Квадратный корень из матрицы - Википедия - Square root of a matrix

В математика, то квадратный корень из матрицы расширяет понятие квадратный корень от цифр до матрицы. Матрица $B$ называется квадратным корнем из $А$ если матричный продукт $B$ $B$ равно $А$ .^[1]

Некоторые авторы используют имя квадратный корень или обозначение $А$ ^½ только для конкретного случая, когда $А$ является положительно полуопределенный, для обозначения единственной матрицы $B$ положительно полуопределенный и такой, что $B$ $B$ = $B$ ^Т $B$ = $А$ (для вещественных матриц, где $B$ ^Т это транспонировать из $B$ ).

Реже имя квадратный корень может использоваться для любой факторизации положительно полуопределенной матрицы $А$ в качестве $B$ ^Т $B$ = $А$ ,как в Факторизация Холецкого, даже если $B$ $B$ ≠ $А$ . Это особое значение обсуждается в Положительно определенная матрица # Разложение.

Примеры

Как правило, матрица может иметь несколько квадратных корней. В частности, если ${ displaystyle A = B ^ {2}}$ тогда ${ Displaystyle А = (- В) ^ {2}}$ также.

2 × 2 единичная матрица ${ displaystyle left ({ begin {smallmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {smallmatrix}} right)}$ имеет бесконечно много квадратных корней. Они даны

{ displaystyle { begin {pmatrix} pm 1 & 0 0 & pm 1 end {pmatrix}}}

и

{ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & -a end {pmatrix}}}

куда ${ Displaystyle (а, б, в)}$ любые числа (действительные или комплексные) такие, что ${ displaystyle a ^ {2} + bc = 1}$ . В частности, если ${ Displaystyle (а, б, т)}$ есть ли Пифагорейская тройка - то есть любой набор натуральных чисел такой, что ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = t ^ {2}}$ , тогда ${ displaystyle { frac {1} {t}} left ({ begin {smallmatrix} a & b b & -a end {smallmatrix}} right)}$ матрица квадратного корня из ${ displaystyle I}$ которая симметрична и имеет рациональные элементы.^[2]Таким образом

{ displaystyle left ({ begin {smallmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {smallmatrix}} right) = left ({ begin {smallmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {smallmatrix}} right) ^ { 2} = left ({ begin {smallmatrix} { frac {4} {5}} & { frac {3} {5}} { frac {3} {5}} & - { frac {4} {5}} end {smallmatrix}} right) ^ {2}}

.

Минус идентичность имеет квадратный корень, например:

{ displaystyle - left ({ begin {smallmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {smallmatrix}} right) = left ({ begin {smallmatrix} 0 & -1 1 & 0 end {smallmatrix}} right ) ^ {2}}

,

который можно использовать для представления мнимая единица $я$ и, следовательно, все сложные числа используя вещественные матрицы 2 × 2, см. Матричное представление комплексных чисел.

Как и в случае с действительные числа, реальная матрица может не иметь действительного квадратного корня, но иметь квадратный корень с сложный -значные записи. некоторые матрицы имеют нет квадратного корня. Примером может служить матрица ${ displaystyle left ({ begin {smallmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {smallmatrix}} right)}$ .

В то время как квадратный корень неотрицательного целое число либо снова целое число, либо иррациональный номер, в отличие от целочисленная матрица может иметь квадратный корень, элементы которого рациональны, но не целочислены, как в примерах выше.

Положительные полуопределенные матрицы

Симметричный реальный п × п матрица называется положительно полуопределенный если ${ displaystyle x ^ { textf {T}} Ax geq 0}$ для всех ${ Displaystyle х в mathbb {R} ^ {п}}$ (здесь ${ Displaystyle х ^ { extf {T}}}$ обозначает транспонировать, изменяя вектор-столбец $Икс$ в вектор-строку). Квадратная вещественная матрица положительно полуопределенная тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle А = В ^ { extf {T}} B}$ для какой-то матрицы $B$ Таких матриц может быть много. $B$ .Положительная полуопределенная матрица $А$ также может иметь много матриц $B$ такой, что ${ displaystyle A = BB}$ .Тем не мение, $А$ всегда имеет ровно один квадратный корень $B$ что положительно полуопределено (и, следовательно, симметрично). В частности, поскольку $B$ должен быть симметричным, ${ Displaystyle В = В ^ { extf {T}}}$ , поэтому два условия ${ displaystyle A = BB}$ или же ${ Displaystyle А = В ^ { extf {T}} B}$ эквивалентны.

Для комплексных матриц сопряженный транспонировать ${ displaystyle B ^ {*}}$ вместо этого используется, а положительные полуопределенные матрицы Эрмитский, смысл ${ displaystyle B ^ {*} = B}$ .

Теорема^[3] — Позволять $А$ - положительная полуопределенная матрица (вещественная или комплексная). Тогда существует ровно одна положительно полуопределенная матрица $B$ такой, что ${ displaystyle A = B ^ {*} B}$ .

Эта уникальная матрица называется главный, неотрицательный, или же положительный квадратный корень (последнее в случае положительно определенные матрицы ).

Главный квадратный корень вещественной положительно полуопределенной матрицы вещественен.^[3]Главный квадратный корень положительно определенной матрицы положительно определен; в более общем смысле, ранг главного квадратного корня из $А$ такой же, как ранг $А$ .^[3]

Операция извлечения главного квадратного корня непрерывна на этом наборе матриц.^[4] Эти свойства являются следствием голоморфное функциональное исчисление применяется к матрицам.^[5]^[6]Существование и единственность главного квадратного корня можно вывести непосредственно из Нормальная форма Джордана (Смотри ниже).

Матрицы с различными собственными значениями

An $п \times п$ матрица с $п$ различные ненулевые собственные значения имеет 2^п квадратные корни. Такая матрица, $А$ , имеет собственное разложение $ВДВ -1$ куда $V$ - матрица, столбцы которой являются собственными векторами $А$ и $D$ - диагональная матрица, диагональными элементами которой являются соответствующие $п$ собственные значения $λ я$ . Таким образом, квадратные корни из $А$ даны $VD ½ V -1$ , куда $D$ ^½ любая матрица квадратного корня из $D$ , которые для различных собственных значений должны быть диагональными с диагональными элементами, равными квадратным корням из диагональных элементов $D$ ; поскольку есть два возможных варианта извлечения квадратного корня из каждого диагонального элемента $D$ , есть 2^п варианты для матрицы $D$ ^½.

Это также приводит к доказательству вышеупомянутого наблюдения, что положительно определенная матрица имеет ровно один положительно определенный квадратный корень: положительно определенная матрица имеет только положительные собственные значения, и каждое из этих собственных значений имеет только один положительный квадратный корень; и поскольку собственные значения матрицы квадратного корня являются диагональными элементами $D$ ^½, чтобы матрица квадратного корня была положительно определенной, необходимо использовать только уникальные положительные квадратные корни из исходных собственных значений.

Решения в закрытом виде

Если матрица идемпотент, смысл ${ displaystyle A ^ {2} = A}$ , то по определению одним из его квадратных корней является сама матрица.

Диагональные и треугольные матрицы

Если $D$ это диагональ п × п матрица ${ displaystyle D = operatorname {diag} ( lambda _ {1}, dots, lambda _ {n})}$ , то некоторые из его квадратных корней являются диагональными матрицами ${ displaystyle operatorname {diag} ( mu _ {1}, dots, mu _ {n})}$ , куда ${ displaystyle mu _ {я} = pm { sqrt { lambda _ {i}}}}$ .Если диагональные элементы $D$ действительны и неотрицательны, то она положительно полуопределенная, и если квадратные корни взяты с неотрицательным знаком, результирующая матрица является главным корнем из $D$ . Диагональная матрица может иметь дополнительные недиагональные корни, если некоторые элементы на диагонали равны, как показано выше на единичной матрице.

Если $U$ является верхнетреугольная матрица (это означает, что его записи ${ displaystyle u_ {я, j} = 0}$ за ${ displaystyle i> j}$ ) и предположим, что не более одного из его диагональных элементов равно нулю. Тогда одно верхнетреугольное решение уравнения ${ displaystyle B ^ {2} = U}$ можно найти следующим образом. Поскольку уравнение ${ Displaystyle и_ {я, я} = Ь_ {я, я} ^ {2}}$ должен быть доволен, пусть ${ displaystyle b_ {я, я}}$ быть главный квадратный корень комплексного числа ${ Displaystyle и_ {я, я}}$ .По предположению ${ Displaystyle и_ {я, я} neq 0}$ , это гарантирует, что ${ displaystyle b_ {i, i} + b_ {j, j} neq 0}$ для всех $я, j$ (потому что все главные квадратные корни комплексных чисел лежат на одной половине комплексной плоскости).

{ displaystyle u_ {i, j} = b_ {i, i} b_ {i, j} + b_ {i, i + 1} b_ {i + 1, j} + b_ {i, i + 2} b_ { я + 2, j} + точки + b_ {i, j} b_ {j, j}}

мы делаем вывод, что ${ displaystyle b_ {i, j}}$ можно вычислить рекурсивно для ${ displaystyle j-i}$ увеличивается с 1 до п в качестве:

{ displaystyle b_ {i, j} = { frac {1} {b_ {i, i} + b_ {j, j}}} left (u_ {i, j} -b_ {i, i + 1} b_ {i + 1, j} -b_ {i, i + 2} b_ {i + 2, j} - dots -b_ {i, j-1} b_ {j-1, j} right).}

Если $U$ является верхним треугольником, но имеет несколько нулей на диагонали, то квадратный корень может не существовать, как показано на примере ${ displaystyle left ({ begin {smallmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {smallmatrix}} right)}$ .Обратите внимание, что диагональные элементы треугольной матрицы - это в точности ее собственные значения (видеть Треугольная матрица # Свойства ).

По диагонализации

An п × п матрица $А$ является диагонализуемый если есть матрица $V$ и диагональная матрица $D$ такой, что $А = ВДВ -1$ . Это происходит тогда и только тогда, когда $А$ имеет п собственные векторы которые составляют основу $C п$ . В этом случае, $V$ можно выбрать в качестве матрицы с п собственные векторы как столбцы, и, следовательно, квадратный корень из $А$ является

{ Displaystyle R = VSV ^ {- 1} ~,}

куда $S$ любой квадратный корень из $D$ . В самом деле,

{ displaystyle left (VD ^ { frac {1} {2}} V ^ {- 1} right) ^ {2} = VD ^ { frac {1} {2}} left (V ^ { -1} V right) D ^ { frac {1} {2}} V ^ {- 1} = VDV ^ {- 1} = A ~.}

Например, матрица ${ displaystyle A = left ({ begin {smallmatrix} 33 и 24 48 и 57 end {smallmatrix}} right)}$ можно диагонализовать как $ВДВ -1$ , куда

{ displaystyle V = { begin {pmatrix} 1 & 1 2 & -1 end {pmatrix}}}

и

{ displaystyle D = { begin {pmatrix} 81 & 0 0 & 9 end {pmatrix}}}

.

$D$ имеет главный квадратный корень

{ displaystyle D ^ { frac {1} {2}} = { begin {pmatrix} 9 & 0 0 & 3 end {pmatrix}}}

,

давая квадратный корень

{ displaystyle A ^ { frac {1} {2}} = VD ^ { frac {1} {2}} V ^ {- 1} = { begin {pmatrix} 5 & 2 4 & 7 end {pmatrix} }}

.

Когда $А$ симметрична, диагонализирующая матрица $V$ можно сделать ортогональная матрица соответствующим выбором собственных векторов (см. спектральная теорема ). Тогда обратное $V$ это просто транспонирование, так что

{ Displaystyle R = VSV ^ { extf {T}} ~.}

По разложению Шура

Каждая комплексная квадратная матрица ${ displaystyle A}$ , независимо от диагонализуемости, имеет Разложение Шура данный ${ displaystyle A = QUQ ^ {*}}$ куда ${ displaystyle U}$ верхний треугольник и ${ displaystyle Q}$ является унитарный (смысл ${ Displaystyle Q ^ {*} = Q ^ {- 1}}$ ). собственные значения из ${ displaystyle A}$ точно диагональные записи ${ displaystyle U}$ ; если не более одного из них равно нулю, то следующий квадратный корень^[7]

{ displaystyle A ^ { frac {1} {2}} = QU ^ { frac {1} {2}} Q ^ {*}}

.

где квадратный корень ${ displaystyle U ^ { frac {1} {2}}}$ верхней треугольной матрицы ${ displaystyle U}$ можно найти, как описано выше.

Если ${ displaystyle A}$ положительно определен, то все собственные значения являются положительными действительными числами, поэтому выбранная диагональ ${ displaystyle U ^ { frac {1} {2}}}$ также состоит из положительных действительных чисел, следовательно, собственные значения ${ displaystyle QU ^ { frac {1} {2}} Q ^ {*}}$ положительные числа, что означает, что полученная матрица является главным корнем ${ displaystyle A}$ .

По разложению Жордана

Аналогично разложению Шура каждая квадратная матрица ${ displaystyle A}$ можно разложить как ${ displaystyle A = P ^ {- 1} JP}$ куда $п$ является обратимый и $J$ в Нормальная форма Джордана.

Чтобы увидеть, что любая комплексная матрица с положительными собственными значениями имеет квадратный корень той же формы, достаточно проверить это для жордановой клетки. Любой такой блок имеет вид λ (я + N) с λ> 0 и N нильпотентный. Если $(1 + z) 1/2 = 1 + а 1 z + а 2 z 2 + \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$ является биномиальным разложением квадратного корня (действительно в |z| <1), то как формальный степенной ряд его квадрат равен 1 + z. Подстановка N за z, только конечное число членов будет отличным от нуля и $S = \sqrtλ (я + а 1 N + а 2 N 2 + \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot)$ дает квадратный корень из жордановой клетки с собственным значением $\sqrtλ$ .

Достаточно проверить единственность для жордановой клетки с λ = 1. Построенный выше квадрат имеет вид S = я + L куда L полиномиален от N без постоянного срока. Любой другой квадратный корень Т с положительными собственными значениями имеет вид Т = я + M с $M$ нильпотентный, добирается до N и поэтому L. Но потом $0 = S 2 - Т 2 = 2(L - M)(я + (L + M)/2)$ . С L и $M$ коммутируют, матрица $L + M$ нильпотентен и $я + (L + M)/2$ обратима с обратным, задаваемым Серия Неймана. Следовательно L = $M$ .

Если $А$ - матрица с положительными собственными значениями и минимальный многочлен $п (т)$ , то разложение Жордана на обобщенные собственные подпространства $А$ можно вывести из частичного разложения $п (т) -1$ . Соответствующие проекции на обобщенные собственные подпространства даются действительными многочленами от $А$ . На каждом собственном подпространстве $А$ имеет форму $λ (я + N)$ как указано выше. Выражение степенного ряда для квадратного корня в собственном подпространстве показывает, что главный квадратный корень из $А$ имеет форму q(А) куда q(т) - многочлен с действительными коэффициентами.

Силовая серия

Напомним формальный степенной ряд ${ displaystyle (1-z) ^ {1/2} = 1- sum _ {n = 1} ^ { infty} left | {1/2 select n} right | z ^ {n}}$ , который сходится при условии ${ Displaystyle | г | leq 1}$ (поскольку коэффициенты степенного ряда суммируемы). Подключение ${ displaystyle z = I-A}$ в это выражение дает

{ displaystyle A ^ {1/2}: = I- sum _ {n = 1} ^ { infty} left | {1/2 select n} right | (I-A) ^ {n} ~}

при условии, что ${ displaystyle limsup _ {n} | (I-A) ^ {n} | ^ {1 / n} <1}$ . В силу Формула Гельфанда, это условие эквивалентно требованию, чтобы спектр ${ displaystyle A}$ содержится на диске ${ Displaystyle D (1,1) substeq mathbb {C}}$ . Этот метод определения или вычисления ${ displaystyle A ^ {1/2}}$ особенно полезно в случае, когда ${ displaystyle A}$ положительно полуопределенный. В этом случае мы имеем ${ Displaystyle | I-A / | A | | leq 1}$ и поэтому ${ Displaystyle | (I-A / | A |) ^ {n} | leq | I-A / | A | | ^ {n} leq 1}$ , так что выражение ${ displaystyle | A | ^ {1/2} left (I- sum _ {n = 1} ^ { infty} left | {1/2 select n} right | (IA / | A |) ^ {n} right)}$ определяет квадратный корень из ${ displaystyle A}$ который, кроме того, оказывается единственным положительным полуопределенным корнем. Этот метод остается в силе для определения квадратных корней операторов в бесконечномерных банаховых или гильбертовых пространствах или некоторых элементах (C *) банаховых алгебр.

Итерационные решения

По итерации Денмана – Биверса

Другой способ найти квадратный корень из п × п матрица А итерация квадратного корня Денмана – Биверса.^[8]

Позволять Y₀ = А и Z₀ = я, куда я это п × п единичная матрица. Итерация определяется как

{ displaystyle { begin {align} Y_ {k + 1} & = { frac {1} {2}} left (Y_ {k} + Z_ {k} ^ {- 1} right), Z_ {k + 1} & = { frac {1} {2}} left (Z_ {k} + Y_ {k} ^ {- 1} right). End {align}}}

Поскольку здесь используется пара последовательностей обратных матриц, более поздние элементы которых меняются сравнительно мало, только первые элементы имеют высокие вычислительные затраты, поскольку остаток может быть вычислен из более ранних элементов всего за несколько проходов варианта Метод Ньютона за вычисление обратных,

{ displaystyle X_ {n + 1} = 2X_ {n} -X_ {n} BX_ {n}.}

При этом для более поздних значений $k$ можно было бы установить ${ displaystyle X_ {0} = Z_ {k-1} ^ {- 1}}$ и ${ displaystyle B = Z_ {k},}$ а затем используйте ${ displaystyle Z_ {k} ^ {- 1} = X_ {n}}$ для небольшого n (возможно, всего 1), и аналогично для ${ displaystyle Y_ {k} ^ {- 1}.}$

Сходимость не гарантируется даже для матриц с квадратными корнями, но если процесс сходится, матрица ${ displaystyle Y_ {k}}$ квадратично сходится к квадратному корню $А$ ^1/2, пока ${ displaystyle Z_ {k}}$ сходится к своему обратному, $А$ ^−1/2.

По вавилонскому методу

Еще один итерационный метод получается путем взятия известной формулы Вавилонский метод для вычисления квадратного корня действительного числа и применения его к матрицам. Позволять Икс₀ = я, куда я это единичная матрица. Итерация определяется как

{ displaystyle X_ {k + 1} = { frac {1} {2}} left (X_ {k} + AX_ {k} ^ {- 1} right) ,.}

Опять же, сходимость не гарантируется, но если процесс сходится, матрица ${ displaystyle X_ {k}}$ квадратично сходится к квадратному корню А^1/2. По сравнению с итерацией Денмана – Биверса преимущество вавилонского метода состоит в том, что только один матрица обратная необходимо рассчитывать на шаг итерации. С другой стороны, поскольку итерация Денмана – Биверса использует пару последовательностей обратных матриц, более поздние элементы которых меняются сравнительно мало, только первые элементы имеют высокие вычислительные затраты, так как остаток может быть вычислен из более ранних элементов всего за несколько проходов вариант Метод Ньютона за вычисление обратных (видеть Итерация Денмана – Биверса над); конечно, тот же подход можно использовать для получения единственной последовательности инверсий, необходимой для вавилонского метода. Однако, в отличие от итерации Денмана – Биверса, вавилонский метод численно нестабилен и с большей вероятностью не сойдется.^[1]

Вавилонский метод следует из Метод Ньютона для уравнения ${ displaystyle X ^ {2} -A = 0}$ и используя ${ displaystyle AX_ {k} = X_ {k} A}$ для всех ${ displaystyle k}$ .^[9]

Квадратные корни положительных операторов

В линейная алгебра и теория операторов, учитывая ограниченный положительный полуопределенный оператор (неотрицательный оператор) Т на комплексном гильбертовом пространстве, B квадратный корень из Т если Т = B * B, куда B * обозначает Эрмитово сопряженный из B.^{[нужна цитата ]} Согласно спектральная теорема, то непрерывное функциональное исчисление может применяться для получения оператора Т^½ такой, чтоТ^½ сам по себе положительный и (Т^½)² = Т. Оператор Т^½ это уникальный неотрицательный квадратный корень из Т.^{[нужна цитата ]}

Ограниченный неотрицательный оператор в комплексном гильбертовом пространстве самосопряжен по определению. Так Т = (Т^½)* Т^½. Наоборот, очевидно, что каждый оператор вида B * B неотрицательно. Следовательно, оператор Т неотрицательный если и только если Т = B * B для некоторых B (эквивалентно, Т = CC * для некоторых C).

В Факторизация Холецкого предоставляет еще один частный пример квадратного корня, который не следует путать с уникальным неотрицательным квадратным корнем.

Унитарная свобода квадратных корней

Если Т неотрицательный оператор в конечномерном гильбертовом пространстве, то все квадратные корни из Т связаны унитарными преобразованиями. Точнее, если Т = А * А = B * B, то существует унитарный U такой, что А = UB.

Действительно, возьмите B = Т^½ быть единственным неотрицательным квадратным корнем из Т. Если Т строго положительно, то B обратима, поэтому U = AB⁻¹ унитарен:

{ displaystyle { begin {align} U ^ {*} U & = left ( left (B ^ {*} right) ^ {- 1} A ^ {*} right) left (AB ^ {- 1} right) = left (B ^ {*} right) ^ {- 1} T left (B ^ {- 1} right) & = left (B ^ {*} right) ^ {- 1} B ^ {*} B left (B ^ {- 1} right) = I. End {выравнивается}}}

Если Т неотрицательно, но не строго положительно, то обратное B нельзя определить, но Псевдообратная матрица Мура – Пенроуза B⁺ возможно. В этом случае оператор B⁺А это частичная изометрия, то есть унитарный оператор из диапазона Т себе. Затем это можно расширить до унитарного оператора U на всем пространстве, установив его равным единице на ядре Т. В более общем смысле, это верно для бесконечномерного гильбертова пространства, если, кроме того, Т имеет закрытый диапазон. В общем, если А, B находятся замкнутые и плотно определенные операторы в гильбертовом пространстве ЧАС, и А * А = B * B, тогда A = UB куда U является частичной изометрией.

Некоторые приложения

Квадратные корни и унитарная свобода квадратных корней находят применение в функциональном анализе и линейной алгебре.

Полярное разложение

Если А - обратимый оператор в конечномерном гильбертовом пространстве, то существует единственный унитарный оператор U и положительный оператор п такой, что

{ Displaystyle А = ВВЕРХ; ,}

это полярное разложение А. Положительный оператор п является единственным положительным квадратным корнем из положительного оператора А^∗А, и U определяется U = AP⁻¹.

Если А необратим, то он все еще имеет полярный состав, в котором п определяется таким же образом (и уникально). Унитарный оператор U не уникален. Скорее можно определить «естественный» унитарный оператор следующим образом: AP⁺ является унитарным оператором из диапазона А на себя, которое может быть расширено тождеством на ядре А^∗. Результирующий унитарный оператор U то дает полярное разложение А.

Операторы Крауса

По результату Чоя линейное отображение

{ displaystyle Phi: C ^ {n times n} rightarrow C ^ {m times m}}

полностью положительна тогда и только тогда, когда она имеет вид

{ displaystyle Phi (A) = sum _ {i} ^ {k} V_ {i} AV_ {i} ^ {*}}

куда k ≤ нм. Позволять {E_pq} ⊂ C^{п × п} быть п² элементарные матричные блоки. Положительная матрица

{ Displaystyle M _ { Phi} = left ( Phi left (E_ {pq} right) right) _ {pq} in C ^ {нм раз нм}}

называется Матрица Чоя из Φ. Операторы Крауса соответствуют, не обязательно квадратным, квадратным корням из M_Φ: Для любого квадратного корня B из M_Φ, можно получить семейство операторов Крауса V_я отменив операцию Vec для каждого столбца б_я из B. Таким образом, все наборы операторов Крауса связаны частичными изометриями.

Смешанные ансамбли

В квантовой физике матрица плотности для п-уровневая квантовая система - это п × п комплексная матрица ρ положительно полуопределенный со следом 1. Если ρ можно выразить как

{ displaystyle rho = sum _ {i} p_ {i} v_ {i} v_ {i} ^ {*}}

куда ${ displaystyle p_ {i}> 0}$ и ∑ п_я = 1, множество

{ displaystyle left {p_ {i}, v_ {i} right }}

считается ансамбль что описывает смешанное состояние ρ. Уведомление {v_я} не обязательно должен быть ортогональным. Различные ансамбли, описывающие государство ρ связаны унитарными операторами через квадратные корни из ρ. Например, предположим

{ displaystyle rho = sum _ {j} a_ {j} a_ {j} ^ {*}.}

Условие трассировки 1 означает

{ displaystyle sum _ {j} a_ {j} ^ {*} a_ {j} = 1.}

Позволять

{ displaystyle p_ {i} = a_ {i} ^ {*} a_ {i},}

и v_я быть нормализованным а_я. Мы видим, что

{ displaystyle left {p_ {i}, v_ {i} right }}

дает смешанное состояние ρ.

Фильтр Калмана без запаха

В фильтре Кальмана без запаха (UKF)^[10] квадратный корень из ошибки состояния ковариационная матрица требуется для преобразование без запаха который является используемым методом статистической линеаризации. Было представлено сравнение между различными методами вычисления квадратного корня матрицы в приложении UKF для объединения датчиков GPS / INS, которое показало, что Разложение Холецкого Метод лучше всего подходит для приложений UKF.^[11]

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б Хайэм, Николас Дж. (Апрель 1986 г.), «Метод Ньютона для матричного квадратного корня» (PDF), Математика вычислений, 46 (174): 537–549, Дои:10.2307/2007992, JSTOR 2007992
^ Митчелл, Дуглас В. (ноябрь 2003 г.). "Использование троек Пифагора для получения квадратных корней из ${ displaystyle I_ {2}}$ ". Математический вестник. 87 (510): 499–500. Дои:10.1017 / s0025557200173723.
^ ^а ^б ^c Хорн и Джонсон (2013), п. 439, теорема 7.2.6 с ${ displaystyle k = 2}$
^ Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1990). Матричный анализ. Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. п. 411. ISBN 9780521386326.
^
Об аналитических функциях матриц см.
- Хайэм 2008
- Хорн и Джонсон 1994
^
По поводу голоморфного функционального исчисления см .:
^ Мертвец, Эдвин; Хайэм, Николас Дж .; Ральха, Руи (2013), «Блокированные алгоритмы Шура для вычисления квадратного корня матрицы» (PDF), Прикладные параллельные и научные вычисления, Springer Berlin Heidelberg, стр. 171–182, Дои:10.1007/978-3-642-36803-5_12, ISBN 978-3-642-36802-8
^ Denman & Beavers 1976; Cheng et al. 2001 г.
^ Хайэм, Николас Дж. (1997). «Стабильные итерации для квадратного корня матрицы». Численные алгоритмы. 15 (2): 227–242. Bibcode:1997NuAlg..15..227H. Дои:10.1023 / А: 1019150005407.
^ Julier, S .; Дж. Ульманн (1997), "Новое расширение фильтрации Калмана на нелинейные системы", Серия материалов SPIE, Обработка сигналов, объединение датчиков и распознавание целей VI, 3068: 182–193, Bibcode:1997SPIE.3068..182J, CiteSeerX 10.1.1.5.2891, Дои:10.1117/12.280797
^ Руди, Мэтью; Ю Гу, Джейсон Гросс и Марчелло Р. Наполитано; Гросс, Джейсон; Наполитано, Марчелло Р. (декабрь 2011 г.), «Оценка матричных операций с квадратным корнем для UKF в приложении для объединения датчиков GPS / INS на базе UAV», Международный журнал навигации и наблюдений, 2011: 1–11, Дои:10.1155/2011/416828CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)