Точка гиперболического равновесия - Hyperbolic equilibrium point

При изучении динамические системы, а точка гиперболического равновесия или же гиперболическая неподвижная точка это фиксированная точка что не имеет центральные коллекторы. Рядом с гиперболический указать орбиты двумерного, недиссипативный системы напоминают гиперболы. В целом это не выполняется. Строгац отмечает, что «гиперболический - неудачное имя - похоже, оно должно означать»точка перевала «… Но это стало стандартом».[1] Некоторые свойства имеют место в окрестности гиперболической точки, в частности[2]

Орбиты около двумерной седловой точки, пример гиперболического равновесия.

Карты

Если это C1 карта и п это фиксированная точка тогда п считается гиперболическая неподвижная точка когда Матрица якобиана не имеет собственные значения на единичный круг.

Один пример карта единственная неподвижная точка которого гиперболическая Карта кошек Арнольда:

Поскольку собственные значения даются

Мы знаем, что показатели Ляпунова:

Следовательно, это седловая точка.

Потоки

Позволять быть C1 векторное поле с критической точкой п, т.е. F(п) = 0, и пусть J обозначить Матрица якобиана из F в п. Если матрица J не имеет собственных значений с нулевыми действительными частями, то п называется гиперболический. Гиперболические неподвижные точки также можно назвать гиперболические критические точки или же элементарные критические точки.[3]

В Теорема Хартмана – Гробмана. утверждает, что структура орбиты динамической системы в район точки гиперболического равновесия топологически эквивалентный к структуре орбиты линеаризованный динамическая система.

Пример

Рассмотрим нелинейную систему

(0, 0) - единственная точка равновесия. Линеаризация в состоянии равновесия равна

Собственные значения этой матрицы: . Для всех значений α 0 собственные значения имеют ненулевую действительную часть. Таким образом, эта точка равновесия является точкой гиперболического равновесия. Линеаризованная система будет вести себя аналогично нелинейной системе около (0, 0). Когда α = 0, система имеет негиперболическое равновесие в точке (0, 0).

Комментарии

В случае бесконечномерной системы - например, систем с временной задержкой - понятие «гиперболическая часть спектра» относится к вышеуказанному свойству.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Строгац, Стивен (2001). Нелинейная динамика и хаос. Westview Press. ISBN  0-7382-0453-6.
  2. ^ Отт, Эдвард (1994). Хаос в динамических системах. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-43799-7.
  3. ^ Авраам, Ральф; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики. Месса для чтения: Benjamin / Cummings. ISBN  0-8053-0102-X.

Рекомендации