Матрица грамиана - Википедия - Gramian matrix

В линейная алгебра, то Матрица Грама (или же Матрица грамиана, Грамиан) набора векторов ${ displaystyle v_ {1}, dots, v_ {n}}$ в внутреннее пространство продукта это Эрмитова матрица из внутренние продукты, записи которого представлены ${ Displaystyle G_ {ij} = left langle v_ {i}, v_ {j} right rangle}$ .^[1]

Важное приложение - вычисление линейная независимость: набор векторов линейно независим, если и только если Определитель грамма (в детерминант матрицы Грама) отлична от нуля.

Он назван в честь Йорген Педерсен Грам.

Примеры

Для конечномерных вещественных векторов в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ с обычным евклидовым скалярное произведение, матрица Грама просто ${ Displaystyle G = V ^ { mathsf {T}} V}$ , куда ${ displaystyle V}$ матрица, столбцами которой являются векторы ${ displaystyle v_ {k}}$ . За сложный векторов в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ , ${ Displaystyle G = V ^ {*} V}$ , куда ${ Displaystyle V ^ {*}}$ это сопряженный транспонировать из ${ displaystyle V}$ .

Данный квадратично интегрируемые функции ${ Displaystyle { ell _ {я} ( cdot), , я = 1, точки, п }}$ на интервале ${ displaystyle left [t_ {0}, t_ {f} right]}$ , матрица Грама ${ Displaystyle G = влево [G_ {ij} right]}$ является:

{ displaystyle G_ {ij} = int _ {t_ {0}} ^ {t_ {f}} ell _ {i} ( tau) ell _ {j} ^ {*} ( tau) , д тау.}

Для любого билинейная форма ${ displaystyle B}$ на конечномерный векторное пространство по любому поле мы можем определить матрицу Грама ${ displaystyle G}$ прикреплен к набору векторов ${ displaystyle v_ {1}, dots, v_ {n}}$ к ${ Displaystyle G_ {ij} = B left (v_ {i}, v_ {j} right)}$ . Матрица будет симметричной, если билинейная форма ${ displaystyle B}$ симметрично.

Приложения

В Риманова геометрия, учитывая встроенный ${ displaystyle k}$ -мерное риманово многообразие ${ Displaystyle М подмножество mathbb {R} ^ {п}}$ и координатная карта ${ displaystyle phi: от U до M}$ за ${ Displaystyle (x_ {1}, ldots, x_ {k}) в U subset mathbb {R} ^ {k}}$ , объемная форма ${ displaystyle omega}$ на ${ displaystyle M}$ индуцированное вложением, может быть вычислено с использованием грамиана координатных касательных векторов:
${ displaystyle omega = { sqrt { det G}} dx_ {1} cdots dx_ {k}, quad G = left [ left langle { frac { partial phi} { partial x_ {i}}}, { frac { partial phi} { partial x_ {j}}} right rangle right].}$
Это обобщает классический поверхностный интеграл параметризованной поверхности ${ Displaystyle phi: U к S subset mathbb {R} ^ {3}}$ за ${ Displaystyle (х, у) в U подмножество mathbb {R} ^ {2}}$ :
${ displaystyle int _ {S} е dA = iint _ {U} f ( phi (x, y)) , left | { frac { partial phi} { partial x}} , { times} , { frac { partial phi} { partial y}} right | , dx , dy.}$
Если векторы центрированы случайные переменные, грамиан приблизительно пропорционален ковариационная матрица, с масштабированием, определяемым количеством элементов в векторе.
В квантовая химия, матрица Грама набора базисные векторы это матрица перекрытия.
В теория управления (или в более общем смысле теория систем ), управляемость по грамиану и наблюдаемость по грамиану определить свойства линейной системы.
Матрицы Грамиана возникают при подборе модели ковариационной структуры (см., Например, Jamshidian and Bentler, 1993, Applied Psychological Measurement, Volume 18, pp. 79–94).
в метод конечных элементов, матрица Грама возникает в результате приближения функции из конечномерного пространства; элементы матрицы Грама тогда являются скалярными произведениями базисных функций конечномерного подпространства.
В машинное обучение, функции ядра часто представлены в виде матриц Грама.^[2]
Поскольку матрица Грама над вещественными числами является симметричная матрица, это диагонализуемый и это собственные значения неотрицательны. Диагонализация матрицы Грама - это разложение по сингулярным числам.

Характеристики

Позитивная полуопределенность

Матрица Грама симметричный в случае, если реальный продукт имеет реальную стоимость; это Эрмитский в общем, сложном случае по определению внутренний продукт.

Матрица Грама положительно полуопределенный, и каждая положительно полуопределенная матрица является матрицей Грамиана для некоторого набора векторов. Тот факт, что матрица Грамиана является положительно-полуопределенной, можно увидеть из следующего простого вывода:

{ displaystyle x ^ { extf {T}} mathbf {G} x = sum _ {i, j} x_ {i} x_ {j} left langle v_ {i}, v_ {j} right rangle = sum _ {i, j} left langle x_ {i} v_ {i}, x_ {j} v_ {j} right rangle = left langle sum _ {i} x_ {i } v_ {i}, sum _ {j} x_ {j} v_ {j} right rangle = left | sum _ {i} x_ {i} v_ {i} right | ^ {2 } geq 0.}

Первое равенство следует из определения умножения матриц, второе и третье - из билинейности внутренний продукт, а последнее - из положительной определенности внутреннего продукта. Обратите внимание, что это также показывает, что матрица Грамиана положительно определена тогда и только тогда, когда векторы ${ displaystyle v_ {i}}$ линейно независимы (т. е. ${ displaystyle textstyle sum _ {i} x_ {i} v_ {i} neq 0}$ для всех ${ displaystyle x}$ ).^[1]

Нахождение векторной реализации

Для любой положительно полуопределенной матрицы ${ displaystyle M}$ , его можно разложить как:

{ Displaystyle M = B ^ {*} B}

,

куда ${ displaystyle B ^ {*}}$ это сопряженный транспонировать из ${ displaystyle B}$ (или же ${ Displaystyle M = B ^ { extf {T}} B}$ в реальном случае).

Здесь ${ displaystyle B}$ это ${ Displaystyle к раз п}$ матрица, где ${ displaystyle k}$ это классифицировать из ${ displaystyle M}$ . Различные способы получения такого разложения включают вычисление Разложение Холецкого или принимая неотрицательный квадратный корень из ${ displaystyle M}$ .

Колонны ${ Displaystyle Ь ^ {(1)}, точки, Ь ^ {(п)}}$ из ${ displaystyle B}$ можно рассматривать как п векторов в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {k}}$ (или же k-мерное евклидово пространство ${ displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$ , в реальном случае). потом

{ Displaystyle M_ {ij} = b ^ {(i)} cdot b ^ {(j)}}

где скалярное произведение ${ displaystyle a cdot b = sum _ { ell = 1} ^ {k} a _ { ell} ^ {*} b _ { ell}}$ это обычный внутренний продукт на ${ displaystyle mathbb {C} ^ {k}}$ .

Таким образом Эрмитова матрица ${ displaystyle M}$ положительно полуопределено тогда и только тогда, когда это Матрица Грама некоторых векторов ${ Displaystyle Ь ^ {(1)}, точки, Ь ^ {(п)}}$ . Такие векторы называются векторная реализация из ${ displaystyle M}$ . Бесконечномерный аналог этого утверждения есть Теорема Мерсера.

Единственность векторных реализаций

Если ${ displaystyle M}$ матрица Грама векторов ${ displaystyle v_ {1}, dots, v_ {n}}$ в ${ displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$ , затем применяя любое вращение или отражение ${ displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$ (любой ортогональное преобразование, то есть любой Евклидова изометрия сохранение 0) в последовательности векторов приводит к той же матрице Грама. То есть для любого ${ Displaystyle к раз к}$ ортогональная матрица ${ displaystyle Q}$ , матрица Грама ${ displaystyle Qv_ {1}, dots, Qv_ {n}}$ это также ${ displaystyle M}$ .

Это единственный способ, которым две вещественные векторные реализации ${ displaystyle M}$ могут отличаться: векторы ${ displaystyle v_ {1}, dots, v_ {n}}$ уникальны до ортогональные преобразования. Другими словами, скалярные произведения ${ displaystyle v_ {i} cdot v_ {j}}$ и ${ displaystyle w_ {i} cdot w_ {j}}$ равны тогда и только тогда, когда некоторое жесткое преобразование ${ displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$ преобразует векторы ${ displaystyle v_ {1}, dots, v_ {n}}$ к ${ Displaystyle ш_ {1}, точки, ш_ {п}}$ и от 0 до 0.

То же верно и в комплексном случае, когда унитарные преобразования вместо ортогональных, т. е. если матрица Грама векторов ${ displaystyle v_ {1}, dots, v_ {n}}$ равна матрице Грама векторов ${ Displaystyle ш_ {1}, точки, ш_ {п}}$ в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {k}}$ , то есть унитарный ${ Displaystyle к раз к}$ матрица ${ displaystyle U}$ (смысл ${ Displaystyle U ^ {*} U = I}$ ) такие, что ${ displaystyle v_ {i} = Uw_ {i}}$ за ${ Displaystyle я = 1, точки, п}$ .^[3]

Другие свойства

Матрица Грама любой ортонормированный базис - единичная матрица.
Ранг матрицы Грама векторов в ${ displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$ или же ${ displaystyle mathbb {C} ^ {k}}$ равняется размерности пространства охватывал этими векторами.^[1]

Определитель грамма

В Определитель грамма или же Грамиан - определитель матрицы Грама:

{ displaystyle G (x_ {1}, dots, x_ {n}) = { begin {vmatrix} langle x_ {1}, x_ {1} rangle & langle x_ {1}, x_ {2} rangle & dots & langle x_ {1}, x_ {n} rangle langle x_ {2}, x_ {1} rangle & langle x_ {2}, x_ {2} rangle & точки & langle x_ {2}, x_ {n} rangle vdots & vdots & ddots & vdots langle x_ {n}, x_ {1} rangle & langle x_ {n} , x_ {2} rangle & dots & langle x_ {n}, x_ {n} rangle end {vmatrix}}.}.

Если ${ displaystyle x_ {1}, cdots, x_ {n}}$ векторы в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ , то это квадрат п-размерный объем параллелоэдр формируется векторами. В частности, векторы линейно независимый тогда и только тогда, когда параллелоэдр имеет ненулевой п-мерный объем, тогда и только тогда, когда определитель Грама отличен от нуля, тогда и только тогда, когда матрица Грама неособый.

Определитель Грама также можно выразить через внешний продукт векторов

{ Displaystyle G (x_ {1}, dots, x_ {n}) = | x_ {1} wedge cdots wedge x_ {n} | ^ {2}.}

Смотрите также

внешняя ссылка

«Матрица Грама», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Объемы параллелограммов Фрэнк Джонс

[HJ-7.2.10-1] а ^б ^c Хорн и Джонсон 2013, п. 441, с.441, теорема 7.2.10

[2] Lanckriet, G.R.G .; Cristianini, N .; Bartlett, P .; Ghaoui, L.E .; Джордан, М. И. (2004). «Изучение матрицы ядра с помощью полуопределенного программирования». Журнал исследований в области машинного обучения. 5: 27–72 [стр. 29].

[3] Хорн и Джонсон (2013), п. 452, теорема 7.3.11

[1]

[2]

[3]

Матрица классы
Явно ограниченные записи	(0,1) Альтернант Антидиагональный Антиэрмитский Антисимметричный Стрелка Группа Двухдиагональный Двоичный Бисимметричный Блок-диагональ Блокировать Блок трехдиагональный Булево Коши Центросимметричный Конференция Комплекс Адамар Копозитивный По диагонали Диагональ Дискретное преобразование Фурье Элементарный Эквивалент Фробениус Обобщенная перестановка Адамар Ганкель Эрмитский Hessenberg Пустой Целое число Логический Марков Metzler Моном Мур Неотрицательный Разделенный Паризи Пятидиагональный Перестановка Персимметричный Полиномиальный Положительный Кватернионный Знак Подпись Косоэрмитский Кососимметричный Горизонт Разреженный Сильвестр Симметричный Теплиц Треугольный Трехдиагональный Унитарный Vandermonde Уолш Z
Постоянный	Обмен Гильберта Личность Лемер Из них Паскаль Паули Редхеффер Сдвиг Нуль
Условия на собственные значения или собственные векторы	Компаньон Сходящийся Дефектный Диагонализуемый Гурвиц Положительно определенный Стабильность Стилтьес
Удовлетворительные условия на товары или же обратное	Конгруэнтный Идемпотентный или же Проекция Обратимый Инволютивный Нильпотентный Нормальный Ортогональный Ортонормированный Единственное число Унимодулярный Унипотентный Полностью унимодулярный Взвешивание
Со специальными приложениями	Приспосабливать Альтернативный знак Дополненный Безу Карлеман Картан Циркулянт Кофактор Коммутация Путаница Coxeter Оскорбительный Расстояние Дублирование Устранение Евклидово расстояние Фундаментальное (линейное дифференциальное уравнение) Генератор Грамиан Гессен Домохозяин Якобиан Момент Заплатить Выбирать Случайный Вращение Зейферт Сдвиг Сходство Симплектический Полностью положительный Трансформация Wedderburn X – Y – Z
Используется в статистика	Бернулли Центрирование Корреляция Ковариация Дизайн Дисперсия Дважды стохастический Информация Fisher Шляпа Точность Стохастик Переход
Используется в теория графов	Смежность Двуличность Степень Эдмондс Заболеваемость Лапласиан Зайдельская смежность Косая смежность Тутте
Используется в науке и технике	Кабиббо – Кобаяси – Маскава Плотность Фундаментальный (компьютерное зрение) Нечеткий ассоциативный Гамма Гелл-Манн Гамильтониан Нерегулярный Перекрывать S Состояние перехода Замена Z (химия)
Связанные термины	Иорданская каноническая форма Линейная независимость Матрица экспоненциальная Матричное представление конических сечений Идеальная матрица Псевдообратный Кватернионная матрица Форма эшелона строки Вронскиан
Список матриц Категория: Матрицы