Линейное матричное неравенство - Linear matrix inequality

В выпуклая оптимизация, а линейное матричное неравенство (LMI) является выражением вида

{displaystyle operatorname {LMI} (y): = A_ {0} + y_ {1} A_ {1} + y_ {2} A_ {2} + cdots + y_ {m} A_ {m} successq 0,}

куда

${displaystyle y = [y_ {i} ,, ~ i! =! 1, точки, м]}$ реальный вектор,
${displaystyle A_ {0}, A_ {1}, A_ {2}, точки, A_ {m}}$ находятся ${displaystyle n imes n}$ симметричные матрицы ${displaystyle mathbb {S} ^ {n}}$ ,
${displaystyle Bsucceq 0}$ является обобщенным неравенством, означающим ${displaystyle B}$ это положительно полуопределенная матрица принадлежащий положительному полуопределенному конусу ${displaystyle mathbb {S} _ {+}}$ в подпространстве симметричных матриц ${displaystyle mathbb {S}}$ .

Это линейное матричное неравенство задает выпуклый ограничение нау.

Приложения

Существуют эффективные численные методы определения выполнимости LMI (например, существует ли вектор у такое, что LMI (у) ≥ 0), или решить выпуклая оптимизация проблема с ограничениями LMI. многие проблемы оптимизации в теория управления, идентификация системы и обработка сигналов могут быть сформулированы с использованием LMI. Также LMI находят применение в Полиномиальная сумма квадратов. Прототип первичного и двойственного полуопределенная программа является минимизацией действительной линейной функции соответственно с учетом прямого и двойственного выпуклые конусы управляющий этим LMI.

Главный прорыв в выпуклой оптимизации заключается во введении методы внутренней точки. Эти методы были разработаны в серии статей и вызвали настоящий интерес в контексте задач LMI в работе Юрий Нестеров и Аркадий Немировский.