Теория устойчивости - Stability theory

В математика, теория устойчивости обращается к устойчивости решений дифференциальные уравнения и траекторий динамические системы при малых возмущениях начальных условий. В уравнение теплопроводности, например, является устойчивым уравнением в частных производных, поскольку небольшие возмущения начальных данных приводят к небольшим изменениям температуры в более позднее время в результате принцип максимума. В уравнениях с частными производными можно измерить расстояния между функциями, используя L^п нормы или sup norm, в то время как в дифференциальной геометрии расстояние между пространствами можно измерить с помощью Расстояние Громова – Хаусдорфа.

В динамических системах орбита называется Конюшня Ляпунова если прямая орбита какой-либо точки находится в достаточно маленьком окружении или остается в маленьком (но, возможно, более крупном) окружении. Были разработаны различные критерии для доказательства устойчивости или нестабильности орбиты. При благоприятных обстоятельствах вопрос может быть сведен к хорошо изученной проблеме, связанной с собственные значения из матрицы. Более общий метод включает Функции Ляпунова. На практике любой из множества различных критерии устойчивости применяются.

Классификация диаграмм устойчивости Карты Пуанкаре как стабильные или нестабильные в зависимости от их характеристик. Стабильность обычно увеличивается слева от диаграммы.^[1]

Обзор в динамических системах

Многие части качественная теория дифференциальных уравнений а динамические системы имеют дело с асимптотическими свойствами решений и траекторий - что происходит с системой через длительный период времени. Самый простой вид поведения демонстрирует точки равновесия, или неподвижные точки, и периодические орбиты. Если конкретная орбита хорошо изучена, естественно спросить, приведет ли небольшое изменение начального состояния к аналогичному поведению. Теория стабильности решает следующие вопросы: будет ли ближайшая орбита бесконечно оставаться близкой к данной орбите? Сойдется ли он на заданную орбиту? В первом случае орбита называется стабильный; в последнем случае он называется асимптотически устойчивый и данная орбита называется привлечение.

Равновесное решение ${displaystyle f_ {e}}$ к автономной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка называется:

стабильно, если для каждого (малого) ${displaystyle epsilon> 0}$ , существует ${displaystyle delta> 0}$ так что каждое решение ${displaystyle f (t)}$ имея начальные условия на расстоянии ${displaystyle delta}$ т.е. ${displaystyle | f (t_ {0}) - f_ {e} | <дельта}$ равновесия остается на расстоянии ${displaystyle epsilon}$ т.е. ${displaystyle | f (t) -f_ {e} | <эпсилон}$ для всех ${displaystyle tgeq t_ {0}}$ .
асимптотически устойчив, если он устойчив и, кроме того, существует ${displaystyle delta _ {0}> 0}$ так что всякий раз, когда ${displaystyle | f (t_ {0}) - f_ {e} | <дельта _ {0}}$ тогда ${displaystyle f (t) ightarrow f_ {e}}$ в качестве ${displaystyle tightarrow infty}$ .

Устойчивость означает, что траектории не слишком сильно меняются при малых возмущениях. Интересна и обратная ситуация, когда ближайшая орбита отталкивается от данной орбиты. В общем случае возмущение начального состояния в одних направлениях приводит к асимптотическому приближению траектории к заданной, а в других направлениях - к траектории, уходящей от нее. Также могут быть направления, для которых поведение возмущенной орбиты более сложно (ни сходится, ни уходит полностью), и тогда теория устойчивости не дает достаточной информации о динамике.

Одна из ключевых идей теории устойчивости состоит в том, что качественное поведение орбиты при возмущениях может быть проанализировано с помощью линеаризация системы вблизи орбиты. В частности, при каждом состоянии равновесия гладкой динамической системы с п-размерный фазовое пространство, есть определенный п×п матрица А чей собственные значения характеризуют поведение ближайших точек (Теорема Хартмана – Гробмана. ). Точнее, если все собственные значения отрицательны действительные числа или же сложные числа с отрицательными действительными частями, то точка является устойчивой притягивающей фиксированной точкой, а близлежащие точки сходятся к ней в точке экспоненциальный ставка, ср Ляпуновская устойчивость и экспоненциальная устойчивость. Если ни одно из собственных значений не является чисто мнимым (или нулевым), то направления притяжения и отталкивания связаны с собственными подпространствами матрицы А с собственными значениями, действительная часть которых отрицательна и, соответственно, положительна. Аналогичные утверждения известны для возмущений более сложных орбит.

Устойчивость неподвижных точек

Самый простой вид орбиты - это неподвижная точка или состояние равновесия. Если механическая система находится в устойчивом состоянии равновесия, то небольшой толчок приведет к локализованному движению, например, небольшому колебания как в случае с маятник. В системе с демпфирование, устойчивое состояние равновесия, кроме того, асимптотически устойчиво. С другой стороны, для нестабильного равновесия, такого как мяч, покоящийся на вершине холма, некоторые небольшие толчки приведут к движению с большой амплитудой, которое может или не может сходиться к исходному состоянию.

Есть полезные тесты устойчивости для случая линейной системы. Об устойчивости нелинейной системы часто можно судить по устойчивости ее линеаризация.

Карты

Позволять $ж : р \to р$ быть непрерывно дифференцируемая функция с фиксированной точкой $а$ , $ж (а) = а$ . Рассмотрим динамическую систему, полученную повторением функции $ж$ :

{displaystyle x_ {n + 1} = f (x_ {n}), quad n = 0,1,2, ldots.}

Фиксированная точка $а$ стабильно, если абсолютная величина из производная из $ж$ в $а$ строго меньше 1 и нестабильно, если строго больше 1. Это потому, что рядом с точкой $а$ , функция $ж$ имеет линейное приближение с уклоном $f ' (а)$ :

{displaystyle f (x) приблизительно f (a) + f '(a) (x-a).}

Таким образом

{displaystyle x_ {n + 1} -x_ {n} = f (x_ {n}) - x_ {n} simeq f (a) + f '(a) (x_ {n} -a) -x_ {n} = a + f '(a) (x_ {n} -a) -x_ {n} = (f' (a) -1) (x_ {n} -a) o {frac {x_ {n + 1} - x_ {n}} {x_ {n} -a}} = f '(a) -1}

что означает, что производная измеряет скорость, с которой последовательные итерации приближаются к фиксированной точке $а$ или отклониться от него. Если производная при $а$ равно 1 или -1, то для определения стабильности требуется больше информации.

Есть аналогичный критерий для непрерывно дифференцируемого отображения $ж : р п \to р п$ с фиксированной точкой $а$ , выраженное в Матрица якобиана в $а$ , $J а (ж)$ . Я упал собственные значения из $J$ являются действительными или комплексными числами с абсолютным значением строго меньше 1, тогда $а$ стабильная неподвижная точка; если хотя бы один из них имеет абсолютное значение строго больше 1, то $а$ нестабильно. Как и для $п$ = 1, случай, когда наибольшее абсолютное значение равно 1, требует дальнейшего исследования - тест матрицы Якоби не дает результатов. Тот же самый критерий выполняется в более общем случае для диффеоморфизмы из гладкое многообразие.

Линейные автономные системы

Устойчивость неподвижных точек системы постоянного коэффициента линейные дифференциальные уравнения первого порядка можно проанализировать с помощью собственные значения соответствующей матрицы.

An автономная система

{displaystyle x '= Ax,}

куда $Икс (т) \in р п$ и $А$ является $п \times п$ матрица с действительными элементами, имеет постоянное решение

{displaystyle x (t) = 0.}

(На другом языке происхождение $0 \in р п$ является точкой равновесия соответствующей динамической системы.) Это решение асимптотически устойчиво при $т \to \infty$ («в будущем») тогда и только тогда, когда для всех собственных значений $λ$ из $А$ , $Re (λ) < 0$ . Точно так же он асимптотически устойчив при $т \to -\infty$ («в прошлом») тогда и только тогда, когда для всех собственных значений $λ$ из $А$ , $Re (λ) > 0$ . Если существует собственное значение $λ$ из $А$ с $Re (λ) > 0$ то решение неустойчиво для $т \to \infty$ .

Применение этого результата на практике для определения устойчивости начала координат линейной системы облегчается тем, что Критерий устойчивости Рауса – Гурвица.. Собственные значения матрицы - это корни ее характеристический многочлен. Многочлен от одной переменной с действительными коэффициентами называется Многочлен Гурвица если действительные части всех корней строго отрицательны. В Теорема Рауса – Гурвица подразумевает характеризацию полиномов Гурвица с помощью алгоритма, который избегает вычисления корней.

Нелинейные автономные системы

Асимптотическую устойчивость неподвижных точек нелинейной системы часто можно установить с помощью Теорема Хартмана – Гробмана..

Предположим, что $v$ это $C 1$ -векторное поле в $р п$ который исчезает в точке $п$ , $v (п) = 0$ . Тогда соответствующая автономная система

{displaystyle x '= v (x)}

имеет постоянное решение

{displaystyle x (t) = p.}

Позволять $J п (v)$ быть $п \times п$ Матрица якобиана векторного поля $v$ в момент $п$ . Если все собственные значения $J$ имеют строго отрицательную действительную часть, то решение асимптотически устойчиво. Это условие можно проверить с помощью Критерий Рауса-Гурвица.

Функция Ляпунова для общих динамических систем

Общий способ установить Ляпуновская устойчивость или асимптотическая устойчивость динамической системы с помощью Функции Ляпунова.

Смотрите также

внешняя ссылка

Стабильное равновесие Майкл Шрайбер, Демонстрационный проект Wolfram.

[1] Математика Эгвальда - Линейная алгебра: системы линейных дифференциальных уравнений: анализ линейной устойчивости По состоянию на 10 октября 2019 г.

[1]