ {n}} {sqrt {n}}} = 1,}$

что ограничивает асимптотическое поведение спектра ${displaystyle A_ {n}}$ когда п большой. Также можно показать, что ${displaystyle 1+ {sqrt {n-1}} leq ho _ {n} <{sqrt {n}} + O (log n)}$, и тщательным анализом (см. характеристические полиномиальные разложения ниже), ${displaystyle ho _ {n} = {sqrt {n}} + log {sqrt {n}} + O (1)}$.

• Матрица ${displaystyle A_ {n}}$ имеет собственное значение один с множественностью ${displaystyle n-leftlfloor log _ {2} (n) ightfloor -1}$.
• Размер собственное подпространство ${displaystyle E_ {lambda} (A_ {n})}$ соответствующий собственное значение ${displaystyle lambda: = 1}$ как известно ${displaystyle leftlfloor {frac {n} {2}} ightfloor -1}$. В частности, это означает, что ${displaystyle A_ {n}}$ не является диагонализуемый в любое время ${displaystyle ngeq 5}$.
• Для всех остальных собственных значений ${displaystyle lambda eq 1}$ из ${displaystyle A_ {n}}$, то размерность соответствующих собственных подпространств ${displaystyle E_ {lambda} (A_ {n})}$ едины.

Характеризуя собственные векторы

У нас есть это ${displaystyle [a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n}]}$ является собственный вектор из ${displaystyle A_ {n} ^ {T}}$ соответствует некоторым собственное значение ${displaystyle лямбда в сигме (A_ {n})}$ в спектре ${displaystyle A_ {n}}$ если и только если для ${displaystyle ngeq 2}$ выполняются следующие два условия:

${displaystyle lambda a_ {n} = sum _ {d | n} a_ {d} quad {ext {and}} quad lambda a_ {1} = sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}.}$

Если ограничиться так называемым нетривиальный случаи, когда ${displaystyle lambda eq 1}$, то для любой начальной компоненты собственного вектора ${displaystyle a_ {1}}$ мы можем рекурсивно вычислить оставшиеся п-1 компоненты по формуле

${displaystyle a_ {j} = {frac {1} {lambda -1}} sum _ {d | j atop d$

Имея это в виду, для ${displaystyle lambda eq 1}$ мы можем определить последовательности

${displaystyle v_ {lambda} (n): = {egin {cases} 1, & n = 1; {frac {1} {lambda -1}} sum _ {d | n atop deq n} v_ {lambda} (d ), & ngeq 2.end {case}}}$

Есть несколько любопытных выводов, связанных с определениями этих последовательностей. Во-первых, у нас есть это ${displaystyle лямбда в сигме (A_ {n})}$ если и только если

${сумма displaystyle _ {k = 1} ^ {n} v_ {lambda} (k) = lambda.}$

Во-вторых, у нас есть устоявшаяся формула для Серия Дирихле, или же Производящая функция Дирихле, над этими последовательностями при фиксированных ${displaystyle lambda eq 1}$ что справедливо для всех ${displaystyle Re (s)> 1}$ данный

${displaystyle sum _ {ngeq 1} {frac {v_ {lambda} (n)} {n ^ {s}}} = {frac {lambda -1} {lambda -zeta (s)}},}$

куда ${displaystyle zeta (s)}$ конечно как обычно обозначает Дзета-функция Римана.

Границы и свойства нетривиальных собственных значений

А теоретический график интерпретация к оценке нулей характеристический многочлен из ${displaystyle A_ {n}}$ а ограничение его коэффициентов приведено в разделе 5.1.^[4] Оценки размеров Иорданские блоки из ${displaystyle A_ {n}}$ соответствующие собственному значению приведены в.^[5] Краткий обзор свойств модифицированный подход к факторизации характеристического многочлена, ${displaystyle p_ {A_ {n}} (x)}$, из этих матриц определяется здесь без полного объема несколько технических доказательств, оправдывающих границы из цитированных выше ссылок. А именно пусть стенография ${displaystyle s: = lfloor log _ {2} (n) floor}$ и определим последовательность вспомогательных полиномиальных разложений по формуле

${displaystyle f_ {n} (t): = {frac {p_ {A_ {n}} (t + 1)} {t ^ {ns-1}}} = t ^ {s + 1} -sum _ {k = 1} ^ {s} v_ {nk} t ^ {sk}.}$

Тогда мы знаем, что ${displaystyle f_ {n} (t)}$ имеет два действительных корня, обозначаемых ${displaystyle t_ {n} ^ {pm}}$, которые удовлетворяют

${displaystyle t_ {n} ^ {pm} = pm {sqrt {n}} + log {sqrt {n}} + gamma - {frac {3} {2}} + Oleft ({frac {log ^ {2} ( n)} {sqrt {n}}} ight),}$

куда ${displaystyle gamma приблизительно 0,577216}$ является Классическая гамма-постоянная Эйлера, а остальные коэффициенты этих многочленов ограничены

${displaystyle | v_ {nk} | leq {frac {ncdot log ^ {k-1} (n)} {(k-1)!}}.}$

График гораздо более ограниченного размера собственных значений ${displaystyle f_ {n} (t)}$ которые не характеризуются этими двумя доминирующими нулями полинома, кажется замечательным, о чем свидетельствует единственный 20 остальные комплексные нули показаны ниже. Следующее изображение воспроизводится из цитированной выше статьи в свободном доступе, когда ${displaystyle nsim 10 ^ {6}}$ доступен Вот для справки.

Приложения и обобщения

Мы приводим несколько примеров использования матриц Редхеффера, интерпретируемых как (0,1) матрица чья четность соответствует включению в возрастающую последовательность наборов индексов. Эти примеры должны помочь освежить некоторые из временами устаревших исторических перспектив этих матриц, и то, что они достойны сноски в силу присущей им глубокой связи их детерминант с Функция Мертенса и эквивалентные утверждения Гипотеза Римана. Эта интерпретация является намного более комбинаторный по конструкции, чем типичные трактовки специальных определителей матрицы Редхеффера. Тем не менее, этот комбинаторный поворот в перечислении специальных последовательностей сумм был исследован в последнее время в ряде статей и является темой активного интереса в предпечатных архивах. Прежде чем погрузиться в полное построение этого спина на вариантах матрицы Редхеффера ${displaystyle R_ {n}}$ как определено выше, обратите внимание, что этот тип расширения во многих отношениях по сути является просто еще одним вариантом использования Матрица Теплица для представления выражений усеченного степенного ряда, в которых элементы матрицы являются коэффициентами формальной переменной в ряду. Давайте рассмотрим применение этого конкретного взгляда на (0,1) матрица как маскировка включения индексов суммирования в конечную сумму по некоторой фиксированной функции. Смотрите цитаты по ссылкам ^[6] и ^[7] для существующих обобщений матриц Редхеффера в контексте общих арифметическая функция случаи. Члены обратной матрицы относятся к обобщенному Функция Мебиуса в разрезе сумм данного типа в.^[8]

Матричные произведения, расширяющие свертки Дирихле и обращения Дирихле

Во-первых, учитывая любые два неидентично нулевых арифметические функции ж и грамм, мы можем предоставить явные матричные представления, которые кодируют их Свертка Дирихле в строках, индексированных натуральными числами ${displaystyle ngeq 1,1leq nleq x}$:

${displaystyle D_ {f, g} (x): = left [M_ {d} (n) f (d) g (n / d) ight] _ {1leq d, nleq x} = {egin {bmatrix} 0 & 0 & cdots & 0 & g (x) 0 & 0 & cdots & g (x-1) & g (x) ldots & ldots & ddots & ddots & cdots g (1) & g (2) & cdots & g (x-1) & g (x) end {bmatrix}} {egin {bmatrix } 0 & 0 & cdots & 0 & f (1) 0 & 0 & cdots & f (2) & f (1) ldots & ldots & ddots & ddots & cdots f (x) & f (x-1) & cdots & f (2) & f (1) end {bmatrix}} R_ {x } ^ {T}.}$

Затем позволяя ${displaystyle e ^ {T}: = [1,1, ldots, 1]}$ обозначим вектор всех единиц, легко видеть, что ${displaystyle n ^ {th}}$ строка матрично-векторного произведения ${displaystyle e ^ {T} cdot D_ {f, g} (x)}$ дает свернутые суммы Дирихле

${displaystyle (fast g) (n) = sum _ {d | n} f (d) g (n / d),}$

для всех ${displaystyle 1leq nleq x}$ где верхний индекс ${displaystyle xgeq 2}$ произвольно.

Одна задача, которая особенно обременительна для произвольной функции ж заключается в определении его Обратный Дирихле точно, не прибегая к стандартному рекурсивному определению этой функции через еще одну свернутую сумму делителей, включающую ту же функцию ж с недоопределенной обратной величиной, которую необходимо определить:

${displaystyle f ^ {- 1} (n) = {frac {-1} {f (1)}} mathop {sum _ {d, mid, n}} _ {d 1 {ext {where}} f ^ {- 1} (1): = 1 / f (1).}$

Понятно, что в целом Обратный Дирихле ${displaystyle f ^ {- 1} (n)}$ за ж, т.е. однозначно определенная арифметическая функция такая, что ${displaystyle (f ^ {- 1} ast f) (n) = delta _ {n, 1}}$, включает в себя суммы вложенных сумм делителей глубины от единицы до ${displaystyle omega (n)}$ где эта верхняя граница является основная функция омега который подсчитывает количество различных простых факторов п. Как показывает этот пример, мы можем сформулировать альтернативный способ построения значений обратной функции Дирихле через инверсию матриц с нашими вариантами матриц Редхеффера, ${displaystyle R_ {n}}$.

Обобщения форм матриц Редхеффера: суммы НОД и другие матрицы, элементы которых обозначают включение в специальные множества.

Есть несколько часто цитируемых статей из достойных журналов, которые борются за расширение теоретико-числовых сумм делителей, сверток и рядов Дирихле (и это лишь некоторые из них) с помощью матричных представлений. Помимо нетривиальных оценок соответствующего спектра и собственных подпространств, связанных с действительно заметными и важными приложениями этих представлений, основной механизм представления сумм этих форм матричными произведениями заключается в эффективном определении так называемого так называемого маскирующая матрица чьи однозначные элементы обозначают включение в возрастающую последовательность множеств натуральных чисел ${displaystyle {1,2, ldots, n}}$. Чтобы проиллюстрировать, что предыдущий кусок жаргона имеет смысл при настройке системы на основе матрицы для представления широкого диапазона специальных суммирований, рассмотрим следующую конструкцию: Пусть ${displaystyle {mathcal {A}} _ {n} substeq [1, n] cap mathbb {Z}}$ последовательность наборов индексов, и для любого фиксированного арифметическая функция ${displaystyle f: mathbb {N} longrightarrow mathbb {C}}$ определить суммы

${displaystyle S _ {{mathcal {A}}, f} (n) mapsto S_ {f} (n): = sum _ {kin {mathcal {A}} _ {n}} f (k).}$

Один из классов сумм, рассмотренных Мусави и Шмидтом (2017), определяет суммы относительно простых делителей, устанавливая индексные множества в последнем определении равными

${displaystyle {mathcal {A}} _ {n} mapsto {mathcal {G}} _ {n}: = {1leq dleq n: gcd (d, n) = 1}.}$

Этот класс сумм можно использовать для выражения важных специальных арифметических функций, представляющих теоретический интерес, включая Функция фи Эйлера (где классически мы определяем ${displaystyle m: = 0}$) в качестве

${displaystyle varphi (n) = sum _ {din {mathcal {G}} _ {n}} d ^ {m},}$

и даже Функция Мебиуса через его представление в виде дискретного (конечного) преобразования Фурье:

${displaystyle mu (n) = sum _ {stackrel {1leq kleq n} {gcd (k ,, n) = 1}} e ^ {2pi i {frac {k} {n}}}.}$

Ссылки в полном тексте статьи содержат другие примеры этого класса сумм, включая приложения для циклотомические многочлены (и их логарифмы). В упомянутой статье Мусави и Шмидта (2017) разрабатывается метод разложения этих сумм, аналогичный теореме факторизации, который является аналогом результатов факторизации ряда Ламберта, приведенных в предыдущем разделе. Соответствующие матрицы и их обратные для этого определения индексных множеств ${displaystyle {mathcal {A}} _ {n}}$ то позвольте нам выполнить аналог Инверсия Мебиуса для сумм делителей, которые могут быть использованы для выражения слагаемых функций ж в виде квазисвернутой суммы по элементам обратной матрицы и левым специальным функциям, таким как ${displaystyle varphi (n)}$ или же ${displaystyle mu (n)}$ указано в последней паре примеров. Эти обратные матрицы обладают множеством любопытных свойств (и в настоящее время отсутствует хорошая справочная информация, объединяющая сводку всех из них), которые лучше всего оценить и передать новым читателям путем изучения. Имея это в виду, рассмотрим случай верхнего индекса ${displaystyle x: = 21}$ и соответствующие матрицы, определенные для этого случая, следующие:

${Displaystyle левый ({Egin {smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 конец {smallmatrix}} ight) ^ {- 1} = left ({egin {smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 3 & 0 & -2 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -3 & 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 -3 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 3 & 0 & -2 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 &} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 &}$

Примеры обратимых матриц, которые определяют другие специальные суммы с нестандартными, однако ясные приложения должны быть каталогизированы и перечислены в этом разделе обобщений для полноты. Существующее резюме инверсионные отношения, и, в частности, точные критерии, при которых суммы этих форм могут быть обращены и связаны, можно найти во многих ссылках на ортогональные многочлены. Другие хорошие примеры этого типа факторизации для инвертирования отношений между суммами достаточно обратимый, или достаточно хорошо себя ведет треугольные наборы весовых коэффициентов включают Формула обращения Мебиуса, то биномиальное преобразование, а Преобразование Стирлинга, среди прочего.

Рекомендации

• Редхеффер, Рэй (1977), "Eine Expizit lösbare Optimierungsaufgabe", Numerische Methoden bei Optimierungsaufgaben, Band 3 (Tagung, Math. Forschungsinst., Oberwolfach, 1976), Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 213–216, МИСТЕР  0468170
• В. Барретт и Т. Джарвис (1992). «Спектральные свойства матрицы Редхеффера». Линейная алгебра и ее приложения: 673–683.
• Кардон, Дэвид А. (2010). «Матрицы, относящиеся к рядам Дирихле» (PDF). Журнал теории чисел: 27–39. arXiv:0809.0076. Bibcode:2008arXiv0809.0076C. Получено 12 декабря 2018.}}

Внешние ссылки и цитаты на связанные работы

• Вайсштейн, Эрик В. «Матрица Редхеффера». MathWorld.
• Кардинал, Жан-Поль. «Симметричные матрицы, связанные с функцией Мертенса». Получено 12 декабря 2018.
• Клайн, Джеффри (2020). «О собственной структуре разреженных матриц, связанных с теоремой о простых числах». Линейная алгебра и ее приложения. 584: 409–430. Дои:10.1016 / j.laa.2019.09.022.