Матрицы Гелл-Манна - Gell-Mann matrices

В Матрицы Гелл-Манна, разработан Мюррей Гелл-Манн, представляют собой набор из восьми линейно независимый 3×3 бесследный Эрмитовы матрицы используется при изучении сильное взаимодействие в физика элементарных частиц.Они охватывают Алгебра Ли из SU (3) группа в определяющем представлении.

Матрицы

${ displaystyle lambda _ {1} = { begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle lambda _ {2} = { begin {pmatrix} 0 & -i & 0 i & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle lambda _ {3} = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 end {pmatrix}}}$
${ displaystyle lambda _ {4} = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle lambda _ {5} = { begin {pmatrix} 0 & 0 & -i 0 & 0 & 0 i & 0 & 0 end {pmatrix}}}$
${ displaystyle lambda _ {6} = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle lambda _ {7} = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & -i 0 & i & 0 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle lambda _ {8} = { frac {1} { sqrt {3}}} { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2 end {pmatrix}}.}$

Характеристики

Эти матрицы бесследный, Эрмитовские (поэтому они могут генерировать унитарная матрица группировать элементы посредством возведения в степень) и подчиняться соотношению ортонормированности дополнительных следов. Эти свойства были выбраны Гелл-Манном, потому что они затем естественным образом обобщают Матрицы Паули за SU (2) к SU (3), которые легли в основу теории Гелл-Манна кварковая модель. Дальнейшее обобщение Гелл-Манна распространяется на общий SU (п). За их связь с стандартная основа алгебр Ли см. Базис Вейля – Картана.

Следить за ортонормальностью

В математике ортонормальность обычно подразумевает норму, имеющую значение единицы (1). Однако матрицы Гелл-Манна нормализованы до значения 2. Таким образом, след попарного произведения приводит к условию ортонормировки

{ displaystyle operatorname {tr} ( lambda _ {i} lambda _ {j}) = 2 delta _ {ij},}

куда ${ displaystyle delta _ {ij}}$ это Дельта Кронекера.

Это значит, что вложенные матрицы Паули, соответствующие трем вложенным подалгебрам SU(2) условно нормированы. В этом трехмерном матричном представлении Подалгебра Картана представляет собой набор линейных комбинаций (с действительными коэффициентами) двух матриц ${ displaystyle lambda _ {3}}$ и ${ displaystyle lambda _ {8}}$ , которые ездят друг с другом.

Есть три независимых SU (2) подалгебры:

${ displaystyle { lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3} }}$
${ displaystyle { lambda _ {4}, lambda _ {5}, x },}$ и
${ displaystyle { lambda _ {6}, lambda _ {7}, y },}$

где $Икс$ и $у$ линейные комбинации ${ displaystyle lambda _ {3}}$ и ${ displaystyle lambda _ {8}}$ . SU (2) Казимиры этих подалгебр взаимно коммутируют.

Однако любое унитарное преобразование подобия этих подалгебр приведет к подалгебрам SU (2). Таких преобразований бесчисленное множество.

Коммутационные отношения

8 генераторов SU (3) удовлетворяют коммутационные и антикоммутационные отношения^[1]

{ displaystyle { begin {align} left [ lambda _ {a}, lambda _ {b} right] & = 2i sum _ {c} f ^ {abc} lambda _ {c}, { lambda _ {a}, lambda _ {b} } & = { frac {4} {3}} delta _ {ab} I + 2 sum _ {c} d ^ {abc} lambda _ {c}, end {align}}}

с структурные константы

{ displaystyle { begin {align} f ^ {abc} & = - { frac {1} {4}} i operatorname {tr} ( lambda _ {a} [ lambda _ {b}, lambda _ {c}]), d ^ {abc} & = { frac {1} {4}} operatorname {tr} ( lambda _ {a} { lambda _ {b}, lambda _ {c} }). end {выравнивается}}}

В структурные константы ${ displaystyle f ^ {abc}}$ полностью антисимметричны по трем индексам, обобщая антисимметрию Символ Леви-Чивита ${ displaystyle epsilon _ {jkl}}$ из $SU (2)$ . Для текущего порядка матриц Гелл-Манна они принимают значения

{ displaystyle f ^ {123} = 1 , quad f ^ {147} = f ^ {165} = f ^ {246} = f ^ {257} = f ^ {345} = f ^ {376} = { frac {1} {2}} , quad f ^ {458} = f ^ {678} = { frac { sqrt {3}} {2}} .}

Как правило, они оцениваются как ноль, если только они не содержат нечетное количество индексов из набора {2,5,7}, соответствующих антисимметричным (мнимым) $λ$ с.

Используя эти коммутационные соотношения, произведение матриц Гелл-Манна можно записать как

{ displaystyle lambda _ {a} lambda _ {b} = { frac {1} {2}} ([ lambda _ {a}, lambda _ {b}] + { lambda _ {a }, lambda _ {b} }) = { frac {2} {3}} delta _ {ab} I + sum _ {c} left (d ^ {abc} + if ^ {abc} справа) lambda _ {c},}

куда $я$ - единичная матрица.

Отношения полноты Фирца

Поскольку восемь матриц и единица представляют собой полный набор ортогональных следов, охватывающий все матрицы 3 × 3, легко найти две матрицы Фирца. отношения полноты, (Li & Cheng, 4.134), аналогично тому, что удовлетворяются матрицами Паули. А именно, используя точку для суммирования по восьми матрицам и используя греческие индексы для их индексов строки / столбца, выполняются следующие тождества:

{ displaystyle delta _ { beta} ^ { alpha} delta _ { delta} ^ { gamma} = { frac {1} {3}} delta _ { delta} ^ { alpha} delta _ { beta} ^ { gamma} + { frac {1} {2}} lambda _ { delta} ^ { alpha} cdot lambda _ { beta} ^ { gamma}}

и

{ displaystyle lambda _ { beta} ^ { alpha} cdot lambda _ { delta} ^ { gamma} = { frac {16} {9}} delta _ { delta} ^ { альфа} delta _ { beta} ^ { gamma} - { frac {1}} lambda _ { delta} ^ { alpha} cdot lambda _ { beta} ^ { gamma } ~.}

Можно предпочесть переработанную версию, полученную в результате линейной комбинации вышеуказанного,

{ displaystyle lambda _ { beta} ^ { alpha} cdot lambda _ { delta} ^ { gamma} = 2 delta _ { delta} ^ { alpha} delta _ { beta} ^ { gamma} - { frac {2} {3}} delta _ { beta} ^ { alpha} delta _ { delta} ^ { gamma} ~.}

Теория представлений

Конкретный выбор матриц называется групповое представительство, поскольку любой элемент SU (3) можно записать в виде ${ Displaystyle mathrm {exp} (я theta ^ {j} g_ {j})}$ , где восьмерка ${ displaystyle theta ^ {j}}$ - действительные числа и сумма по индексу $j$ подразумевается. Для одного представления эквивалентное может быть получено с помощью произвольного унитарного преобразования подобия, так как это оставляет коммутатор неизменным.

Матрицы могут быть реализованы как представление бесконечно малые генераторы из особая унитарная группа называется SU (3). В Алгебра Ли этой группы (на самом деле реальной алгебры Ли) имеет размерность восемь и, следовательно, у нее есть некоторое множество с восемью линейно независимый генераторы, которые можно записать как ${ displaystyle g_ {i}}$ , с я принимает значения от 1 до 8.

Операторы Казимира и инварианты

Квадрат суммы матриц Гелл-Манна дает квадратичную Оператор Казимира, групповой инвариант,

{ displaystyle C = sum _ {i = 1} ^ {8} lambda _ {i} lambda _ {i} = { frac {16} {3}} I}

куда ${ Displaystyle I ,}$ является единичной матрицей 3 × 3. Есть другой, независимый, кубический оператор Казимира, также.

Приложение к квантовая хромодинамика

Эти матрицы служат для изучения внутренних (цветовых) поворотов глюонные поля связанных с цветными кварками квантовая хромодинамика (ср. цвета глюона ). Калибровочное вращение цвета - это пространственно-зависимый элемент группы SU (3). ${ Displaystyle U = ехр (я theta ^ {k} ({ mathbf {r}}, t) lambda _ {k} / 2)}$ , где суммирование по восьми индексам $k$ подразумевается.