Персимметричная матрица - Persymmetric matrix

В математика, персимметричная матрица может относиться к:

1. а квадратная матрица который симметричен относительно диагонали с северо-востока на юго-запад; или
2. квадратная матрица такая, что значения на каждой линии, перпендикулярной главной диагонали, одинаковы для данной линии.

Первое определение является наиболее распространенным в недавней литературе. Обозначение "Матрица Ганкеля "часто используется для матриц, удовлетворяющих свойству во втором определении.

Определение 1

Картина симметрии персимметричной матрицы 5 Â 5

Позволять А = (а_ij) быть п × п матрица. Первое определение персимметричный требует, чтобы

${displaystyle a_ {ij} = a_ {n-j + 1, n-i + 1}}$ для всех я, j.^[1]

Например, персимметричные матрицы 5 на 5 имеют вид

${displaystyle A = {egin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} & a_ {15} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} & a_ {14} a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} & a_ {23} & a_ {13} a_ {41} & a_ {42} & a_ {32} & a_ {22} & a_ {12} a_ {51} & a_ {41 } & a_ {31} & a_ {21} & a_ {11} end {bmatrix}}.}$

Это может быть эквивалентно выражено как AJ = JA^Т где J это матрица обмена.

А симметричная матрица - матрица, значения которой симметричны по диагонали с северо-запада на юго-восток. Если симметричную матрицу повернуть на 90 °, она становится персимметричной матрицей. Симметричные персимметричные матрицы иногда называют бисимметричные матрицы.

Определение 2

Второе определение связано с Томас Мьюир.^[2] Он говорит, что квадратная матрица А = (а_ij) персимметричен, если а_ij зависит только от я + j. Персимметричные матрицы в этом смысле, или матрицы Ганкеля, как их часто называют, имеют вид

${displaystyle A = {egin {bmatrix} r_ {1} & r_ {2} & r_ {3} & cdots & r_ {n} r_ {2} & r_ {3} & r_ {4} & cdots & r_ {n + 1} r_ {3 } & r_ {4} & r_ {5} & cdots & r_ {n + 2} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots r_ {n} & r_ {n + 1} & r_ {n + 2} & cdots & r_ {2n-1} end {bmatrix} }.}$

А персимметричный детерминант это детерминант персимметричной матрицы.^[2]

Матрица, для которой значения на каждой строке, параллельной главной диагонали, постоянны, называется Матрица Теплица.

Смотрите также

• Центросимметричная матрица

использованная литература