Грамиан наблюдаемости - Википедия - Observability Gramian

В теория управления, нам может потребоваться выяснить, действительно ли такая система, как

наблюдается, где , , и являются, соответственно, , , и матрицы.

Один из многих способов достижения этой цели - использование грамиана наблюдаемости.

Наблюдаемость в системах LTI

Системы с линейным инвариантом во времени (LTI) - это такие системы, в которых параметры , , и инвариантны относительно времени.

Можно определить, является ли система LTI наблюдаемой или нет, просто взглянув на пару . Тогда мы можем сказать, что следующие утверждения эквивалентны:

1. Пара наблюдается.

2. Программа матрица

неособен для любого .

3. В матрица наблюдаемости

имеет ранг n.

4. матрица

имеет полный ранг столбца при каждом собственном значении из .

Если, кроме того, все собственные значения иметь отрицательные реальные части ( устойчиво) и единственное решение

положительно определена, то система наблюдаема. Решение называется грамианом наблюдаемости и может быть выражено как

В следующем разделе мы подробнее рассмотрим грамиан наблюдаемости.

Грамиан наблюдаемости

Грамиан наблюдаемости может быть найден как решение Уравнение Ляпунова данный

Фактически, мы можем видеть, что если мы возьмем

в качестве решения мы обнаружим, что:

Где мы использовали тот факт, что в для стабильного (все его собственные значения имеют отрицательную действительную часть). Это показывает нам, что действительно является решением анализируемого уравнения Ляпунова.

Характеристики

Мы видим, что является симметричной матрицей, поэтому .

Мы можем снова использовать тот факт, что если устойчиво (все его собственные значения имеют отрицательную действительную часть), чтобы показать, что уникален. Чтобы доказать это, предположим, что у нас есть два разных решения для

и они даны и . Тогда у нас есть:

Умножение на слева и по по праву, приведет нас к

Интеграция из к :

используя тот факт, что в качестве :

Другими словами, должно быть уникальным.

Также мы видим, что

положительно для любого (в предположении невырожденного случая, когда не тождественно нулю), и это делает положительно определенная матрица.

Дополнительные свойства наблюдаемых систем можно найти в,[1] а также доказательство других эквивалентных утверждений «Пара является наблюдаемым », представленном в разделе Наблюдаемость в системах LTI.

Системы с дискретным временем

Для систем с дискретным временем как

Можно проверить, что для утверждения «Пара является наблюдаемым »(эквивалентности очень похожи для случая непрерывного времени).

Нас интересует эквивалентность, утверждающая, что если «Пара наблюдаемо "и все собственные значения иметь величину меньше, чем ( устойчиво), то единственное решение

положительно определен и задается

Это называется грамианом дискретной наблюдаемости. Мы можем легко увидеть соответствие между дискретным временем и случаем непрерывного времени, то есть если мы можем проверить, что положительно определен, и все собственные значения иметь величину меньше, чем , система наблюдается. Дополнительные свойства и доказательства можно найти в.[2]

Системы с линейным изменением во времени

Системы с линейным временным вариантом (LTV) имеют вид:

То есть матрицы , и есть записи, которые меняются со временем. Опять же, а также в случае непрерывного времени и в случае дискретного времени, может быть интересно обнаружить, если система, заданная парой наблюдается или нет. Это можно сделать аналогично предыдущим случаям.

Система наблюдается во время тогда и только тогда, когда существует конечное так что матрица, также называемая грамианом наблюдаемости, имеет вид

куда - матрица перехода состояний неособое.

Опять же, у нас есть аналогичный метод, чтобы определить, является ли система наблюдаемой или нет.

Свойства

У нас есть грамиан наблюдаемости обладают следующим свойством:

что легко увидеть по определению и свойством матрицы перехода состояний, которое утверждает, что:

Подробнее о грамиане наблюдаемости можно найти в.[3]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Чен, Чи-Цзун (1999). Теория линейных систем и дизайн, третье издание. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п.156. ISBN  0-19-511777-8.
  2. ^ Чен, Чи-Цзун (1999). Теория линейных систем и дизайн, третье издание. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п.171. ISBN  0-19-511777-8.
  3. ^ Чен, Чи-Цзун (1999). Теория линейных систем и дизайн, третье издание. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п.179. ISBN  0-19-511777-8.

внешняя ссылка