Квадратный корень из матрицы 2 на 2 - Square root of a 2 by 2 matrix

А квадратный корень из матрицы 2 × 2 M это еще 2 × 2 матрица р такой, что M = р², куда р² стоит за матричный продукт из р с собой. В общем, может быть ноль, два, четыре или даже бесконечное количество матрицы квадратного корня. Во многих случаях такая матрица р можно получить по явной формуле.

Квадратные корни, которые не являются матрицей из нулей, попадают в пары: если р квадратный корень из M, тогда -р также является квадратным корнем из M, поскольку (-р)(−р) = (−1)(−1)(RR) = р² = M. Матрица 2 × 2 с двумя отличными от нуля собственные значения имеет четыре квадратных корня. А положительно определенная матрица имеет ровно один положительно определенный квадратный корень.

Общая формула

Следующая общая формула применима почти к любой матрице 2 × 2.^[1][2] Пусть данная матрица имеет вид

${ displaystyle M = { begin {pmatrix} A&B C&D end {pmatrix}},}$

куда А, B, C, и D могут быть действительными или комплексными числами. Кроме того, пусть τ = А + D быть след из M, и δ = ОБЪЯВЛЕНИЕ − до н.э быть его детерминант. Позволять s быть таким, чтобы s² = δ, и т быть таким, чтобы т² = τ + 2s. То есть,

${ displaystyle s = pm { sqrt { delta}}, qquad t = pm { sqrt { tau + 2s}}.}$

Тогда, если т ≠ 0, квадратный корень из M является

${ displaystyle R = { frac {1} {t}} { begin {pmatrix} A + s & B C & D + s end {pmatrix}} = { frac {1} {t}} left (M + sI right).}$

Действительно, площадь р является

${ displaystyle { begin {align} R ^ {2} & = { frac {1} {t ^ {2}}} { begin {pmatrix} A ^ {2} + BC + 2sA + s ^ {2 } & AB + BD + 2sB CA + DC + 2sC & CB + D ^ {2} + 2sD + s ^ {2} end {pmatrix}} [1ex] & = { frac {1} {t ^ { 2}}} { begin {pmatrix} A ^ {2} + BC + 2sA + AD-BC & AB + BD + 2sB AC + CD + 2sC & BC + D ^ {2} + 2sD + AD-BC end {pmatrix }} [1ex] & = { frac {1} {A + D + 2s}} { begin {pmatrix} A (A + D + 2s) & B (A + D + 2s) C (A + D + 2s) & D (A + D + 2s) end {pmatrix}} = M. end {align}}}$

Обратите внимание, что р могут иметь сложные записи, даже если M - вещественная матрица; это будет иметь место, в частности, если определитель δ отрицательный.

Общий случай этой формулы - это когда δ отличен от нуля, и τ² ≠ 4δ, в таком случае s отличен от нуля, и т отличен от нуля для каждого выбора знака s. Тогда приведенная выше формула даст четыре различных квадратных корня. р, по одному на каждый выбор знаков для s и т.

Частные случаи формулы

Если определитель δ равен нулю, но след τ отлична от нуля, приведенная выше общая формула даст только два различных решения, соответствующих двум знакам т. А именно,

${ displaystyle R = pm { frac {1} {t}} { begin {pmatrix} A&B C&D end {pmatrix}} = pm { frac {1} {t}} M,}$

куда т любой квадратный корень из следа τ.

Формула также дает только два различных решения, если δ отличен от нуля, и τ² = 4δ (случай дублирования собственные значения ), и в этом случае один из вариантов s сделает знаменатель т быть нулевым. В этом случае два корня

${ displaystyle R = pm { frac {1} {t}} { begin {pmatrix} A + s & B C & D + s end {pmatrix}} = pm { frac {1} {t}} left (M + sI right),}$

куда s квадратный корень из δ что делает τ − 2s ненулевой, и т любой квадратный корень из τ − 2s.

Приведенная выше формула полностью не работает, если δ и τ оба равны нулю; то есть, если D = −А, и А² = −до н.э, так что след и определитель матрицы равны нулю. В этом случае, если M - нулевая матрица (с А = B = C = D = 0), то нулевая матрица также является квадратным корнем из M, как и любая матрица

${ displaystyle R = { begin {pmatrix} 0 & 0 c & 0 end {pmatrix}} quad { text {and}} quad R = { begin {pmatrix} 0 & b 0 & 0 end {pmatrix}} ,}$

куда б и c - произвольные действительные или комплексные значения. Иначе M не имеет квадратного корня.

Формулы для специальных матриц

Идемпотентная матрица

Если M является идемпотентная матрица, означающий, что ММ = M, то, если это не единичная матрица, ее определитель равен нулю, а ее след равен ее классифицировать, что (исключая нулевую матрицу) равно 1. Тогда приведенная выше формула имеет s = 0 и τ = 1, что дает M и -M как два квадратных корня из M.

Экспоненциальная матрица

Если матрица M можно выразить как действительное кратное экспоненте некоторой матрицы А, ${ Displaystyle М = г ехр (А)}$, то два его квадратных корня равны ${ displaystyle pm { sqrt {r}} exp left ({ tfrac {1} {2}} A right)}$. В этом случае квадратный корень действительный и может интерпретироваться как квадратный корень из тип комплексного числа.^[3]

Диагональная матрица

Если M диагональна (то есть B = C = 0) можно воспользоваться упрощенной формулой

${ displaystyle R = { begin {pmatrix} a & 0 0 & d end {pmatrix}},}$

куда а = ±√А, и d = ±√D. Это для различных вариантов выбора знака дает четыре, две или одну различные матрицы, если ни одна из них, только одну из или обе. А и D равны нулю соответственно.

Единичная матрица

Потому что у него есть дубликат собственные значения, 2 × 2 единичная матрица ${ displaystyle left ({ begin {smallmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {smallmatrix}} right)}$ бесконечно много симметричный рациональные квадратные корни, задаваемые

${ displaystyle { frac {1} {t}} { begin {pmatrix} s & r r & -s end {pmatrix}}, { frac {1} {t}} { begin {pmatrix} s & -r - r & -s end {pmatrix}}, { frac {1} {t}} { begin {pmatrix} -s & r r & s end {pmatrix}}, { frac {1 } {t}} { begin {pmatrix} -s & -r - r & s end {pmatrix}}, { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & pm 1 end {pmatrix}}, { text {и}} { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & pm 1 end {pmatrix}},}$

куда (р, s, т) есть ли Пифагорейская тройка - то есть любой набор натуральных чисел такой, что ${ displaystyle r ^ {2} + s ^ {2} = t ^ {2}.}$^[4] Кроме того, любые нецелые, иррациональные или комплексные значения р, s, т удовлетворение ${ displaystyle r ^ {2} + s ^ {2} = t ^ {2}}$ дают матрицы квадратного корня. Единичная матрица также имеет бесконечно много несимметричных квадратных корней.

Матрица с одним недиагональным нулем

Если B равно нулю, но А и D не равны нулю, можно использовать

${ displaystyle R = { begin {pmatrix} a & 0 { frac {C} {a + d}} & d end {pmatrix}}.}$

Эта формула даст два решения, если А = D или же А = 0 или D = 0 и четыре в противном случае. Аналогичную формулу можно использовать, когда C равно нулю, но А и D оба не равны нулю.

Рекомендации