Матрица Безу - Bézout matrix

В математика, а Матрица Безу (или же Безутиан или же Bezoutiant) особый квадратная матрица связаны с двумя многочлены, представлен Джеймс Джозеф Сильвестр (1853 ) и Артур Кэли (1857 ) и назван в честь Этьен Безу. Безутиан может также относиться к детерминант этой матрицы, которая равна результирующий двух полиномов. Матрицы Безу иногда используются для проверки стабильность заданного многочлена.

Определение

Позволять ${ displaystyle f (z)}$ и ${ displaystyle g (z)}$ - два комплексных многочлена степени не выше п,

{ Displaystyle е (г) = сумма _ {я = 0} ^ {п} и_ {я} г ^ {я}, четырехъядерный четырехъядерный г (г) = сумма _ {я = 0} ^ {п } v_ {i} z ^ {i}.}

(Обратите внимание, что любой коэффициент ${ displaystyle u_ {i}}$ или же ${ displaystyle v_ {i}}$ может быть нулевым.) Матрица Безу порядка п связанные с полиномами ж и грамм является

{ Displaystyle B_ {n} (f, g) = left (b_ {ij} right) _ {i, j = 0, dots, n-1}}

где записи ${ displaystyle b_ {ij}}$ результат идентичности

{ displaystyle { frac {f (x) g (y) -f (y) g (x)} {xy}} = sum _ {i, j = 0} ^ {n-1} b_ {ij} , x ^ {i} , y ^ {j}.}

Он находится в ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {п раз п}}$ и элементы этой матрицы таковы, что если мы позволим ${ displaystyle m_ {ij} = min {i, n-1-j }}$ для каждого ${ displaystyle i, j = 0, dots, n-1}$ , тогда:

{ displaystyle b_ {ij} = sum _ {k = 0} ^ {m_ {ij}} (u_ {j + k + 1} v_ {ik} -u_ {ik} v_ {j + k + 1}) .}

Каждой матрице Безу можно сопоставить следующие билинейная форма, называемый Безутианом:

{ displaystyle operatorname {Bez}: mathbb {C} ^ {n} times mathbb {C} ^ {n} to mathbb {C}: (x, y) mapsto operatorname {Bez} ( x, y) = x ^ {*} B_ {n} (f, g) y.}

Примеры

За п = 3, для любых многочленов ж и грамм степени (не выше) 3:

{ displaystyle B_ {3} (f, g) = left [{ begin {matrix} u_ {1} v_ {0} -u_ {0} v_ {1} & u_ {2} v_ {0} -u_ { 0} v_ {2} & u_ {3} v_ {0} -u_ {0} v_ {3} u_ {2} v_ {0} -u_ {0} v_ {2} & u_ {2} v_ {1} -u_ {1} v_ {2} + u_ {3} v_ {0} -u_ {0} v_ {3} & u_ {3} v_ {1} -u_ {1} v_ {3} u_ {3} v_ {0} -u_ {0} v_ {3} & u_ {3} v_ {1} -u_ {1} v_ {3} & u_ {3} v_ {2} -u_ {2} v_ {3} end { матрица}} right].}

Позволять ${ displaystyle f (x) = 3x ^ {3} -x}$ и ${ Displaystyle г (х) = 5x ^ {2} +1}$ - два полинома. Потом:

{ displaystyle B_ {4} (f, g) = left [{ begin {matrix} -1 & 0 & 3 & 0 0 & 8 & 0 & 0 3 & 0 & 15 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {matrix}} right].}

Последняя строка и столбец все равны нулю, поскольку ж и грамм иметь степень строго меньше чем п (равно 4). Остальные нулевые записи связаны с тем, что для каждого ${ Displaystyle я = 0, точки, п}$ , либо ${ displaystyle u_ {i}}$ или же ${ displaystyle v_ {i}}$ равно нулю.

Характеристики

${ Displaystyle B_ {п} (е, г)}$ симметрична (как матрица);
${ displaystyle B_ {n} (е, g) = - B_ {n} (g, f)}$ ;
${ Displaystyle B_ {n} (е, е) = 0}$ ;
${ Displaystyle B_ {п} (е, г)}$ является билинейный в (ж,грамм);
${ Displaystyle В_ {п} (е, г)}$ в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п раз п}}$ если ж и грамм иметь реальные коэффициенты;
${ Displaystyle B_ {п} (е, г)}$ неособен с ${ Displaystyle п = макс ( градус (е), градус (г))}$ если и только если ж и грамм не имеют общих корней.
${ Displaystyle B_ {п} (е, г)}$ с ${ Displaystyle п = макс ( град (е), град (г))}$ имеет детерминант какой результирующий из ж и грамм.

Приложения

Важное применение матриц Безу можно найти в теория управления. Чтобы увидеть это, позвольте ж(z) - комплексный многочлен степени п и обозначим через q и п действительные многочлены такие, что ж(яу) = q(у) + яп(у) (куда у реально). Мы также отмечаем р для звания и σ за подпись ${ displaystyle B_ {n} (p, q)}$ . Тогда у нас есть следующие утверждения:

ж(z) имеет п − р корни общие со своим сопряженным;
слева р корни ж(z) расположены таким образом, что:
- (р + σ) / 2 из них лежат в открытой левой полуплоскости, а
- (р − σ) / 2 лежат в открытой правой полуплоскости;
ж является Конюшня Гурвица если и только если ${ displaystyle B_ {n} (p, q)}$ является положительно определенный.

Третье утверждение дает необходимое и достаточное условие устойчивости. Кроме того, первое утверждение имеет некоторое сходство с результатом, касающимся Матрицы Сильвестра а второй может быть связан с Теорема Рауса – Гурвица.

Матрица Безу - Bézout matrix

Содержание

Определение

Примеры

Характеристики

Приложения

Рекомендации