Теорема Хартмана – Гробмана - Википедия - Hartman–Grobman theorem

В математика, при изучении динамические системы, то Теорема Хартмана – Гробмана. или же теорема о линеаризации это теорема о локальном поведении динамических систем в район из точка гиперболического равновесия. Он утверждает, что линеаризация - естественное упрощение системы - эффективно предсказывает качественные модели поведения. Своим названием теорема обязана Филип Хартман и Дэвид М. Гробман.

Теорема утверждает, что поведение динамической системы в области вблизи точки гиперболического равновесия качественно совпадает с поведением ее линеаризация вблизи этой точки равновесия, где гиперболичность означает, что никакое собственное значение линеаризации не имеет действительной части, равной нулю. Следовательно, имея дело с такими динамическими системами, можно использовать более простую линеаризацию системы для анализа ее поведения вокруг положений равновесия.^[1]

Основная теорема

Рассмотрим систему, развивающуюся вместе с государством. ${ Displaystyle и (т) в mathbb {R} ^ {п}}$ которое удовлетворяет дифференциальному уравнению ${ displaystyle du / dt = f (u)}$ для некоторых гладкая карта ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {n}}$ . Предположим, что карта имеет состояние гиперболического равновесия ${ Displaystyle и ^ {*} в mathbb {R} ^ {п}}$ : то есть, ${ displaystyle f (u ^ {*}) = 0}$ и Матрица якобиана ${ displaystyle A = [ partial f_ {i} / partial x_ {j}]}$ из ${ displaystyle f}$ в состоянии ${ displaystyle u ^ {*}}$ не имеет собственное значение с действительной частью, равной нулю. Тогда существует окрестность ${ displaystyle N}$ равновесия ${ displaystyle u ^ {*}}$ и гомеоморфизм ${ displaystyle h: N to mathbb {R} ^ {n}}$ , так что ${ Displaystyle ч (и ^ {*}) = 0}$ и такой, что по соседству ${ displaystyle N}$ то поток из ${ displaystyle du / dt = f (u)}$ является топологически сопряженный непрерывным отображением ${ Displaystyle U = час (и)}$ к потоку его линеаризации ${ displaystyle dU / dt = AU}$ .^[2]^[3]^[4]^[5]

Даже для бесконечно дифференцируемых отображений ${ displaystyle f}$ , гомеоморфизм ${ displaystyle h}$ не обязательно быть гладкими или даже локально липшицевыми. Однако оказывается Гёльдер непрерывный, с показателем, зависящим от константы гиперболичности ${ displaystyle A}$ .^[6]

Теорема Хартмана – Гробмана была распространена на бесконечномерные банаховы пространства, неавтономные системы. ${ displaystyle du / dt = f (u, t)}$ (потенциально стохастический) и для учета топологических различий, возникающих при наличии собственных значений с нулевой или близкой к нулю действительной частью.^[7]^[8]^[9]^[10]

Пример

Алгебра, необходимая для этого примера, легко выполняется веб-службой, которая вычисляет нормальная форма координатные преобразования систем дифференциальных уравнений, автономных или неавтономных, детерминированных или стохастический.^[11]

Рассмотрим двумерную систему в переменных ${ Displaystyle и = (у, г)}$ эволюционирует согласно паре связанных дифференциальных уравнений

{ displaystyle { frac {dy} {dt}} = - 3y + yz quad { text {and}} quad { frac {dz} {dt}} = z + y ^ {2}.}

Прямым вычислением можно увидеть, что единственное равновесие этой системы находится в начале координат, то есть ${ displaystyle u ^ {*} = 0}$ . Координатное преобразование, ${ displaystyle u = h ^ {- 1} (U)}$ куда ${ Displaystyle U = (Y, Z)}$ , данный

{ displaystyle { begin {align} y & приблизительно Y + YZ + { dfrac {1} {42}} Y ^ {3} + { dfrac {1} {2}} YZ ^ {2} [5pt ] z & приблизительно Z - { dfrac {1} {7}} Y ^ {2} - { dfrac {1} {3}} Y ^ {2} Z end {align}}}

это плавная карта между исходным ${ Displaystyle и = (у, г)}$ и новые ${ Displaystyle U = (Y, Z)}$ координаты, по крайней мере, около положения равновесия в начале координат. В новых координатах динамическая система переходит в свою линеаризацию

{ displaystyle { frac {dY} {dt}} = - 3Y quad { text {and}} quad { frac {dZ} {dt}} = Z.}

То есть искаженная версия линеаризации дает исходную динамику в некоторой конечной окрестности.

Смотрите также

Теорема о стабильном многообразии

дальнейшее чтение

Ирвин, Майкл С. (2001). «Линеаризация». Гладкие динамические системы. World Scientific. С. 109–142. ISBN 981-02-4599-8.
Перко, Лоуренс (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы. (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 119–127. ISBN 0-387-95116-4.
Робинсон, Кларк (1995). Динамические системы: стабильность, символическая динамика и хаос. Бока-Ратон: CRC Press. С. 156–165. ISBN 0-8493-8493-1.

внешняя ссылка

Coayla-Teran, E .; Mohammed, S .; Руффино, П. (февраль 2007 г.). "Теоремы Хартмана – Гробмана о стационарных гиперболических траекториях" (PDF). Дискретные и непрерывные динамические системы. 17 (2): 281–292. Дои:10.3934 / dcds.2007.17.281. Архивировано из оригинал (PDF) на 2007-07-24. Получено 2007-03-09.
Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-8328-0.
«Самая захватывающая теорема в прикладной математике». Scientific American.

[1] Эроусмит, Д. К .; Место, К. М. (1992). «Теорема о линеаризации». Динамические системы: дифференциальные уравнения, карты и хаотическое поведение. Лондон: Чепмен и Холл. С. 77–81. ISBN 978-0-412-39080-7.

[2] Гробман Д. М. (1959). "О гомеоморфизмы систем дифференциальных уравнений". Доклады Академии Наук СССР. 128: 880–881.

[3] Хартман, Филипп (Август 1960 г.). «Лемма теории структурной устойчивости дифференциальных уравнений». Proc. A.M.S. 11 (4): 610–620. Дои:10.2307/2034720. JSTOR 2034720.

[4] Хартман, Филип (1960). «О локальных гомеоморфизмах евклидовых пространств». Бол. Soc. Математика. Мексикана. 5: 220–241.

[5] Чикон, К. (2006). Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями.. Тексты по прикладной математике. 34 (2-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-30769-5.

[6] Белицкий, Генрих; Райскин, Виктория (2011). «О теореме Гробмана – Хартмана в классе α-Гёльдера для банаховых пространств» (PDF). Рабочий документ.

[7] Aulbach, B .; Ваннер, Т. (1996). «Интегральные многообразия для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». In Aulbach, B .; Колониус, Ф. (ред.). Шесть лекций по динамическим системам. Сингапур: World Scientific. С. 45–119. ISBN 978-981-02-2548-3.

[8] Aulbach, B .; Ваннер, Т. (1999). "Инвариантные слоения для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах". В Lakshmikantham, V .; Мартынюк, А.А. (ред.). Успехи теории устойчивости в конце ХХ века. Гордон и Брич. CiteSeerX 10.1.1.45.5229. ISBN 978-0-415-26962-9.

[9] Aulbach, B .; Ваннер, Т. (2000). "Теорема Хартмана – Гробмана для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах". Нелинейный анализ. 40 (1–8): 91–104. Дои:10.1016 / S0362-546X (00) 85006-3.

[10] Робертс, А. Дж. (2008). «Нормальная форма преобразует отдельные медленные и быстрые режимы в стохастических динамических системах». Physica A. 387 (1): 12–38. arXiv:математика / 0701623. Bibcode:2008PhyA..387 ... 12R. Дои:10.1016 / j.physa.2007.08.023.

[11] Робертс, А. Дж. (2007). «Нормальная форма стохастических или детерминированных многомасштабных дифференциальных уравнений». Архивировано из оригинал 9 ноября 2013 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]