Теорема о стабильном многообразии

В математика, особенно при изучении динамические системы и дифференциальные уравнения, то теорема о стабильном многообразии важный результат о структуре множества орбиты приближение к заданному гиперболическая неподвижная точка. В нем примерно говорится, что существование локальный диффеоморфизм вблизи неподвижной точки влечет существование локальной устойчивой центральный коллектор содержащий эту фиксированную точку. Этот коллектор имеет размерность, равную количеству собственные значения из Матрица якобиана фиксированной точки меньше 1.^[1]

Позволять

{displaystyle f: Usubset mathbb {R} ^ {n} o mathbb {R} ^ {n}}

быть гладкая карта с гиперболической неподвижной точкой в ${displaystyle p}$ . Обозначим через ${displaystyle W ^ {s} (p)}$ то стабильный набор и по ${displaystyle W ^ {u} (p)}$ то неустойчивый набор из ${displaystyle p}$ .

Теорема^[2]^[3]^[4] утверждает, что

${displaystyle W ^ {s} (p)}$ это гладкое многообразие и это касательное пространство имеет тот же размер, что и стабильное пространство из линеаризация из ${displaystyle f}$ в ${displaystyle p}$ .
${displaystyle W ^ {u} (p)}$ является гладким многообразием, и его касательное пространство имеет ту же размерность, что и нестабильное пространство линеаризации ${displaystyle f}$ в ${displaystyle p}$ .

Соответственно ${displaystyle W ^ {s} (p)}$ это стабильное многообразие и ${displaystyle W ^ {u} (p)}$ является неустойчивый коллектор.

Смотрите также