Расширенная матрица - Augmented matrix

В линейная алгебра, расширенная матрица это матрица получается путем добавления столбцов двух заданных матриц, обычно с целью выполнения того же элементарные операции со строками на каждой из данных матриц.

Учитывая матрицы А и B,куда

${displaystyle A = {egin {bmatrix} 1 & 3 & 2 2 & 0 & 1 5 & 2 & 2end {bmatrix}}, quad B = {egin {bmatrix} 4 3 1end {bmatrix}},}$

расширенная матрица (А|B) записывается как

${displaystyle (A | B) = left [{egin {array} {ccc | c} 1 & 3 & 2 & 4 2 & 0 & 1 & 3 5 & 2 & 2 & 1end {array}} ight].}$

Это полезно при решении системы линейных уравнений.

При заданном количестве неизвестных количество решений системы линейных уравнений зависит только от классифицировать матрицы, представляющей систему, и ранг соответствующей расширенной матрицы. В частности, согласно Руш R 鈥 揅 теорема апелли, любая система линейных уравнений непоследовательный (не имеет решений), если классифицировать расширенной матрицы больше, чем ранг матрицы матрица коэффициентов; если, с другой стороны, ранги этих двух матриц равны, система должна иметь хотя бы одно решение. Решение уникально тогда и только тогда, когда ранг равен количеству переменных. В противном случае общее решение будет иметь k свободные параметры где k - разница между количеством переменных и рангом; следовательно, в таком случае решений бесконечно много.

Расширенная матрица также может использоваться для нахождения обратной матрицы путем объединения ее с единичная матрица.

Чтобы найти обратную матрицу

Позволять C - квадратная матрица 2 脳 2

${displaystyle C = {egin {bmatrix} 1 & 3 -5 & 0end {bmatrix}}.}$

Чтобы найти обратное C, мы создаем (C|я) где I - 2 脳 2 единичная матрица. Затем уменьшаем часть (C|я) соответствующий C в единичную матрицу, используя только элементарные операции со строками на (C|я).

${displaystyle (C | I) = left [{egin {array} {cc | cc} 1 & 3 & 1 & 0 -5 & 0 & 0 & 1end {array}} ight]}$

${displaystyle (I | C ^ {- 1}) = left [{egin {array} {cc | cc} 1 & 0 & 0 & - {frac {1} {5}} 0 & 1 & {frac {1} {3}} & {frac {1} {15}} конец {массив}} ight]}$,

правая часть которой является обратной по отношению к исходной матрице.

Наличие и количество решений

Рассмотрим систему уравнений

${displaystyle {egin {выравнивается} x + y + 2z & = 2 x + y + z & = 3 2x + 2y + 2z & = 6.end {выравнивается}}}$

Матрица коэффициентов:

${displaystyle A = {egin {bmatrix} 1 & 1 & 2 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 end {bmatrix}},}$

а расширенная матрица

${displaystyle (A | B) = left [{egin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 2 & 2 1 & 1 & 1 & 3 2 & 2 & 2 & 6end {array}} полет].}$

Поскольку оба они имеют одинаковый ранг, а именно 2, существует по крайней мере одно решение; и поскольку их ранг меньше, чем количество неизвестных, последнее равно 3, существует бесконечное количество решений.

Напротив, рассмотрим систему

${displaystyle {начало {выровнено} x + y + 2z & = 3 x + y + z & = 1 2x + 2y + 2z & = 5.end {выровнено}}}$

Матрица коэффициентов:

${displaystyle A = {egin {bmatrix} 1 & 1 & 2 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 end {bmatrix}},}$

а расширенная матрица

${displaystyle (A | B) = left [{egin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 2 & 3 1 & 1 & 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 & 5end {array}} полет].}$

В этом примере матрица коэффициентов имеет ранг 2, а расширенная матрица - ранг 3; так что эта система уравнений не имеет решения. Действительно, увеличение числа линейно независимых строк привело к тому, что система уравнений непоследовательный.

Решение линейной системы

В линейной алгебре расширенная матрица используется для представления коэффициенты и вектор решения каждой системы уравнений. Для системы уравнений

${displaystyle {egin {выравнивается} x + 2y + 3z & = 0 3x + 4y + 7z & = 2 6x + 5y + 9z & = 11end {выравнивается}}}$

коэффициенты и постоянные члены дают матрицы

${displaystyle A = {egin {bmatrix} 1 & 2 & 3 3 & 4 & 7 6 & 5 & 9end {bmatrix}}, quad B = {egin {bmatrix} 0 2 11end {bmatrix}},}$

и, следовательно, дадим расширенную матрицу

${displaystyle (A | B) = left [{egin {array} {ccc | c} 1 & 2 & 3 & 0 3 & 4 & 7 & 2 6 & 5 & 9 & 11end {array}} ight]}$.

Обратите внимание, что ранг матрицы коэффициентов, равный 3, равен рангу расширенной матрицы, поэтому существует по крайней мере одно решение; и поскольку этот ранг равен количеству неизвестных, существует ровно одно решение.

Чтобы получить решение, операции со строками могут быть выполнены на расширенной матрице, чтобы получить единичную матрицу с левой стороны, в результате чего

${displaystyle left [{egin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 4 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -2 end {array}} ight],}$

так что решение системы (Икс, у, z) = (4, 1, -2).

Рекомендации

• Марвин Маркус и Хенрик Минк, Обзор теории матриц и матричных неравенств, Dover Publications, 1992, ISBN  0-486-67102-X. Стр.31.