Формула Сильвестра - Википедия - Sylvesters formula

В матричная теория, Формула Сильвестра или же Матричная теорема Сильвестра (названный в честь Дж. Дж. Сильвестр ) или же Интерполяция Лагранжа-Сильвестра выражает аналитический функция ж(А) из матрица А как полином от А, с точки зрения собственные значения и собственные векторы из А.^[1][2] В нем говорится, что^[3]

${ Displaystyle е (А) = сумма _ {я = 1} ^ {к} е ( лямбда _ {я}) ~ А_ {я} ~,}$

где λ_я являются собственными значениями А, а матрицы

${ Displaystyle A_ {i} Equiv prod _ {j = 1 на вершине j neq i} ^ {k} { frac {1} { lambda _ {i} - lambda _ {j}}} left (A- lambda _ {j} I right)}$

соответствующие Коварианты Фробениуса из А, которые являются (проекционной) матрицей Полиномы Лагранжа из А.

Условия

Формула Сильвестра применима к любому диагонализуемая матрица А с k различные собственные значения, λ₁, …, λ_k, и любая функция ж определены на некотором подмножестве сложные числа такой, что ж(А) хорошо определено. Последнее условие означает, что каждое собственное значение λ_я находится в сфере ж, и что каждое собственное значение λ_я с множеством м_я > 1 находится внутри области, причем ж существование (м_я — 1) раз дифференцируемые в λ_я.^{[1]:По умолчанию 6.4}

Пример

Рассмотрим матрицу два на два:

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 3 4 & 2 end {bmatrix}}.}$

Эта матрица имеет два собственных значения: 5 и −2. Его коварианты Фробениуса таковы:

${ displaystyle { begin {align} A_ {1} & = c_ {1} r_ {1} = { begin {bmatrix} 3 4 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} { frac { 1} {7}} & { frac {1} {7}} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { frac {3} {7}} & { frac {3} {7} } { frac {4} {7}} & { frac {4} {7}} end {bmatrix}} = { frac {A + 2I} {5 - (- 2)}} A_ {2} & = c_ {2} r_ {2} = { begin {bmatrix} { frac {1} {7}} - { frac {1} {7}} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 4 & -3 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { frac {4} {7}} & - { frac {3} {7}} - { frac {4} {7}} & { frac {3} {7}} end {bmatrix}} = { frac {A-5I} {- 2-5}}. End {выравнивается}}}$

Тогда формула Сильвестра составляет

${ Displaystyle е (А) = е (5) А_ {1} + е (-2) А_ {2}. ,}$

Например, если ж определяется ж(Икс) = Икс⁻¹, то формула Сильвестра выражает матрицу, обратную ж(А) = А⁻¹ в качестве

${ displaystyle { frac {1} {5}} { begin {bmatrix} { frac {3} {7}} и { frac {3} {7}} { frac {4} {7 }} & { frac {4} {7}} end {bmatrix}} - { frac {1} {2}} { begin {bmatrix} { frac {4} {7}} & - { frac {3} {7}} - { frac {4} {7}} & { frac {3} {7}} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} -0,2 и 0,3 0,4 & -0,1 end {bmatrix}}.}$

Обобщение

Формула Сильвестра действительна только для диагонализуемые матрицы; продление А. Буххайма на основе Интерполирующие многочлены Эрмита, охватывает общий случай:^[4]

${ displaystyle f (A) = sum _ {i = 1} ^ {s} left [ sum _ {j = 0} ^ {n_ {i} -1} { frac {1} {j!} } phi _ {i} ^ {(j)} ( lambda _ {i}) left (A- lambda _ {i} I right) ^ {j} prod _ {j = 1, j neq i} ^ {s} left (A- lambda _ {j} I right) ^ {n_ {j}} right]}$,

куда ${ Displaystyle phi _ {я} (т): = е (т) / prod _ {j neq i} left (t- lambda _ {j} right) ^ {n_ {j}}}$.

Краткую форму далее дает Швердтфегер:^[5]

${ displaystyle f (A) = sum _ {i = 1} ^ {s} A_ {i} sum _ {j = 0} ^ {n_ {i} -1} { frac {f ^ {(j )} ( lambda _ {i})} {j!}} (A- lambda _ {i} I) ^ {j}}$,

куда А_я соответствующие Коварианты Фробениуса из А

Смотрите также

• Адъюгированная матрица
• Голоморфное функциональное исчисление
• Резольвентный формализм

Рекомендации

• F.R. Гантмахер, Теория матриц v I (Chelsea Publishing, NY, 1960) ISBN  0-8218-1376-5 , стр 101-103
• Хайэм, Николас Дж. (2008). Функции матриц: теория и вычисления. Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). ISBN  9780898717778. OCLC  693957820.
• Мерцбахер, Э (1968). «Матричные методы в квантовой механике». Являюсь. J. Phys. 36 (9): 814–821. Дои:10.1119/1.1975154.