Точка гиперболического равновесия - Hyperbolic equilibrium point
При изучении динамические системы, а точка гиперболического равновесия или же гиперболическая неподвижная точка это фиксированная точка что не имеет центральные коллекторы. Рядом с гиперболический указать орбиты двумерного, недиссипативный системы напоминают гиперболы. В целом это не выполняется. Строгац отмечает, что «гиперболический - неудачное имя - похоже, оно должно означать»точка перевала «… Но это стало стандартом».[1] Некоторые свойства имеют место в окрестности гиперболической точки, в частности[2]
- А стабильное многообразие и существует неустойчивое многообразие,
- Затенение происходит,
- Динамику на инвариантном множестве можно представить через символическая динамика,
- Можно определить естественную меру,
- Система структурно стабильный.
Карты
Если это C1 карта и п это фиксированная точка тогда п считается гиперболическая неподвижная точка когда Матрица якобиана не имеет собственные значения на единичный круг.
Один пример карта единственная неподвижная точка которого гиперболическая Карта кошек Арнольда:
Поскольку собственные значения даются
Мы знаем, что показатели Ляпунова:
Следовательно, это седловая точка.
Потоки
Позволять быть C1 векторное поле с критической точкой п, т.е. F(п) = 0, и пусть J обозначить Матрица якобиана из F в п. Если матрица J не имеет собственных значений с нулевыми действительными частями, то п называется гиперболический. Гиперболические неподвижные точки также можно назвать гиперболические критические точки или же элементарные критические точки.[3]
В Теорема Хартмана – Гробмана. утверждает, что структура орбиты динамической системы в район точки гиперболического равновесия топологически эквивалентный к структуре орбиты линеаризованный динамическая система.
Пример
Рассмотрим нелинейную систему
(0, 0) - единственная точка равновесия. Линеаризация в состоянии равновесия равна
Собственные значения этой матрицы: . Для всех значений α 0 собственные значения имеют ненулевую действительную часть. Таким образом, эта точка равновесия является точкой гиперболического равновесия. Линеаризованная система будет вести себя аналогично нелинейной системе около (0, 0). Когда α = 0, система имеет негиперболическое равновесие в точке (0, 0).
Комментарии
В случае бесконечномерной системы - например, систем с временной задержкой - понятие «гиперболическая часть спектра» относится к вышеуказанному свойству.
Смотрите также
Примечания
- ^ Строгац, Стивен (2001). Нелинейная динамика и хаос. Westview Press. ISBN 0-7382-0453-6.
- ^ Отт, Эдвард (1994). Хаос в динамических системах. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-43799-7.
- ^ Авраам, Ральф; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики. Месса для чтения: Benjamin / Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
Рекомендации
- Евгений Михайлович Ижикевич (ред.). «Равновесие». Scholarpedia.