Линейная устойчивость - Linear stability

В математике, в теории дифференциальные уравнения и динамические системы, конкретный стационарное или квазистационарное решение к нелинейной системе называется линейно неустойчивый если линеаризация уравнения при этом решении имеет вид ${displaystyle {frac {dr} {dt}} = Ar}$, куда А линейный оператор чей спектр содержит собственные значения с положительный реальная часть. Если все собственные значения имеют отрицательный действительная часть, тогда решение называется линейно стабильный. Другие названия линейной устойчивости включают экспоненциальная устойчивость или же устойчивость по первому приближению.^[1][2] Если существует собственное значение с нуль В действительности же вопрос об устойчивости не может быть решен на основе первого приближения, и мы подходим к так называемой «проблеме центра и фокуса».^[3]

Пример 1: ODE

Дифференциальное уравнение

${displaystyle {frac {dx} {dt}} = x-x ^ {2}}$

имеет два стационарных (не зависящих от времени) решения: Икс = 0 и Икс = 1, линеаризация при Икс = 0 имеет вид${displaystyle {frac {dx} {dt}} = x}$. Линеаризованный оператор А₀ = 1. Единственное собственное значение ${displaystyle lambda = 1}$. Решения этого уравнения растут экспоненциально; стационарная точка Икс = 0 линейно неустойчиво.

Чтобы получить линеаризацию при Икс = 1, пишут${displaystyle {frac {dr} {dt}} = (1 + r) - (1 + r) ^ {2} = - r-r ^ {2}}$, куда р = Икс - 1. Тогда линеаризованное уравнение имеет вид ${displaystyle {frac {dr} {dt}} = - r}$; линеаризованный оператор А₁ = −1, единственное собственное значение ${displaystyle lambda = -1}$, следовательно, эта стационарная точка линейно устойчива.

Пример 2: NLS

В нелинейное уравнение Шредингера

${displaystyle i {frac {partial u} {partial t}} = - {frac {partial ^ {2} u} {partial x ^ {2}}} - | u | ^ {2k} u}$, куда ты(Икс,т) ∈ ℂ и k > 0,

имеет уединенные волновые решения формы ${displaystyle phi (x) e ^ {- iomega t}}$.^[4]Для вывода линеаризации на уединенной волне решение рассматривается в виде${displaystyle u (x, t) = (phi (x) + r (x, t)) e ^ {- iomega t}}$. Линеаризованное уравнение на ${displaystyle r (x, t)}$дан кем-то

${displaystyle {frac {partial} {partial t}} {egin {bmatrix} {ext {Re}}, r {ext {Im}}, rend {bmatrix}} = A {egin {bmatrix} {ext {Re} }, r {ext {Im}}, rend {bmatrix}},}$

куда

${displaystyle A = {egin {bmatrix} 0 & L_ {0} - L_ {1} & 0end {bmatrix}},}$

с

${displaystyle L_ {0} = - {frac {partial} {partial x ^ {2}}} - kphi ^ {2} -omega}$

и

${displaystyle L_ {1} = - {frac {partial} {partial x ^ {2}}} - (2k + 1) phi ^ {2} -omega}$

то дифференциальные операторы.В соответствии с Критерий устойчивости Вахитова – Колоколова.,^[5]когда k > 2 спектр А имеет положительные точечные собственные значения, так что линеаризованное уравнение линейно (экспоненциально) неустойчиво; для 0 <k ≤ 2 спектр А является чисто мнимым, так что соответствующие уединенные волны линейно устойчивы.

Следует отметить, что линейная устойчивость не подразумевает автоматически устойчивость, в частности, когда k = 2, уединенные волны неустойчивы. С другой стороны, при 0 <k <2, уединенные волны не только линейно устойчивы, но и орбитально стабильный.^[6]

Смотрите также

• Асимптотическая устойчивость
• Линеаризация (анализ устойчивости)
• Ляпуновская устойчивость
• Орбитальная стабильность
• Теория устойчивости
• Критерий устойчивости Вахитова – Колоколова.

Рекомендации