Сходимость Громова – Хаусдорфа. - Gromov–Hausdorff convergence

В математика, Сходимость Громова – Хаусдорфа., названный в честь Михаил Громов и Феликс Хаусдорф, - понятие сходимости метрические пространства что является обобщением Конвергенция Хаусдорфа.

Расстояние Громова – Хаусдорфа

Насколько далеко и насколько близко находятся некоторые цифры при расстоянии Громова – Хаусдорфа.

Расстояние Громова – Хаусдорфа было введено Дэвидом Эдвардсом в 1975 г.[1][2] и позже он был переоткрыт и обобщен Михаил Громов в 1981 г.[3][4] Это расстояние определяет, как далеко два компактный метрические пространства из изометрический. Если Икс и Y - два компактных метрических пространства, то dGH (Икс, Y) определяется как инфимум всех номеров dЧАС(ж(Икс), грамм(Y)) для всех метрических пространств M и все изометрические вложения ж : Икс → M и грамм : Y → M. Здесь dЧАС обозначает Расстояние Хаусдорфа между подмножествами в M и изометрическое вложение понимается в глобальном смысле, т.е. он должен сохранять все расстояния, а не только бесконечно малые; например нет компакта Риманово многообразие допускает такое вложение в Евклидово пространство того же измерения.

Расстояние Громова – Хаусдорфа превращает множество всех классов изометрий компактных метрических пространств в метрическое пространство, называемое пространством Громова – Хаусдорфа, и поэтому определяет понятие сходимости для последовательности компактных метрических пространств, называемых сходимостью по Громову – Хаусдорфу. Метрическое пространство, к которому сходится такая последовательность, называется пределом Громова – Хаусдорфа последовательности.

Некоторые свойства пространства Громова – Хаусдорфа.

Пространство Громова – Хаусдорфа есть соединенный путём, полный, и отделяемый.[5] Это также геодезический, т.е. любые две его точки являются конечными точками минимизирующего геодезический.[6] В глобальном смысле пространство Громова – Хаусдорфа полностью неоднородно, т.е. его группа изометрий тривиальна,[7] но локально существует много нетривиальных изометрий.[8]

Точечная сходимость Громова – Хаусдорфа.

Точечная сходимость по Громову – Хаусдорфу является аналогом сходимости Громова – Хаусдорфа, подходящим для некомпактных пространств. Точечное метрическое пространство - это пара (Икс,п) состоящий из метрического пространства Икс и указать п в Икс. Последовательность (Иксп, пп) отмеченных метрических пространств сходится к отмеченному метрическому пространству (Y, п) если для каждого р > 0 последовательность замкнутых р-шарики вокруг пп в Иксп сходится к закрытому р-бол вокруг п в Y в обычном смысле Громова – Хаусдорфа.[9]

Приложения

Понятие сходимости Громова – Хаусдорфа впервые было использовано Громовым для доказательства того, что любое дискретная группа с полиномиальный рост практически нильпотентен (т.е. содержит нильпотентная подгруппа конечных показатель ). Видеть Теорема Громова о группах полиномиального роста. (См. Также более раннюю работу Д. Эдвардса.) Ключевым ингредиентом доказательства было наблюдение, что дляГраф Кэли группы полиномиального роста последовательность пересчетов сходится в указанном смысле Громова – Хаусдорфа.

Еще один простой и очень полезный результат в Риманова геометрия является Теорема Громова о компактности, который утверждает, что множество римановых многообразий с Кривизна Риччи  ≥ c и диаметр  ≤ D является относительно компактный в метрике Громова – Хаусдорфа. Предельные пространства - это метрические пространства. Дополнительные свойства пространств длин были доказаны Чигер и Колдинг.[10]

Метрика расстояния Громова – Хаусдорфа применялась в области компьютерной графики и вычислительной геометрии для поиска соответствий между различными формами.[11]

Расстояние Громова – Хаусдорфа использовалось Сормани для доказательства устойчивости модели Фридмана в космологии. Эта модель космологии не устойчива по отношению к гладким вариациям метрики.[12]

В частном случае понятие пределов Громова – Хаусдорфа тесно связано с Теория больших отклонений.[13]

Метрика расстояния Громова – Хаусдорфа использовалась в нейробиологии для сравнения сетей мозга.[14]

Рекомендации

  1. ^ Дэвид А. Эдвардс, «Структура суперпространства», в «Исследования по топологии», Academic Press, 1975, pdf
  2. ^ А. Тужилин, «Кто изобрел расстояние Громова – Хаусдорфа? (2016)», arXiv:1612.00728
  3. ^ М. Громов. "Structures métriques pour les Varétés riemanniennes" под редакцией Лафонтена и Пьер Пансу, 1981.
  4. ^ Громов М. Группы полиномиального роста и расширяющиеся отображения. Публикации по математике I.H.É.S., 53, 1981
  5. ^ Д.Бураго, Ю.Бураго, С.Иванов, Курс метрической геометрии, AMS GSM 33, 2001.
  6. ^ А.Иванов, Н.Николаева, А.Тужилин (2015), Метрика Громова – Хаусдорфа на пространстве компактных метрических пространств является строго внутренней, arXiv:1504.03830. Для явного построения геодезических см. Chowdhury, S., & Mémoli, F. (2016). «Построение геодезических на пространстве компактных метрических пространств». arXiv:1603.02385.
  7. ^ А.Иванов, А.Тужилин (2018), Группа изометрий пространства Громова – Хаусдорфа., arXiv:1806.02100
  8. ^ А.Иванов, А.Тужилин (2016), Локальная структура пространства Громова – Хаусдорфа вблизи конечных метрических пространств общего положения., arXiv:1611.04484
  9. ^ Андре Беллаиш (1996), "Касательное пространство в субримановой геометрии", в Андрэ Беллаиш; Жан-Жак Рислер (ред.), Субриманова геометрия, Успехи в математике, 144, Бирхаузер, стр. 56
  10. ^ Чигер-Колдинг: О структуре пространств с кривизной Риччи, ограниченной снизу I
  11. ^ Mémoli, F., & Sapiro, G. (2004, июль). Сравнение облаков точек. В Трудах симпозиума 2004 Eurographics / ACM SIGGRAPH по обработке геометрии (стр. 32–40). ACM.
  12. ^ Сормани: космология Фридмана и почти изотропия
  13. ^ Котани М., Сунада Т., Большое отклонение и касательный конус на бесконечности кристаллической решетки, Математика. Z. 254, (2006), 837–870.
  14. ^ Ли, Х., Чанг, М., Кан, Х., Ким, Б.Н., Ли, Д.С. (2011) Вычисление формы мозговых сетей с использованием фильтрации графов и метрики Громова – Хаусдорфа MICCAI 2011, Часть II, LNCS 6892, стр. 302–309
  • М. Громов. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств, Биркхойзер (1999). ISBN  0-8176-3898-9 (перевод с дополнительным содержанием).