Уравнение Ляпунова - Википедия - Lyapunov equation

В теория управления, то дискретное уравнение Ляпунова имеет форму

куда это Эрмитова матрица и это сопряженный транспонировать из . В непрерывное уравнение Ляпунова имеет форму: .

Уравнение Ляпунова встречается во многих разделах теории управления, таких как анализ устойчивости и оптимальный контроль. Это и связанные с ним уравнения названы в честь русского математика. Александр Ляпунов.

Применение к стабильности

В следующих теоремах , и и симметричны. Обозначение означает, что матрица является положительно определенный.

Теорема (версия с непрерывным временем). Учитывая любые , существует единственный удовлетворение тогда и только тогда, когда линейная система глобально асимптотически устойчиво. Квадратичная функция это Функция Ляпунова которые можно использовать для проверки стабильности.

Теорема (версия с дискретным временем). Учитывая любые , существует единственный удовлетворение тогда и только тогда, когда линейная система глобально асимптотически устойчиво. Как прежде, является функцией Ляпунова.

Вычислительные аспекты решения

Доступно специализированное программное обеспечение для решения уравнений Ляпунова. Для дискретного случая часто используется метод Шура Китагавы.[1] Для непрерывного уравнения Ляпунова можно использовать метод Бартельса и Стюарта.[2]

Аналитическое решение

Определение оператор как складывание столбцов матрицы и как Кронекер продукт из и , уравнения Ляпунова с непрерывным и дискретным временем могут быть выражены как решения матричного уравнения. Кроме того, если матрица является стабильным, решение также может быть выражено как интеграл (случай непрерывного времени) или как бесконечная сумма (случай дискретного времени).

Дискретное время

Используя результат, , надо

куда это соответствующий единичная матрица.[3] Затем можно решить для путем обращения или решения линейных уравнений. Получить , нужно просто изменить форму соответственно.

Более того, если стабильно, решение также можно записать как

.

Для сравнения рассмотрим одномерный случай, где это просто говорит о том, что решение является .

Непрерывное время

Используя снова обозначение произведения Кронекера и оператор векторизации, мы получаем матричное уравнение

куда обозначает матрицу, полученную комплексным сопряжением элементов .

Аналогично случаю дискретного времени, если стабильно, решение также можно записать как

.

Для сравнения рассмотрим одномерный случай, где это просто говорит о том, что решение является .

Связь дискретных и непрерывных уравнений Ляпунова.

Начнем с линейной динамики в непрерывном времени:

.

А затем дискретизируйте его следующим образом:

Где указывает на небольшое смещение вперед во времени. Подставляя нижнее уравнение в верхнее и перемешивая члены, мы получаем уравнение с дискретным временем для .

Где мы определили . Теперь мы можем использовать уравнение Ляпунова с дискретным временем для  :

Подключаем наше определение для , мы получили:

Расширение этого выражения дает:

Напомним, что это небольшое смещение во времени. Сдача стремление к нулю приближает нас к непрерывной динамике - и в пределе мы ее достигаем. Само собой разумеется, что мы должны также восстановить в пределе уравнения Ляпунова с непрерывным временем. Разделение на с обеих сторон, а затем позволяя мы находим, что:

которое является уравнением Ляпунова с непрерывным временем.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Китагава, Г. (1977). «Алгоритм решения матричного уравнения X = F X F '+ S». Международный журнал контроля. 25 (5): 745–753. Дои:10.1080/00207177708922266.
  2. ^ Bartels, R.H .; Стюарт, Г. У. (1972). «Алгоритм 432: Решение матричного уравнения AX + XB = C». Comm. ACM. 15 (9): 820–826. Дои:10.1145/361573.361582.
  3. ^ Гамильтон, Дж. (1994). Анализ временных рядов. Издательство Принстонского университета. Уравнения 10.2.13 и 10.2.18. ISBN  0-691-04289-6.