Грамиан управляемости - Controllability Gramian

В теория управления, нам может потребоваться выяснить, действительно ли такая система, как

${displaystyle {egin {array} {c} {dot {oldsymbol {x}}} (t) {oldsymbol {= Ax}} (t) + {oldsymbol {Bu}} (t) {oldsymbol {y}} ( t) = {oldsymbol {Cx}} (t) + {oldsymbol {Du}} (t) end {array}}}$

является управляемый, куда ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$, ${displaystyle {oldsymbol {B}}}$, ${displaystyle {oldsymbol {C}}}$ и ${displaystyle {oldsymbol {D}}}$ являются, соответственно, ${displaystyle n imes n}$, ${displaystyle n imes p}$, ${displaystyle q imes n}$ и ${displaystyle q imes p}$ матрицы.

Один из многих способов достижения этой цели - использование Грамиан управляемости.

Управляемость в системах LTI

Системы с линейным инвариантом во времени (LTI) - это такие системы, в которых параметры ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$, ${displaystyle {oldsymbol {B}}}$, ${displaystyle {oldsymbol {C}}}$ и ${displaystyle {oldsymbol {D}}}$ инвариантны относительно времени.

Можно понять, является ли система LTI управляемой или нет, просто взглянув на пару ${displaystyle ({oldsymbol {A}}, {oldsymbol {B}})}$. Тогда мы можем сказать, что следующие утверждения эквивалентны:

1. Пара ${displaystyle ({oldsymbol {A}}, {oldsymbol {B}})}$ управляем.

2. Программа ${displaystyle n imes n}$ матрица

${displaystyle {oldsymbol {W_ {c}}} (t) = int _ {0} ^ {t} e ^ {{oldsymbol {A}} au} {oldsymbol {BB ^ {T}}} e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} au} d au = int _ {0} ^ {t} e ^ {{oldsymbol {A}} (t- au)} {oldsymbol {BB ^ {T}}} e ^ { {oldsymbol {A}} ^ {T} (t- au)} d au}$

неособен для любого ${displaystyle t> 0}$.

3. В ${displaystyle n imes np}$ матрица управляемости

${displaystyle {mathcal {C}} = [{egin {array} {ccccc} {oldsymbol {B}} & {oldsymbol {AB}} & {oldsymbol {A ^ {2} B}} & ... & {oldsymbol {A ^ {n-1} B}} конец {массив}}]}$

имеет ранг n.

4. ${displaystyle n imes (n + p)}$ матрица

${displaystyle [{egin {array} {cc} {oldsymbol {A}} {oldsymbol {-lambda}} {oldsymbol {I}} & {oldsymbol {B}} end {array}}]}$

имеет полный ранг строки при каждом собственном значении ${displaystyle lambda}$ из ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$.

Если, кроме того, все собственные значения ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ иметь отрицательные реальные части (${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ устойчиво), а единственное решение Уравнение Ляпунова

${displaystyle {oldsymbol {A}} {oldsymbol {W}} _ {c} + {oldsymbol {W}} _ {c} {oldsymbol {A ^ {T}}} = - {oldsymbol {BB ^ {T}} }}$

положительно определен, система управляема. Решение называется грамианом управляемости и может быть выражено как

${displaystyle {oldsymbol {W_ {c}}} = int _ {0} ^ {infty} e ^ {{oldsymbol {A}} au} {oldsymbol {BB ^ {T}}} e ^ {{oldsymbol {A}) } ^ {T} au} d au}$

В следующем разделе мы более подробно рассмотрим грамиан управляемости.

Грамиан управляемости

Грамиан управляемости может быть найден как решение Уравнение Ляпунова данный

${displaystyle {oldsymbol {A}} {oldsymbol {W}} _ {c} + {oldsymbol {W}} _ {c} {oldsymbol {A ^ {T}}} = - {oldsymbol {BB ^ {T}} }}$

Фактически, мы можем видеть, что если мы возьмем

${displaystyle {oldsymbol {W_ {c}}} = int _ {0} ^ {infty} e ^ {{oldsymbol {A}} au} {oldsymbol {BB ^ {T}}} e ^ {{oldsymbol {A}) } ^ {T} au} d au}$

в качестве решения мы обнаружим, что:

${displaystyle {egin {array} {ccccc} {oldsymbol {A}} {oldsymbol {W}} _ {c} + {oldsymbol {W}} _ {c} {oldsymbol {A ^ {T}}} & = & int _ {0} ^ {infty} {oldsymbol {A}} e ^ {{oldsymbol {A}} au} {oldsymbol {BB ^ {T}}} e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} au} d au & + & int _ {0} ^ {infty} e ^ {{oldsymbol {A}} au} {oldsymbol {BB ^ {T}}} e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} au} { oldsymbol {A ^ {T}}} d au & = & int _ {0} ^ {infty} {frac {d} {d au}} (e ^ {{oldsymbol {A}} au} {oldsymbol {B}) } {oldsymbol {B}} ^ {T} e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} au}) d au & = & e ^ {{oldsymbol {A}} t} {oldsymbol {B}} {oldsymbol {B}} ^ {T} e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} t} | _ {t = 0} ^ {infty} & = & {oldsymbol {0}} - {oldsymbol {BB ^ {T}}} & = & {oldsymbol {-BB ^ {T}}} конец {массив}}}$

Где мы использовали тот факт, что ${displaystyle e ^ {{oldsymbol {A}} t} = 0}$ в ${displaystyle t = infty}$ для стабильного ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ (все его собственные значения имеют отрицательную действительную часть). Это показывает нам, что ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c}}$ действительно является решением анализируемого уравнения Ляпунова.

Характеристики

Мы видим, что ${displaystyle {oldsymbol {BB ^ {T}}}}$ является симметричной матрицей, поэтому ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c}}$.

Мы можем снова использовать тот факт, что если ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ устойчиво (все его собственные значения имеют отрицательную действительную часть), чтобы показать, что ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c}}$ уникален. Чтобы доказать это, предположим, что у нас есть два разных решения для

${displaystyle {oldsymbol {A}} {oldsymbol {W}} _ {c} + {oldsymbol {W}} _ {c} {oldsymbol {A ^ {T}}} = - {oldsymbol {BB ^ {T}} }}$

и они даны ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c1}}$ и ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c2}}$. Тогда у нас есть:

${displaystyle {oldsymbol {A}} {oldsymbol {(W}} _ {c1} - {oldsymbol {W}} _ {c2}) + {oldsymbol {(W}} _ {c1} - {oldsymbol {W}} _ {c2}) {oldsymbol {A ^ {T}}} = {oldsymbol {0}}}$

Умножение на ${displaystyle e ^ {{oldsymbol {A}} t}}$ слева и по ${displaystyle e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} t}}$ по праву, приведет нас к

${displaystyle e ^ {{oldsymbol {A}} t} [{oldsymbol {A}} {oldsymbol {(W}} _ {c1} - {oldsymbol {W}} _ {c2}) + {oldsymbol {(W} } _ {c1} - {oldsymbol {W}} _ {c2}) {oldsymbol {A ^ {T}}}] e ^ {{oldsymbol {A ^ {T}}} t} = {frac {d} { dt}} [e ^ {{oldsymbol {A}} t} [({oldsymbol {W}} _ {c1} - {oldsymbol {W}} _ {c2}) e ​​^ {{oldsymbol {A ^ {T} }} t}] = {старый символ {0}}}$

Интеграция из ${displaystyle 0}$ к ${displaystyle infty}$:

${displaystyle [e ^ {{oldsymbol {A}} t} [({oldsymbol {W}} _ {c1} - {oldsymbol {W}} _ {c2}) e ​​^ {{oldsymbol {A ^ {T}}} } t}] | _ {t = 0} ^ {infty} = {oldsymbol {0}}}$

используя тот факт, что ${displaystyle e ^ {{oldsymbol {A}} t} ightarrow 0}$ в качестве ${displaystyle tightarrow infty}$:

${displaystyle {oldsymbol {0}} - ({oldsymbol {W}} _ {c1} - {oldsymbol {W}} _ {c2}) = {oldsymbol {0}}}$

Другими словами, ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c}}$ должно быть уникальным.

Также мы видим, что

${displaystyle {oldsymbol {x ^ {T} W_ {c} x}} = int _ {0} ^ {infty} {oldsymbol {x}} ^ {T} e ^ {{oldsymbol {A}} t} {oldsymbol {BB ^ {T}}} e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} t} {oldsymbol {x}} dt = int _ {0} ^ {infty} leftVert {oldsymbol {B ^ {T} e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} t} {oldsymbol {x}}}} ightVert _ {2} ^ {2} dt}$

положительна при любом t (в невырожденном случае, когда ${displaystyle leftVert {oldsymbol {B ^ {T} e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} t} {oldsymbol {x}}}} ightVert}$ не равно нулю тождественно). Это делает ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c}}$ положительно определенная матрица.

Больше свойств управляемых систем можно найти в,^[1] а также доказательство других эквивалентных утверждений «Пара ${displaystyle ({oldsymbol {A}}, {oldsymbol {B}})}$ управляема », представленная в разделе« Управляемость в системах LTI ».

Системы с дискретным временем

Для систем с дискретным временем как

${displaystyle {egin {array} {c} {oldsymbol {x}} [k + 1] {oldsymbol {= Ax}} [k] + {oldsymbol {Bu}} [k] {oldsymbol {y}} [k ] = {oldsymbol {Cx}} [k] + {oldsymbol {Du}} [k] end {array}}}$

Можно проверить, что есть эквивалентности для утверждения «Пара ${displaystyle ({oldsymbol {A}}, {oldsymbol {B}})}$ управляема »(эквивалентности очень похожи для случая непрерывного времени).

Нас интересует эквивалентность, которая утверждает, что если «пара ${displaystyle ({oldsymbol {A}}, {oldsymbol {B}})}$ управляемо »и все собственные значения ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ иметь величину меньше, чем ${displaystyle 1}$ (${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ устойчиво), то единственное решение

${displaystyle W_ {dc} - {oldsymbol {A}} {oldsymbol {W}} _ {dc} {oldsymbol {A ^ {T}}} = {oldsymbol {BB ^ {T}}}}$

положительно определен и задается

${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {dc} = sum _ {m = 0} ^ {infty} {oldsymbol {A}} ^ {m} {oldsymbol {BB}} ^ {T} ({oldsymbol {A}) } ^ {T}) ^ {m}}$

Это называется грамианом дискретной управляемости. Мы можем легко увидеть соответствие между дискретным временем и случаем непрерывного времени, то есть если мы можем проверить, что ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {dc}}$ положительно определен, и все собственные значения ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ иметь величину меньше, чем ${displaystyle 1}$, система ${displaystyle ({oldsymbol {A}}, {oldsymbol {B}})}$ управляем. Дополнительные свойства и доказательства можно найти в.^[2]

Системы с линейным изменением во времени

Системы с линейным временным вариантом (LTV) имеют вид:

${displaystyle {egin {array} {c} {dot {oldsymbol {x}}} (t) {oldsymbol {= A}} (t) {oldsymbol {x}} (t) + {oldsymbol {B}} (t ) {oldsymbol {u}} (t) {oldsymbol {y}} (t) = {oldsymbol {C}} (t) {oldsymbol {x}} (t) end {array}}}$

То есть матрицы ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$, ${displaystyle {oldsymbol {B}}}$ и ${displaystyle {oldsymbol {C}}}$ есть записи, которые меняются со временем. Опять же, а также в случае непрерывного времени и в случае дискретного времени, может быть интересно обнаружить, если система, заданная парой ${displaystyle ({oldsymbol {A}} (t), {oldsymbol {B}} (t))}$ управляемый или нет. Это можно сделать аналогично предыдущим случаям.

Система ${displaystyle ({oldsymbol {A}} (t), {oldsymbol {B}} (t))}$ контролируется во времени ${displaystyle t_ {0}}$ тогда и только тогда, когда существует конечное ${displaystyle t_ {1}> t_ {0}}$ так что ${displaystyle n imes n}$ матрица, также называемая грамианом управляемости, заданная формулой

${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c} (t_ {0}, t_ {1}) = int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {oldsymbol {Phi}} (t_ {1} , au) {oldsymbol {B}} (au) {oldsymbol {B}} ^ {T} (au) {oldsymbol {Phi}} ^ {T} (t_ {1}, au) d au,}$

куда ${displaystyle {oldsymbol {Phi}} (t, au)}$ - матрица перехода состояний ${displaystyle {oldsymbol {dot {x}}}} = {oldsymbol {A}} (t) {oldsymbol {x}}}$, неособое.

Опять же, у нас есть аналогичный метод, чтобы определить, является ли система управляемой системой или нет.

Свойства ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c} (t_ {0}, t_ {1})}$

У нас есть грамиан управляемости ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c} (t_ {0}, t_ {1})}$ обладают следующим свойством:

${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c} (t_ {0}, t_ {1}) = {oldsymbol {W}} _ {c} (t, t_ {1}) + {oldsymbol {Phi}} ( t_ {1}, t) {oldsymbol {W}} _ {c} (t_ {0}, t) {oldsymbol {Phi}} ^ {T} (t_ {1}, t)}$

что легко увидеть по определению ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c} (t_ {0}, t_ {1})}$ и свойством матрицы перехода состояний, которое утверждает, что:

${displaystyle {oldsymbol {Phi}} (t_ {1}, au) = {oldsymbol {Phi}} (t_ {1}, t) {oldsymbol {Phi}} (t, au)}$

Подробнее о грамиане управляемости можно прочитать в.^[3]

Смотрите также

• Управляемость
• Грамиан наблюдаемости
• Матрица грамиана
• Минимальный контроль энергии
• Сингулярное значение Ганкеля

Рекомендации

внешняя ссылка

• Функция Mathematica для вычисления грамиана управляемости