Выпуклый конус - Convex cone

В линейная алгебра, а выпуклый конус это подмножество из векторное пространство над упорядоченное поле то есть закрыто под линейные комбинации с положительными коэффициентами.

Выпуклый конус (голубой). Внутри него светло-красный выпуклый конус состоит из всех точек αx + βy с α, β> 0, для изображенного Икс и у. Кривые в правом верхнем углу символизируют бесконечность регионов.

Определение

А подмножество C векторного пространства V это конус (или иногда называемый линейный конус) если для каждого Икс в C и положительные скаляры α, продукт αx в C.^[1] Обратите внимание, что некоторые авторы определяют конус со скаляром α охватывая все неотрицательные числа (а не все положительные числа, не считая 0).^[2]

Конус C это выпуклый конус если αx + βy принадлежит C, для любых положительных скаляров α, β, и любые Икс, у в C.^[3]^[4] Конус C выпукло тогда и только тогда, когда C + C ⊆ C.

Эта концепция имеет смысл для любого векторного пространства, которое допускает концепцию «положительного» скаляра, например, пространства над рациональный, алгебраический, или (чаще) действительные числа. Также обратите внимание, что скаляры в определении являются положительными, что означает, что начало координат не обязательно должно принадлежать C. Некоторые авторы используют определение, которое гарантирует, что начало координат принадлежит C.^[5] Из-за параметров масштабирования α и β, конусы бесконечны по протяженности и не ограничены.

Если C выпуклый конус, то для любого положительного скаляра α и любой Икс в C вектор ${displaystyle alpha x = {frac {alpha} {2}} x + {frac {alpha} {2}} xin C.}$ Отсюда следует, что выпуклый конус C частный случай линейный конус.

Из указанного свойства следует, что выпуклый конус можно также определить как линейный конус, замкнутый относительно выпуклые комбинации, или чуть ниже дополнения. Точнее, набор C является выпуклым конусом тогда и только тогда, когда αC = C и C + C = C, для любого положительного скаляра α.

Примеры

Выпуклый конус, не являющийся конической комбинацией конечного числа образующих.

Выпуклый конус, образованный конической комбинацией трех черных векторов.

Конус (объединение двух лучей), который не является выпуклым конусом.

Для векторного пространства V, пустой набор, пространство V, и любые линейное подпространство из V - выпуклые конусы.
В коническая комбинация конечного или бесконечного множества векторов в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ - выпуклый конус.
В касательные конусы выпуклого множества - выпуклые конусы.
Набор

{displaystyle left {xin mathbb {R} ^ {2} mid x_ {2} geq 0, x_ {1} = 0ight} чашка слева {xin mathbb {R} ^ {2} mid x_ {1} geq 0, x_ { 2} = 0ight}}

конус, но не выпуклый конус.

Конус нормы

{displaystyle left {(x, r) в mathbb {R} ^ {d + 1} mid | x | leq right}}

- выпуклый конус.

Пересечение двух выпуклых конусов в одном векторном пространстве снова является выпуклым конусом, но их объединение может не быть единым.
Класс выпуклых конусов также замкнут относительно произвольных линейные карты. В частности, если C выпуклый конус, и его противоположность ${displaystyle -C}$ и ${displaystyle Ccap -C}$ - наибольшее линейное подпространство, содержащееся в C.
Набор положительно полуопределенные матрицы.
Множество неотрицательных непрерывных функций представляет собой выпуклый конус.

Особые примеры

Аффинные выпуклые конусы

An аффинный выпуклый конус - это множество, полученное в результате применения аффинного преобразования к выпуклому конусу.^[6] Типичный пример - перенос выпуклого конуса на точку п: p + C. Технически такие преобразования могут давать неконусы. Например, если п=0, п+C не является линейным конусом. Однако его до сих пор называют аффинным выпуклым конусом.

Полупространства

А (линейный) гиперплоскость это набор в виде ${displaystyle {xin Vmid f (x) = c}}$ где f - это линейный функционал на векторном пространстве V. A закрытое полупространство это набор в виде ${displaystyle {xin Vmid f (x) leq c}}$ или же ${displaystyle {xin Vmid f (x) geq c},}$ и аналогично открытое полупространство использует строгое неравенство.^[7]^[8]

Полупространства (открытые или замкнутые) - это аффинные выпуклые конусы. Более того (в конечных размерах) любой выпуклый конус C это не все пространство V должен содержаться в некотором замкнутом полупространстве ЧАС из V; это частный случай Лемма Фаркаша.

Многогранные и конечно порожденные конусы

Многогранные конусы это особые виды конусов, которые можно определить несколькими способами:^[9]^:256–257

Конус C является многогранным, если это коническая комбинация конечного числа векторов (это свойство также называют конечно порожденный).^[10]^[11] Т.е. существует набор векторов ${displaystyle {v_ {1}, ldots, v_ {k}}}$ так что ${displaystyle C = {a_ {1} v_ {1} + cdots + a_ {k} v_ {k} mid a_ {i} in mathbb {R} _ {geq 0}, v_ {i} in mathbb {R} ^ {n}}}$ .
Конус является полиэдральным, если он является пересечением конечного числа полупространств, граница которых равна нулю (это было доказано Вейлем в 1935 г.).
Конус C многогранен, если есть матрица ${displaystyle A}$ такой, что ${displaystyle C = {xin mathbb {R} ^ {n} mid Axgeq 0}}$ .
Конус является полиэдральным, если он является множеством решений системы однородных линейных неравенств. Алгебраически каждое неравенство определяется строкой матрицы А. Геометрически каждое неравенство определяет полупространство, которое проходит через начало координат.

Каждый конечно порожденный конус является многогранным конусом, а каждый многогранный конус является конечно порожденным конусом.^[10] Каждый многогранный конус имеет уникальное представление в виде конической оболочки своих экстремальных образующих и уникальное представление пересечений полупространств, учитывая, что каждая линейная форма, связанная с полупространствами, также определяет опорную гиперплоскость грани. ^[12]

Многогранные конусы играют центральную роль в теории представлений многогранники. Например, теорема о разложении для многогранников утверждает, что каждый многогранник можно записать как Сумма Минковского из выпуклый многогранник и многогранный конус.^[13]^[14] Многогранные конусы также играют важную роль в доказательстве родственной Теорема о конечном базисе для многогранников, что показывает, что каждый многогранник является многогранником и каждый ограниченный многогранник - это многогранник.^[13]^[15]^[16]

Два представления многогранного конуса - неравенствами и векторами - могут иметь очень разные размеры. Например, рассмотрим конус всех неотрицательных п-к-п матрицы с равными суммами строк и столбцов. Для представления неравенства требуется п² неравенства и 2 (п-1) уравнения, но векторное представление требует п! векторы (см. Теорема Биркгофа-фон Неймана ). Также может произойти и обратное - количество векторов может быть полиномиальным, а количество неравенств - экспоненциальным.^[9]^:256

Эти два представления вместе обеспечивают эффективный способ решить, находится ли данный вектор в конусе: чтобы показать, что он находится в конусе, достаточно представить, что это коническая комбинация определяющих векторов; чтобы показать, что его нет в конусе, достаточно указать одно определяющее неравенство, которое оно нарушает. Этот факт известен как Лемма Фаркаша.

Тонкий момент в представлении векторами заключается в том, что количество векторов может быть экспоненциальным в размерности, поэтому доказательство того, что вектор находится в конусе, может быть экспоненциально длинным. К счастью, Теорема Каратеодори гарантирует, что каждый вектор в конусе может быть представлен не более чем d определяющие векторы, где d это размерность пространства.

Тупые, заостренные, плоские, выступающие и правильные конусы

Согласно приведенному выше определению, если C выпуклый конус, то C ∪ {0} - тоже выпуклый конус. Выпуклый конус называется заостренный если 0 в C, и тупой если 0 не в C.^[1]^[17] Тупые конусы можно исключить из определения выпуклого конуса, заменив «неотрицательный» на «положительный» в условии α, β.

Конус называется плоский если он содержит ненулевой вектор Икс и его противоположность -Икс, смысл C содержит линейное подпространство размерности не менее единицы, и выдающийся иначе.^[18]^[19] Тупой выпуклый конус обязательно заметен, но обратное не обязательно. Выпуклый конус C имеет значение тогда и только тогда, когда C ∩ −C ⊆ {0}. Конус C как говорят создание если C − C равно всему векторному пространству.^[20]

Некоторые авторы требуют заострения выступающих конусов.^[21] Термин «заостренный» также часто используется для обозначения замкнутого конуса, который не содержит полной линии (т.е. нетривиального подпространства окружающего векторного пространства. V, или так называемый выступающий конус).^[22]^[23]^[24] Период, термин правильный (выпуклый) конус определяется по-разному, в зависимости от контекста и автора. Это часто означает конус, который удовлетворяет другим свойствам, таким как выпуклый, замкнутый, заостренный, выступающий и полномерный.^[25]^[26]^[27] Из-за этих различных определений следует обращаться к контексту или источнику для определения этих терминов.

Рациональные конусы

Особый интерес для чистых математиков представляет тип конуса. частично заказанный набор рациональных конусов. «Рациональные конусы - важные объекты в торической алгебраической геометрии, комбинаторной коммутативной алгебре, геометрической комбинаторике, целочисленном программировании». ^[28]. Этот объект возникает, когда мы изучаем конусы в ${displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ вместе с решетка ${displaystyle mathbb {Z} ^ {d}}$ . Конус называется рациональный (здесь мы предполагаем «заостренный», как определено выше), когда все его генераторы имеют целое число координаты, т.е. если ${displaystyle C}$ является рациональным конусом, то ${displaystyle C = {a_ {1} v_ {1} + cdots + a_ {k} v_ {k} mid a_ {i} in mathbb {R} _ {+}, v_ {i} in mathbb {Z} ^ { d}}}$ .

Двойной конус

Позволять C ⊂ V - множество, не обязательно выпуклое, в реальном векторном пространстве V оснащен внутренний продукт. (Непрерывный или топологический) двойной конус к C это набор

{displaystyle C ^ {*} = {vin Vmid forall win C, langle w, vangle geq 0},}

который всегда является выпуклым конусом.

В более общем смысле (алгебраический) конус, двойственный к C ⊂ V в линейном пространстве V является подмножеством двойное пространство V * определяется:

{displaystyle C ^ {*}: = left {vin V ^ {*} в середине для всей победы C, v (w) geq 0ight}.}

Другими словами, если V * это алгебраическое двойственное пространство из V, это набор линейных функционалов, неотрицательных на прямом конусе C. Если мы возьмем V * быть непрерывное двойное пространство то это множество непрерывных линейных функционалов, неотрицательных на C.^[29] Это понятие не требует спецификации внутреннего продукта на V.

В конечных размерах два понятия двойственного конуса по существу одинаковы, потому что каждый конечномерный линейный функционал непрерывен,^[30] и каждый непрерывный линейный функционал во внутреннем пространстве продукта индуцирует линейный изоморфизм (невырожденное линейное отображение) из V * к V, и этот изоморфизм примет двойственный конус, данный вторым определением, в V *на то, что дано первым определением; увидеть Теорема Рисса о представлении.^[29]

Если C равен двойственному конусу, то C называется самодвойственный. Можно сказать, что конус самодвойственный без ссылки на какой-либо заданный внутренний продукт, если существует внутренний продукт, по отношению к которому он равен своему двойственному по первому определению.

Конструкции

Дано замкнутое выпуклое подмножество K из Гильбертово пространство V, то наружный нормальный конус к набору K в момент Икс в K дан кем-то

{displaystyle N_ {K} (x) = left {pin V;:; forall x ^ {*} в K, langle p, x ^ {*} - xangle leq 0ight}.}

Дано замкнутое выпуклое подмножество K из V, то касательный конус (или же условный конус) к множеству K в момент Икс дан кем-то

{displaystyle T_ {K} (x) = {overline {igcup _ {h> 0} {frac {1} {h}} (K-x)}}.}.

Дано замкнутое выпуклое подмножество K гильбертова пространства V, то касательный конус к набору K в момент Икс в K можно определить как полярный конус к наружному нормальному конусу ${displaystyle N_ {K} (x)}$ :

{displaystyle T_ {K} (x) = N_ {K} ^ {*} (x) {overset {underset {mathrm {def}} {}} {=}} {yin V | forall xi in N_ {K} ( x): langle y, xi angle leqslant 0}}

И нормальный, и касательный конус обладают свойством быть замкнутым и выпуклым. Это важные концепции в области выпуклая оптимизация, вариационные неравенства и проектируемые динамические системы.

Характеристики

Если C непустой выпуклый конус в Икс, то линейная оболочка C равно C - C и наибольшее векторное подпространство Икс содержалась в C равно C ∩ (-C).^[31]

Частичный порядок, определяемый выпуклым конусом

Заостренный и выступающий выпуклый конус C вызывает частичный заказ "≤" на V, определяется так, что ${displaystyle xleq y}$ если и только если ${displaystyle y-xin C.}$ (Если конус плоский, то же определение дает просто Предварительный заказ.) Суммы и положительные скалярные кратные справедливых неравенств относительно этого порядка остаются действительными неравенствами. Векторное пространство с таким порядком называется упорядоченное векторное пространство. Примеры включают заказ продукта на вещественных векторах, ${displaystyle mathbb {R} ^ {n},}$ и Заказ Loewner на положительно полуопределенных матрицах. Такой порядок обычно встречается в позитивное полуопределенное программирование.

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б Бернштейн, Деннис С. (26 июля 2009 г.). Матричная математика: теория, факты и формулы (второе издание). Издательство Принстонского университета. п. 97. ISBN 978-0691140391.
^ К. Залинеску (1 января 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах. World Scientific. п. 1. ISBN 978-981-238-067-8.
^ Неф, Уолтер (1988-01-01). Линейная алгебра. Курьерская корпорация. п. 35. ISBN 9780486657721.
^ Ито, Киёси (01.01.1993). Энциклопедический математический словарь. MIT Press. ISBN 9780262590204.
^ Рокафеллар, Ральф Тирелл (2015-04-29). Выпуклый анализ. Издательство Принстонского университета. п. 13. ISBN 9781400873173.
^ Хириар-Уррути, Жан-Батист; Лемарешаль, Клод (2012-12-06). Основы выпуклого анализа. Springer Science & Business Media. ISBN 9783642564680.
^ Aliprantis, Charalambos D .; Граница, Ким С. (2007-05-02). Бесконечный анализ измерений: автостопом. Springer Science & Business Media. п. 197. ISBN 9783540326960.
^ Рокафеллар, Ральф Тирелл (2015-04-29). Выпуклый анализ. Издательство Принстонского университета. п. 10. ISBN 9781400873173.
^ ^а ^б Ловас, Ласло; Пламмер, М. (1986), Теория соответствия, Анналы дискретной математики, 29, Северная Голландия, ISBN 0-444-87916-1, МИСТЕР 0859549
^ ^а ^б Лоэра, Хесус А. Де; Хеммеке, Раймонд; Кеппе, Маттиас (01.01.2012). Алгебраические и геометрические идеи в теории дискретной оптимизации. СИАМ. ISBN 9781611972443.
^ Шрайвер, Александр (1998-07-07). Теория линейного и целочисленного программирования. Джон Вили и сыновья. ISBN 9780471982326.
^ Брунс, Винфрид; Губеладзе, Иосиф (2009). Многогранники, кольца и K-теория (1-е изд.). Монографии Спрингера по математике. п.3. ISBN 9780387763552.
^ ^а ^б Шрайвер, Александр (1998-07-07). Теория линейного и целочисленного программирования. Джон Вили и сыновья. С. 88–89. ISBN 9780471982326.
^ Конфорти, Микеле; Cornuejols, Жерар; Замбелли, Джакомо (15 ноября 2014 г.). Целочисленное программирование. Springer. п. 111. ISBN 9783319110080.
^ Корте, Бернхард; Выген, Йенс (11.11.2013). Комбинаторная оптимизация: теория и алгоритмы. Springer Science & Business Media. п. 61. ISBN 9783662217115.
^ Вильярреал, Рафаэль (26 марта 2015). Мономиальные алгебры, второе издание. CRC Press. п. 9. ISBN 9781482234701.
^ Дхара, Анулекха; Датта, Джойдип (17.10.2011). Условия оптимальности в выпуклой оптимизации: конечномерный взгляд. CRC Press. п. 243. ISBN 9781439868225.
^ Нойштадт, Люсьен В. (2015-03-08). Оптимизация: теория необходимых условий. Издательство Принстонского университета. п. 6. ISBN 9781400870530.
^ Эдвардс, Р. Э. (25 октября 2012 г.). Функциональный анализ: теория и приложения. Курьерская корпорация. п. 135. ISBN 9780486145105.
^ Шефер и Вольф, 1999 г. С. 205–209.
^ Хаджисаввас, Николас; Мартинес-Легаз, Хуан Э .; Пено, Жан-Поль (2001-04-10). Обобщенная выпуклость и обобщенная монотонность: материалы 6-го Международного симпозиума по обобщенной выпуклости / монотонности, Самос, сентябрь 1999 г.. Springer Science & Business Media. п. 238. ISBN 9783540418061.
^ Bauschke, Heinz H .; Комбеты, Патрик Л. (2011-04-19). Выпуклый анализ и теория монотонных операторов в гильбертовых пространствах. Springer Science & Business Media. п. 88. ISBN 9781441994677.
^ Кэмерон, Нил (1985-09-05). Введение в линейное и выпуклое программирование. CUP Архив. п. 32. ISBN 9780521312073.
^ Паник, М. Дж. (01.12.2013). Линейное программирование: математика, теория и алгоритмы. Springer Science & Business Media. п. 40. ISBN 9781461334347.
^ Датторро, Джон (01.01.2005). Выпуклая оптимизация и геометрия евклидова расстояния. Meboo Publishing USA. п. 96. ISBN 9780976401308.
^ Никола, Пьер Карло (14 марта 2013 г.). Мейнстрим математической экономики в 20 веке. Springer Science & Business Media. п. 125. ISBN 9783662042380.
^ Фудзивара, Хиденори; Людвиг, Жан (05.12.2014). Гармонический анализ экспоненциальных разрешимых групп Ли. Springer. п. 246. ISBN 9784431552888.
^ Губеладзе, Иосиф; Михалек, Матеуш (1 января 2018 г.). «Позиционирование рациональных конусов». Тихоокеанский математический журнал. 292 (1): 103–115. arXiv:1606.02083. Дои:10.2140 / pjm.2018.292.103.
^ ^а ^б Хантер, Джон К .; Нахтергаэле, Бруно (01.01.2001). Прикладной анализ. World Scientific. п. 116. ISBN 9789810241919.
^ Карозерс, Н. Л. (01.01.2005). Краткий курс теории банахового пространства. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521603720.
^ Наричи и Бекенштейн 2011 С. 149-153.

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки

Топологические векторные пространства (ТВС)
Базовые концепты	Банахово пространство Непрерывный линейный оператор Функционалы Гильбертово пространство Линейные операторы Локально выпуклое пространство Гомоморфизм Топологическое векторное пространство Векторное пространство
Основные результаты	Теорема о замкнутом графике Теорема Ф. Рисса Хан-Банах (разделение гиперплоскостей Векторнозначный Хан – Банах ) Открытое отображение (Банаха – Шаудера) (Ограниченный обратный ) Равномерная ограниченность (Банаха – Штейнгауза)
Карты	Почти открыто Билинейный (форма оператор ) и Полуторалинейные формы Закрыто Компактный оператор Непрерывный и Прерывистый Линейные карты Плотно очерченный Гомоморфизм Функционалы Норма Оператор Семинорм Сублинейный Транспонировать
Виды наборов	Абсолютно выпуклый / дисковый Поглощающий / Радиальный Аффинный Сбалансированный / По кругу Банаховые диски Граничные точки Ограниченный Дополненное подпространство Выпуклый Выпуклый конус (подмножество) Линейный конус (подмножество) Крайняя точка Предварительно компактный / полностью ограниченный Радиальный Радиально выпуклый / Звездообразный Симметричный
Установить операции	Аффинная оболочка (Относительный ) Алгебраический интерьер (основной) Выпуклый корпус Линейный пролет Дополнение Минковского Полярный (Квази ) Относительный интерьер
Типы ТВС	Асплунд Б-полный / Птак Банах (Счетно ) Ствол (Ультра- ) Борнологический Браунер Полный (DF) -пространство Выдающийся F-пространство Фреше (приручить Фреше ) Гротендик Гильберта Infrabarreled Пространство интерполяции LB-пространство LF-пространство Локально выпуклое пространство Макки (Псевдо) Метризуемый Montel Квазибаррельский Квази-полный Квазинформированный (Полиномиально Полу- ) Рефлексивный Рис Шварц Полукомплект Смит Стереотип (B Строго Равномерно выпуклый (Квази ) Ультрабочий Равномерно гладкий Перепончатый С свойством аппроксимации