Функция Ляпунова - Lyapunov function

В теории обыкновенные дифференциальные уравнения (ODE), Функции Ляпунова - скалярные функции, которые можно использовать для доказательства устойчивости равновесие ODE. Названный в честь русский математик Александр Михайлович Ляпунов, Функции Ляпунова (также называемые вторым методом Ляпунова устойчивости) важны для теория устойчивости из динамические системы и теория управления. Аналогичное понятие появляется в теории общего пространства состояний. Цепи Маркова, обычно называемые функциями Фостера – Ляпунова.

Для некоторых классов ОДУ существование функций Ляпунова является необходимым и достаточным условием устойчивости. В то время как не существует общей техники построения функций Ляпунова для ОДУ, во многих частных случаях конструкция функций Ляпунова известна. Например, квадратичный функций достаточно для систем с одним состоянием; решение конкретного линейное матричное неравенство предоставляет функции Ляпунова для линейных систем; и законы сохранения часто можно использовать для построения функций Ляпунова для физические системы.

Определение

Функция Ляпунова для автономного динамическая система

{ displaystyle { begin {cases} g: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {n} { dot {y}} = g (y) end {cases} }}

с точкой равновесия в ${ displaystyle y = 0}$ это скалярная функция ${ Displaystyle V: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ которая непрерывна, имеет непрерывные первые производные, строго положительна и для которой ${ displaystyle - nabla {V} cdot g}$ также строго положительный. Условие, что ${ displaystyle - nabla {V} cdot g}$ строго положительный иногда указывается как ${ displaystyle - nabla {V} cdot g}$ является "локально положительно определенным", или ${ displaystyle nabla {V} cdot g}$ является «локально отрицательно определенным».

Дальнейшее обсуждение терминов, входящих в определение

Функции Ляпунова возникают при изучении точек равновесия динамических систем. В ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n},}$ произвольный автономный динамическая система можно записать как

{ Displaystyle { точка {у}} = г (у)}

для некоторых гладких ${ displaystyle g: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {n}.}$

Точка равновесия - это точка ${ displaystyle y ^ {*}}$ такой, что ${ displaystyle g (y ^ {*}) = 0.}$ Учитывая точку равновесия, ${ displaystyle y ^ {*},}$ всегда существует преобразование координат ${ Displaystyle х = у-у ^ {*},}$ такой, что:

{ displaystyle { begin {cases} { dot {x}} = { dot {y}} = g (y) = g (x + y ^ {*}) = f (x) f (0 ) = 0 end {case}}}

Таким образом, при изучении точек равновесия достаточно предположить, что точка равновесия находится в ${ displaystyle 0}$ .

По цепному правилу для любой функции ${ Displaystyle H: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R},}$ производная по времени от функции, вычисленной по решению динамической системы, равна

{ displaystyle { dot {H}} = { frac {d} {dt}} H (x (t)) = { frac { partial H} { partial x}} cdot { frac {dx } {dt}} = nabla H cdot { dot {x}} = nabla H cdot f (x).}

Функция ${ displaystyle H}$ определяется как локально положительно определенная функция (в смысле динамических систем), если оба ${ Displaystyle H (0) = 0}$ и есть окрестности начала координат, ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ , такое, что:

{ displaystyle H (x)> 0 quad forall x in { mathcal {B}} setminus {0 }.}

Основные теоремы Ляпунова для автономных систем

Позволять ${ displaystyle x ^ {*} = 0}$ быть равновесием автономной системы

{ displaystyle { dot {x}} = f (x).}

и используйте обозначение ${ Displaystyle { точка {V}} (х)}$ для обозначения производной по времени функции-кандидата Ляпунова ${ displaystyle V}$ :

{ displaystyle { dot {V}} (x) = { frac {d} {dt}} V (x (t)) = { frac { partial V} { partial x}} cdot { frac {dx} {dt}} = nabla V cdot { dot {x}} = nabla V cdot f (x).}

Локально асимптотически устойчивое равновесие

Если равновесие изолировано, функция-кандидат Ляпунова ${ displaystyle V}$ локально положительно определен, а производная по времени функции-кандидата Ляпунова локально отрицательно определена:

{ Displaystyle { точка {V}} (х) <0 quad forall x in { mathcal {B}} setminus {0 }}

для некоторого района ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ происхождения, то доказывается, что равновесие локально асимптотически устойчиво.

Стабильное равновесие

Если ${ displaystyle V}$ является функцией Ляпунова, то положение равновесия Конюшня Ляпунова.

Верно и обратное, что было доказано Дж. Л. Массера.

Глобально асимптотически устойчивое равновесие

Если функция-кандидат Ляпунова ${ displaystyle V}$ глобально положительно определен, радиально неограниченный, изолированное равновесие и производная по времени функции-кандидата Ляпунова глобально отрицательно определена:

{ Displaystyle { точка {V}} (х) <0 quad forall x in mathbb {R} ^ {n} setminus {0 },}

то доказывается, что равновесие глобально асимптотически устойчивый.

Функция Ляпунова-кандидата ${ Displaystyle V (х)}$ радиально неограничен, если

{ Displaystyle | х | к infty Rightarrow V (x) к infty.}

(Это также называется норма-коэрцитивностью.)

Пример

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение с решением ${ displaystyle x}$ на ${ Displaystyle mathbb {R}}$ :

{ displaystyle { dot {x}} = - x.}

Учитывая, что ${ displaystyle x ^ {2}}$ всегда положительна в отношении происхождения, это естественный кандидат на роль функции Ляпунова, чтобы помочь нам изучить ${ displaystyle x}$ .Так что давайте ${ Displaystyle V (х) = х ^ {2}}$ на ${ Displaystyle mathbb {R}}$ . Потом,

{ displaystyle { dot {V}} (x) = V '(x) { dot {x}} = 2x cdot (-x) = - 2x ^ {2} <0.}

Это правильно показывает, что приведенное выше дифференциальное уравнение, ${ displaystyle x,}$ асимптотически устойчиво относительно начала координат. Обратите внимание, что с помощью того же кандидата Ляпунова можно показать, что равновесие также глобально асимптотически устойчиво.

Смотрите также

внешняя ссылка

Пример определения устойчивости равновесного решения системы ОДУ с функцией Ляпунова