Инволютивная матрица - Involutory matrix

В математика, инволютивная матрица это матрица это его собственная обратная сторона. То есть умножение на матрицу А является инволюция если и только если А² = я. Все инволютивные матрицы квадратные корни из единичная матрица. Это просто следствие того, что любой невырожденная матрица умноженное на обратное - тождество.^[1]

Примеры

Действительная матрица 2 × 2 ${displaystyle {egin {pmatrix} a & b c & -aend {pmatrix}}}$ инволютивно при условии, что ${displaystyle a ^ {2} + bc = 1.}$^[2]

В Матрицы Паули в M (2, C) инволютивны:

${displaystyle {egin {align} sigma _ {1} = sigma _ {x} & = {egin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0end {pmatrix}} sigma _ {2} = sigma _ {y} & = {egin {pmatrix } 0 & -i i & 0end {pmatrix}} sigma _ {3} = sigma _ {z} & = {egin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1end {pmatrix}} ,. end {выровнено}}}$

Один из трех классов элементарная матрица инволютивно, а именно элементарная матрица с перестановкой строк. Частный случай другого класса элементарных матриц, который представляет собой умножение строки или столбца на -1, также является инволютивным; на самом деле это тривиальный пример матрица подписи, все из которых инволютивны.

Ниже приведены некоторые простые примеры инволютивных матриц.

${displaystyle {egin {array} {cc} mathbf {I} = {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1end {pmatrix}}; & mathbf {I} ^ {- 1} = {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1end {pmatrix}} mathbf {R} = {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0end {pmatrix}}; & mathbf {R} ^ {- 1} = {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0end {pmatrix} mathbf {S} = {egin {pmatrix} + 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1end {pmatrix}}; & mathbf {S} ^ {- 1} = {egin {pmatrix} + 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1end {pmatrix}} end {array}}}$

куда

я это единичная матрица (что тривиально инволютивно);

р - единичная матрица с парой переставленных строк;

S это матрица подписи.

Любой блочно-диагональные матрицы построенные из инволютивных матриц, также будут инволютивными, как следствие линейной независимости блоков.

Симметрия

Инволютивная матрица, которая также симметричный является ортогональная матрица, и, таким образом, представляет собой изометрия (линейное преобразование, сохраняющее Евклидово расстояние ). Наоборот, каждая ортогональная инволютивная матрица симметрична.^[3]Как частный случай этого, каждый матрица отражения инволютивно.

Характеристики

В детерминант инволютивной матрицы над любым полем равна ± 1.^[4]

Если А является п × п матрица, тогда А инволютивно тогда и только тогда, когда ½ (А + я) является идемпотент. Это соотношение дает биекция между инволютивными матрицами и идемпотентными матрицами.^[4]

Если А - инволютивная матрица в M (п, ℝ), а матричная алгебра над действительные числа, то подалгебра {Икс я + у А: х, у ∈ ℝ} создано А изоморфен разделенные комплексные числа.

Если А и B две инволютивные матрицы, которые коммутируют друг с другом, то AB тоже инволютивен.

Если А является инволютивной матрицей, то каждая целая степень А инволютивно. Фактически, А^п будет равно А если п это странно и я если п даже.

Смотрите также

• Аффинная инволюция

Рекомендации