Критерий устойчивости Вахитова – Колоколова. - Vakhitov–Kolokolov stability criterion

В Критерий устойчивости Вахитова – Колоколова. это условие за линейная устойчивость (иногда называют спектральная стабильность) из уединенные волновые решения широкому классу U(1) -инвариантный Гамильтоновы системы имени советских ученых Александра Александровича Колоколова и Назиба Вахитова Назиба Галиевич Вахитов. Условие линейной устойчивости уединенная волна ${ Displaystyle и (х, т) = фи _ { омега} (х) е ^ {- я омега т} ,}$ с частотой ${ displaystyle omega ,}$ имеет форму

${ displaystyle { frac {d} {d omega}} Q ( omega) <0,}$

куда ${ Displaystyle Q ( omega) ,}$ это обвинять (или же импульс ) уединенной волны${ Displaystyle phi _ { omega} (х) е ^ {- я омега т} ,}$, сохраненный Теорема Нётер из-за U(1) -инвариантность системы.

Оригинальная рецептура

Первоначально этот критерий был получен для нелинейное уравнение Шредингера,

${ displaystyle i { frac { partial} { partial t}} u (x, t) = - { frac { partial ^ {2}} { partial x ^ {2}}} u (x, t) + g (| u (x, t) | ^ {2}) u (x, t),}$

куда ${ Displaystyle х в mathbb {R} ,}$, ${ Displaystyle т в mathbb {R}}$,и ${ Displaystyle г в С ^ { infty} ( mathbb {R})}$ - гладкая вещественнозначная функция. ${ Displaystyle и (х, т) ,}$ предполагается комплексный.Поскольку уравнение U(1) -инвариантным, по Теорема Нётер, он имеет интеграл движения,${ displaystyle Q (u) = { frac {1} {2}} int _ { mathbb {R}} | u (x, t) | ^ {2} , dx}$, который называется обвинять или же импульс, в зависимости от рассматриваемой модели.Для широкого класса функций ${ displaystyle g ,}$, нелинейное уравнение Шредингера допускает уединенные волновые решения вида${ Displaystyle и (х, т) = фи _ { омега} (х) е ^ {- я омега т} ,}$, куда ${ displaystyle omega in mathbb {R}}$и ${ Displaystyle phi _ { omega} (х) ,}$ распадается на большие ${ Displaystyle х ,}$(часто требуется, чтобы ${ Displaystyle phi _ { omega} (х) ,}$ принадлежит к Соболевское пространство ${ Displaystyle Н ^ {1} ( mathbb {R} ^ {п})}$Обычно такие решения существуют для ${ displaystyle omega ,}$ из отрезка или набора отрезков вещественной прямой. критерий устойчивости Вахитова – Колоколова,^[1][2][3][4]

${ displaystyle { frac {d} {d omega}} Q ( phi _ { omega}) <0,}$

является условием спектральной устойчивости решения уединенной волны, а именно, если это условие выполняется при определенном значении ${ displaystyle omega ,}$, то линеаризация на уединенной волне с этим ${ displaystyle omega ,}$ не имеет спектра в правой полуплоскости.

Этот результат основан на более ранней работе^[5] к Владимир Захаров.

Обобщения

Этот результат был обобщен на абстрактные Гамильтоновы системы с U(1) -инвариантность.^[6]Было показано, что в достаточно общих условиях критерий устойчивости Вахитова – Колоколова гарантирует не только спектральную устойчивость, но и орбитальная устойчивость уединенных волн.

Обобщено условие устойчивости.^[7]к решениям бегущей волны обобщенное уравнение Кортевега – де Фриза формы

${ displaystyle partial _ {t} u + partial _ {x} ^ {3} u + partial _ {x} f (u) = 0 ,}$.

Условие устойчивости было также обобщено на гамильтоновы системы с более общим группа симметрии.^[8]

Смотрите также

• Теорема Деррика
• Линейная устойчивость
• Ляпуновская устойчивость
• Нелинейное уравнение Шредингера.
• Орбитальная стабильность

Рекомендации