Уравнение Ляпунова - Википедия - Lyapunov equation

В теория управления, то дискретное уравнение Ляпунова имеет форму

{ displaystyle AXA ^ {H} -X + Q = 0}

куда ${ displaystyle Q}$ это Эрмитова матрица и ${ displaystyle A ^ {H}}$ это сопряженный транспонировать из ${ displaystyle A}$ . В непрерывное уравнение Ляпунова имеет форму: ${ displaystyle AX + XA ^ {H} + Q = 0}$ .

Уравнение Ляпунова встречается во многих разделах теории управления, таких как анализ устойчивости и оптимальный контроль. Это и связанные с ним уравнения названы в честь русского математика. Александр Ляпунов.

Применение к стабильности

В следующих теоремах ${ Displaystyle А, Р, Q in mathbb {R} ^ {п раз п}}$ , и ${ displaystyle P}$ и ${ displaystyle Q}$ симметричны. Обозначение ${ displaystyle P> 0}$ означает, что матрица ${ displaystyle P}$ является положительно определенный.

Теорема (версия с непрерывным временем). Учитывая любые ${ displaystyle Q> 0}$ , существует единственный ${ displaystyle P> 0}$ удовлетворение ${ displaystyle A ^ {T} P + PA + Q = 0}$ тогда и только тогда, когда линейная система ${ displaystyle { dot {x}} = Ax}$ глобально асимптотически устойчиво. Квадратичная функция ${ Displaystyle V (х) = х ^ {T} Px}$ это Функция Ляпунова которые можно использовать для проверки стабильности.

Теорема (версия с дискретным временем). Учитывая любые ${ displaystyle Q> 0}$ , существует единственный ${ displaystyle P> 0}$ удовлетворение ${ displaystyle A ^ {T} PA-P + Q = 0}$ тогда и только тогда, когда линейная система ${ displaystyle x_ {t + 1} = Ax_ {t}}$ глобально асимптотически устойчиво. Как прежде, ${ displaystyle z ^ {T} Pz}$ является функцией Ляпунова.

Вычислительные аспекты решения

Доступно специализированное программное обеспечение для решения уравнений Ляпунова. Для дискретного случая часто используется метод Шура Китагавы.^[1] Для непрерывного уравнения Ляпунова можно использовать метод Бартельса и Стюарта.^[2]

Аналитическое решение

Определение ${ displaystyle operatorname {vec} (A)}$ оператор как складывание столбцов матрицы ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle A otimes B}$ как Кронекер продукт из ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ , уравнения Ляпунова с непрерывным и дискретным временем могут быть выражены как решения матричного уравнения. Кроме того, если матрица ${ displaystyle A}$ является стабильным, решение также может быть выражено как интеграл (случай непрерывного времени) или как бесконечная сумма (случай дискретного времени).

Дискретное время

Используя результат, ${ Displaystyle OperatorName {vec} (ABC) = (C ^ {T} otimes A) operatorname {vec} (B)}$ , надо

{ displaystyle (I_ {n ^ {2}} - { bar {A}} otimes A) operatorname {vec} (X) = operatorname {vec} (Q)}

куда ${ Displaystyle I_ {п ^ {2}}}$ это соответствующий единичная матрица.^[3] Затем можно решить для ${ displaystyle operatorname {vec} (X)}$ путем обращения или решения линейных уравнений. Получить ${ displaystyle X}$ , нужно просто изменить форму ${ displaystyle operatorname {vec} (X)}$ соответственно.

Более того, если ${ displaystyle A}$ стабильно, решение ${ displaystyle X}$ также можно записать как

{ displaystyle X = sum _ {k = 0} ^ { infty} A ^ {k} Q (A ^ {H}) ^ {k}}

.

Для сравнения рассмотрим одномерный случай, где это просто говорит о том, что решение ${ Displaystyle (1-а ^ {2}) , х = д}$ является ${ displaystyle x = { tfrac {q} {1-a ^ {2}}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} q , a ^ {2k}}$ .

Непрерывное время

Используя снова обозначение произведения Кронекера и оператор векторизации, мы получаем матричное уравнение

{ displaystyle (I_ {n} otimes A + { bar {A}} otimes I_ {n}) operatorname {vec} X = - operatorname {vec} Q,}

куда ${ displaystyle { bar {A}}}$ обозначает матрицу, полученную комплексным сопряжением элементов ${ displaystyle A}$ .

Аналогично случаю дискретного времени, если ${ displaystyle A}$ стабильно, решение ${ displaystyle X}$ также можно записать как

{ displaystyle X = int limits _ {0} ^ { infty} mathrm {e} ^ {A , tau} Q mathrm {e} ^ {A ^ {H} , tau} d тау}

.

Для сравнения рассмотрим одномерный случай, где это просто говорит о том, что решение ${ Displaystyle 2 , а , х = -q}$ является ${ Displaystyle х = { tfrac {-q} {2 , a}} = int _ {0} ^ { infty} q , mathrm {e} ^ {2 , a , tau} д тау}$ .

Связь дискретных и непрерывных уравнений Ляпунова.

Начнем с линейной динамики в непрерывном времени:

{ Displaystyle { точка { mathbf {x}}} = mathbf {A} mathbf {x}}

.

А затем дискретизируйте его следующим образом:

{ displaystyle { dot { mathbf {x}}} приблизительно { frac { mathbf {x} _ {t + 1} - mathbf {x} _ {t}} { delta}}}

Где ${ displaystyle delta> 0}$ указывает на небольшое смещение вперед во времени. Подставляя нижнее уравнение в верхнее и перемешивая члены, мы получаем уравнение с дискретным временем для ${ Displaystyle mathbf {х} _ {т + 1}}$ .

${ displaystyle mathbf {x} _ {t + 1} = mathbf {x} _ {t} + delta mathbf {A} mathbf {x} _ {t} = ( mathbf {I} + дельта mathbf {A}) mathbf {x} _ {t} = mathbf {B} mathbf {x} _ {t}}$

Где мы определили ${ Displaystyle mathbf {B} Equiv mathbf {I} + delta mathbf {A}}$ . Теперь мы можем использовать уравнение Ляпунова с дискретным временем для ${ displaystyle mathbf {B}}$ :

${ displaystyle mathbf {B} ^ {T} mathbf {M} mathbf {B} - mathbf {M} = - delta mathbf {Q}}$

Подключаем наше определение для ${ displaystyle mathbf {B}}$ , мы получили:

${ displaystyle ( mathbf {I} + delta mathbf {A}) ^ {T} mathbf {M} ( mathbf {I} + delta mathbf {A}) - mathbf {M} = - delta mathbf {Q}}$

Расширение этого выражения дает:

${ displaystyle ( mathbf {M} + delta mathbf {A} ^ {T} mathbf {M}) ( mathbf {I} + delta mathbf {A}) = delta ( mathbf {A } ^ {T} mathbf {M} + mathbf {M} mathbf {A}) + delta ^ {2} mathbf {A} ^ {T} mathbf {M} mathbf {A} = - delta mathbf {Q}}$

Напомним, что ${ displaystyle delta}$ это небольшое смещение во времени. Сдача ${ displaystyle delta}$ стремление к нулю приближает нас к непрерывной динамике - и в пределе мы ее достигаем. Само собой разумеется, что мы должны также восстановить в пределе уравнения Ляпунова с непрерывным временем. Разделение на ${ displaystyle delta}$ с обеих сторон, а затем позволяя ${ displaystyle delta rightarrow 0}$ мы находим, что:

 ${ Displaystyle mathbf {A} ^ {T} mathbf {M} + mathbf {M} mathbf {A} = - mathbf {Q}}$

которое является уравнением Ляпунова с непрерывным временем.